C语言迭代法详细讲解.docx
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C语言迭代法详细讲解
迭代法
迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。
迭代法又分为精确迭代和近似迭代。
“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法。
迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。
它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：
一、确定迭代变量。
在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
二、建立迭代关系式。
所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。
迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
三、对迭代过程进行控制。
在什么时候结束迭代过程？
这是编写迭代程序必须考虑的问题。
不能让迭代过程无休止地重复执行下去。
迭代过程的控制通常可分为两种情况：
一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。
对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。
例1：
一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子，这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。
如果所有的兔子都不死去，问到第12个月时，该饲养场共有兔子多少只？
分析：
这是一个典型的递推问题。
我们不妨假设第1个月时兔子的只数为u1，第2个月时兔子的只数为u2，第3个月时兔子的只数为u3，……根据题意，“这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子”，则有
u1＝1，u2＝u1＋u1×1＝2，u3＝u2＋u2×1＝4，……
根据这个规律，可以归纳出下面的递推公式：
un＝un－1×2（n≥2）
对应un和un－1，定义两个迭代变量y和x，可将上面的递推公式转换成如下迭代关系：
y=x*2
x=y
让计算机对这个迭代关系重复执行11次，就可以算出第12个月时的兔子数。
参考程序如下：
cls
x=1
fori=2to12
y=x*2
x=y
nexti
printy
end
例2：
阿米巴用简单分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用3分钟。
将若干个阿米巴放在一个盛满营养参液的容器内，45分钟后容器内充满了阿米巴。
已知容器最多可以装阿米巴220,220个。
试问，开始的时候往容器内放了多少个阿米巴？
请编程序算出。
分析：
根据题意，阿米巴每3分钟分裂一次，那么从开始的时候将阿米巴放入容器里面，到45分钟后充满容器，需要分裂45/3=15次。
而“容器最多可以装阿米巴2^20个”，即阿米巴分裂15次以后得到的个数是2^20。
题目要求我们计算分裂之前的阿米巴数，不妨使用倒推的方法，从第15次分裂之后的2^20个，倒推出第15次分裂之前（即第14次分裂之后）的个数，再进一步倒推出第13次分裂之后、第12次分裂之后、……第1次分裂之前的个数。
设第1次分裂之前的个数为x0、第1次分裂之后的个数为x1、第2次分裂之后的个数为x2、……第15次分裂之后的个数为x15，则有
x14=x15/2、x13=x14/2、……xn-1=xn/2（n≥1）
因为第15次分裂之后的个数x15是已知的，如果定义迭代变量为x，则可以将上面的倒推公式转换成如下的迭代公式：
x=x/2（x的初值为第15次分裂之后的个数2^20）
让这个迭代公式重复执行15次，就可以倒推出第1次分裂之前的阿米巴个数。
因为所需的迭代次数是个确定的值，我们可以使用一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制。
参考程序如下：
cls
x=2^20
fori=1to15
x=x/2
nexti
printx
end
ps:
java中幂的算法是Math.pow（2,20）；返回double，稍微注意一下
例3：
验证谷角猜想。
日本数学家谷角静夫在研究自然数时发现了一个奇怪现象：
对于任意一个自然数n，若n为偶数，则将其除以2；若n为奇数，则将其乘以3，然后再加1。
如此经过有限次运算后，总可以得到自然数1。
人们把谷角静夫的这一发现叫做“谷角猜想”。
要求：
编写一个程序，由键盘输入一个自然数n，把n经过有限次运算后，最终变成自然数1的全过程打印出来。
分析：
定义迭代变量为n，按照谷角猜想的内容，可以得到两种情况下的迭代关系式：
当n为偶数时，n=n/2；当n为奇数时，n=n*3+1。
用QBASIC语言把它描述出来就是：
ifn为偶数then
n=n/2
else
n=n*3+1
endif
这就是需要计算机重复执行的迭代过程。
这个迭代过程需要重复执行多少次，才能使迭代变量n最终变成自然数1，这是我们无法计算出来的。
因此，还需进一步确定用来结束迭代过程的条件。
仔细分析题目要求，不难看出，对任意给定的一个自然数n，只要经过有限次运算后，能够得到自然数1，就已经完成了验证工作。
因此，用来结束迭代过程的条件可以定义为：
n=1。
参考程序如下：
cls
input"Pleaseinputn=";n
dountiln=1
ifnmod2=0then
rem如果n为偶数，则调用迭代公式n=n/2
n=n/2
print"—";n;
else
n=n*3+1
print"—";n;
endif
loop
end
迭代法开平方：
#include
#include
voidmain（）
{
doublea,x0,x1;
printf（"Inputa:
\n"）;
scanf（"%lf",&a）;//为什么在VC6.0中不能写成“scanf（"%f",&a）;”？
if（a<0）
printf（"Error!
\n"）;
else
{
x0=a/2;
x1=（x0+a/x0）/2;
do
{
x0=x1;
x1=（x0+a/x0）/2;
}while（fabs（x0-x1）>=1e-6）;
}
printf（"Result:
\n"）;
printf（"sqrt（%g）=%g\n",a,x1）;
}
求平方根的迭代公式：
x1=1/2*（x0+a/x0）。
算法：
1.先自定一个初值x0，作为a的平方根值，在我们的程序中取a/2作为a的初值；利用迭代公式求出一个x1。
此值与真正的a的平方根值相比，误差很大。
2.把新求得的x1代入x0中，准备用此新的x0再去求出一个新的x1.
3.利用迭代公式再求出一个新的x1的值，也就是用新的x0又求出一个新的平方根值x1，此值将更趋近于真正的平方根值。
4.比较前后两次求得的平方根值x0和x1，如果它们的差值小于我们指定的值，即达到我们要求的精度，则认为x1就是a的平方根值，去执行步骤5；否则执行步骤2，即循环进行迭代。
迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。
设方程为f（x）=0，用某种数学方法导出等价的形式x=g（x），然后按以下步骤执行：
（1）选一个方程的近似根，赋给变量x0；
（2）将x0的值保存于变量x1，然后计算g（x1），并将结果存于变量x0；
（3）当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤
（2）的计算。
若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。
上述算法用C程序的形式表示为：
【算法】迭代法求方程的根
{x0=初始近似根；
do{
x1=x0；
x0=g（x1）；/*按特定的方程计算新的近似根*/
}while（fabs（x0-x1）>Epsilon）；
printf（“方程的近似根是%f\n”，x0）；
}
迭代算法也常用于求方程组的根，令
X=（x0，x1，…，xn-1）
设方程组为：
xi=gi（X）（I=0，1，…，n-1）
则求方程组根的迭代算法可描述如下：
【算法】迭代法求方程组的根
{for（i=0;i
x=初始近似根;
do{
for（i=0;i
y=x;
for（i=0;i
x=gi（X）;
for（delta=0.0,i=0;i
if（fabs（y-x）>delta）delta=fabs（y-x）；
}while（delta>Epsilon）；
for（i=0;i
printf（“变量x[%d]的近似根是%f”，I，x）；
printf（“\n”）；
}
具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：
（1）如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制；
（2）方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败。
递归
递归是设计和描述算法的一种有力的工具，由于它在复杂算法的描述中被经常采用，为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。
能采用递归描述的算法通常有这样的特征：
为求解规模为N的问题，设法将它分解成规模较小的问题，然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解，并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法，分解成规模更小的问题，并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。
特别地，当规模N=1时，能直接得解。
【问题】编写计算斐波那契（Fibonacci）数列的第n项函数fib（n）。
斐波那契数列为：
0、1、1、2、3、……，即：
fib（0）=0;
fib
（1）=1;
fib（n）=fib（n-1）+fib（n-2）（当n>1时）。
写成递归函数有：
intfib（intn）
{if（n==0）return0;
if（n==1）return1;
if（n>1）returnfib（n-1）+fib（n-2）;
}
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。
在递推阶段，把较复杂的问题（规模为n）的求解推到比原问题简单一些的问题（规模小于n）的求解。
例如上例中，求解fib（n），把它推到求解fib（n-1）和fib（n-2）。
也就是说，为计算fib（n），必须先计算fib（n-1）和fib（n-2），而计算fib（n-1）和fib（n-2），又必须先计算fib（n-3）和fib（n-4）。
依次类推，直至计算fib
（1）和fib（0），分别能立即得到结果1和0。
在递推阶段，必须要有终止递归的情况。
例如在函数fib中，当n为1和0的情况。
在回归阶段，当获得最简单情况的解后，逐级返回，依次得到稍复杂问题的解，例如得到fib
（1）和fib（0）后，返回得到fib
（2）的结果，……，在得到了fib（n-1）和fib（n-2）的结果后，返回得到fib（n）的结果。
在编写递归函数时要注意，函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层，当递推进入“简单问题”层时，原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。
在一系列“简单问题”层，它们各有自己的参数和局部变量。
由于递归引起一系列的函数调用，并且可能会有一系列的重复计算，递归算法的执行效率相对较低。
当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时，通常按递推算法编写程序。
例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib（n）应采用递推算法，即从斐波那契数列的前两项出发，逐次由前两项计算出下一项，直至计算出要求的第n项。
【问题】组合问题
问题描述：
找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。
例如n=5，r=3的所有组合为：
（1）5、4、3
（2）5、4、2（3）5、4、1
（4）5、3、2（5）5、3、1（6）5、2、1
（7）4、3、2（8）4、3、1（9）4、2、1
（10）3、2、1
分析所列的10个组合，可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。
设函数为voidcomb（intm,intk）为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。
当组合的第一个数字选定时，其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。
这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。
设函数引入工作数组a[]存放求出的组合的数字，约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中，当一个组合求出后，才将a[]中的一个组合输出。
第一个数可以是m、m-1、……、k，函数将确定组合的第一个数字放入数组后，有两种可能的选择，因还未去顶组合的其余元素，继续递归去确定；或因已确定了组合的全部元素，输出这个组合。
细节见以下程序中的函数comb。
【程序】
#include
#defineMAXN100
inta[MAXN];
voidcomb（intm,intk）
{inti,j;
for（i=m;i>=k;i--）
{a[k]=i;
if（k>1）
comb（i-1,k-1）;
else
{for（j=a[0];j>0;j--）
printf（“%4d”,a[j]）;
printf（“\n”）;
}
}
}
voidmain（）
{a[0]=3;
comb（5,3）;
}
【问题】背包问题
问题描述：
有不同价值、不同重量的物品n件，求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案，使选中物品的总重量不超过指定的限制重量，但选中物品的价值之和最大。
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1，物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。
采用递归寻找物品的选择方案。
设前面已有了多种选择的方案，并保留了其中总价值最大的方案于数组option[]，该方案的总价值存于变量maxv。
当前正在考察新方案，其物品选择情况保存于数组cop[]。
假定当前方案已考虑了前i-1件物品，现在要考虑第i件物品；当前方案已包含的物品的重量之和为tw；至此，若其余物品都选择是可能的话，本方案能达到的总价值的期望值为tv。
算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时，继续考察当前方案变成无意义的工作，应终止当前方案，立即去考察下一个方案。
因为当方案的总价值不比maxv大时，该方案不会被再考察，这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。
对于第i件物品的选择考虑有两种可能：
（1）考虑物品i被选择，这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。
选中后，继续递归去考虑其余物品的选择。
（2）考虑物品i不被选择，这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。
按以上思想写出递归算法如下：
try（物品i，当前选择已达到的重量和，本方案可能达到的总价值tv）
{/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/
if（包含物品i是可以接受的）
{将物品i包含在当前方案中；
if（i
try（i+1,tw+物品i的重量,tv）;
else
/*又一个完整方案，因为它比前面的方案好，以它作为最佳方案*/
以当前方案作为临时最佳方案保存;
恢复物品i不包含状态；
}
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/
if（不包含物品i仅是可男考虑的）
if（i
try（i+1,tw,tv-物品i的价值）；
else
/*又一个完整方案，因它比前面的方案好，以它作为最佳方案*/
以当前方案作为临时最佳方案保存;
}
为了理解上述算法，特举以下实例。
设有4件物品，它们的重量和价值见表：
物品0123
重量5321
价值4431
并设限制重量为7。
则按以上算法，下图表示找解过程。
由图知，一旦找到一个解，算法就进一步找更好的佳。
如能判定某个查找分支不会找到更好的解，算法不会在该分支继续查找，而是立即终止该分支，并去考察下一个分支。
按上述算法编写函数和程序如下：
【程序】
#include
#defineN100
doublelimitW,totV,maxV;
intoption[N],cop[N];
struct{doubleweight;
doublevalue;
}a[N];
intn;
voidfind（inti,doubletw,doubletv）
{intk;
/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/
if（tw+a.weight<=limitW）
{cop=1;
if（i
else
{for（k=0;k
option[k]=cop[k];
maxv=tv;
}
cop=0;
}
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/
if（tv-a.value>maxV）
if（i
else
{for（k=0;k
option[k]=cop[k];
maxv=tv-a.value;
}
}
voidmain（）
{intk;
doublew,v;
printf（“输入物品种数\n”）;
scanf（（“%d”,&n）;
printf（“输入各物品的重量和价值\n”）;
for（totv=0.0,k=0;k
{scanf（“%1f%1f”,&w,&v）;
a[k].weight=w;
a[k].value=v;
totV+=V;
}
printf（“输入限制重量\n”）;
scanf（“%1f”,&limitV）;
maxv=0.0;
for（k=0;kfind（0,0.0,totV）;
for（k=0;k
if（option[k]）printf（“%4d”,k+1）;
printf（“\n总价值为%.2f\n”,maxv）;
}
作为对比，下面以同样的解题思想，考虑非递归的程序解。
为了提高找解速度，程序不是简单地逐一生成所有候选解，而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解，一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。
对物品i的考察有这样几种情况：
当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制，该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的；反之，该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。
同样地，仅当物品不被包括在候选解中，还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时，才去考虑该物品不被包括在候选解中；反之，该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。
对于任一值得继续考虑的方案，程序就去进一步考虑下一个物品。
【程序】
#include
#defineN100
doublelimitW;
intcop[N];
structele{doubleweight;
doublevalue;
}a[N];
intk,n;
struct{int;
doubletw;
doubletv;
}twv[N];
voidnext（inti,doubletw,doubletv）
{twv.=1;
twv.tw=tw;
twv.tv=tv;
}
doublefind（structele*a,intn）
{inti,k,f;
doublemaxv,tw,tv,totv;
maxv=0;
for（totv=0.0,k=0;k
totv+=a[k].value;
next（0,0.0,totv）;
i=0;
While（i>=0）
{f=twv.;
tw=twv.tw;
tv=twv.tv;
switch（f）
{case1:
twv.++;
if（tw+a.weight<=limitW）
if（i
{next（i+1,tw+a.weight,tv）;
i++;
}
else
{maxv=tv;
for（k=0;k
cop[k]=twv[k].!
=0;
}
break;
case0:
i--;
break;
default:
twv.=0;
if（tv-a.value>maxv）
if（i
{next（i+1,tw,tv-a.value）;
i++;
}
else
{maxv=tv-a.value;
for（k=0;k
cop[k]=twv[k].!
=0;
}
break;
}
}
returnmaxv;
}
voidmain（）
{doublemaxv;
printf（“输入物品种数\n”）;
scanf（（“%d”,&n）;
printf（“输入限制重量\n”）;
scanf（“%1f”,&limitW）;
printf（“输入各物品的重量和价值\n”）;
for（k=0;k
scanf（“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].v
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