运输问题.docx

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运输问题

运输问题

运输问题及其数学模型

表上作业法

产销不平衡的运输问题

应用举例

运输问题及其数学模型

一、运输问题的数学模型

单一品种运输问题的典型情况：

设某种物品有m个产地A1,A2,…,Am，各产地的产量分别是a1,a2,…,am；有N个销地B1,B2,…,Bn，各销地地销量分别为b1,b2,…,bn。

假定从产地Ai（i=1,2,…,m）向销地Bj（j=1,2,…,n）运输单位物品的运价是cij，问怎样调运这些物品才能使总运费最小？

数据如下标所示。

表1产销平衡表

表2单位运价表

有时可把两表合一。

如果运输问题的总产量等于其总销量，即有

则称该运输问题为产销平衡运输问题；反之，称为产销不平衡运输问题。

运输问题的数学模型如下：

这就是运输问题的数学模型，它包含M×n个变量，（M十M）个约束方程．其系数矩阵的结构比较松散，且特殊．

二、运输问题数学模型的特点

1、运输问题有有限最优解，即必有最优基本可行解

2、运输问题约束条件的系数矩阵A的秩为（m+n-1）

该系数矩陈中对应于变量xij的系数向量pij，其分量中除第i个和第m十j个为1以外，其余的都为零．即

Pij＝（0…1…1…0）’=ei+em+j

对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：

特点：

（1）约束条件系数矩阵的元素等于0或1

（2）约束条件系数矩阵的每一列有两个非零元素，对应于每一个变量在前m个约束方程中出现一次，在后n个约束方程中也出现一次。

∴R（A）≤m+n-1

此外，对于产销平衡问题，还有以下特点

（3）所有结构约束条件都是等式约束

（4）各产地产量之和等于各销地销量之和

表上作业法

一、解题步骤

第1步：

用西北角法或最小元素法确定初始基本可行解。

第2步：

位势法求非基变量的检验数（解的最优性检验），若最优准则σij≥0，则当前解最优，计算停止，否则转第3步。

第3步：

取一个检验数最小的非基变量做进基变量。

第4步：

用闭回路法调整当前基本可行解，转第2步

1.确定初始基本可行解（初始调运方案）

以实例介绍：

例某公司生产糖果，它有三个加工厂A1,A2,A3,每月产量分别为7t,6t,5t,6t。

已知从第i个加工厂到第j个销售店的每吨糖果的运价Cij见表，试设计在满足各销售店需求量的前提下，各加工厂到各销售店的每月调运方案，使总的运费最小。

运价表

A西北角法

B最小元素法

2．解的最优性判别（位势法，也称对偶变量法）

3．用闭回路法调整当前基可行解

二、表上作业法计算中的几个问题

1、某个基本可行解有几个非基变量的检验数为负

若运输问题的某个基可行解有几个非基变量的检验数均为负，在继续进行迭代时，取它们中的任一变量均可使目标函数值得到改善，但通常取σij<0中最小者对应的变量为换入变量。

2、无穷多个最优解

当迭代到运输问题的最优解时，如果有某非基变量的检验数＝0，则说明该运输问题有无穷多最优解。

（如上例，为得到另一个最优解，只需让σij＝0的非基变量进基）

3、退化问题

当运输问题某部分产地的产量和与另一部分销地的销量和相等时，在迭代过程中有可能在某个格填入一个运量时需同时划去运输表的一行和一列，这时就出现了退化。

在运输问题中，退化解是时常发生的，为了使表上作业法的迭代工作进行下去，退化解应在同时划去的一行或一列中的某个空格中填入数字0，表示这个格中的变量是取值为0的基变量，使迭代过程中基可行解的分量恰好为m+n-1个。

b.在用闭回路法调整当前基本可行解时，调整量θ的取值应为θ＝min{xij/（i,j）为闭回路上所有偶数号格点}。

这时可能出现有两个（或以上）偶数号格点的xij都相等且都为极小值，只能取其中一个为离基格，其余的仍作为基格，而在作运输量调整时，运输量与θ相等的那些偶数号格点的xij都将调整为0，因此得到的也是一个退化了的基可行解。

4、循环问题

练习

产销不平衡的运输问题

一、总产量大于总销量

即

此时运输问题的数学模型为

二、总销量大于总产量

例1某市有三个造纸厂A1,A2,A3,其纸产量分别为8，5，9个单位，有4个集中用户B1,B2,B3,B4,其需用量为4，3，5，6个单位，由各厂到各用户的单位运价如表所示，试确定总运费最小的调运方案。

例2较为复杂的产销不平衡问题

设有三个化肥厂供应四个地区的农用化肥，假设每个地区使用各厂的化肥效果相同，各化肥厂的年产量，各地区的需求量以及它们之间的单位运价如表，求总运费最少的化肥调运方案。

分析：

（1）这是一个产销不平衡的运输问题，总产量为160万吨，四个地区的最低需求为110万吨，最高需求为无限．

根据现有产量及Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ地区的最低需求，第Iv个地区每年最多能分配到（50+60+50）-（30+70+0）=60万吨，这样四个地区的最高需求为50＋70＋30＋60＝210万吨，大于总产量．

（2）为了求得平衡，在产销平衡表中增加一个假想的化肥厂D，其年产量为210-160=50万吨．

（3）由于各地区的需要量包含两部分，最低需求和额外需求。

如地区Ⅰ，其中30万吨是最低需求，故不能由假想化肥厂D供给，令相应运价为M（任意大正数）．而另一部分20万吨满足或不满足均可以，因此可以由假想化肥厂D供给，按前面讲的，令相应运价为0。

这样，凡是需求分两种情况的地区，实际上可按照两个地区看待．这样可以写出这个问题的产销平衡表（表3—26）和单位运价表（表3—27）．

产销平衡表

单位运价表

两个表也可以合在一起写。

根据表上作业法计算，可以求得这个问题的最优方案如下：

应用举例

由于在变量个数相等的情况下，表上作业法的计算远比单纯形法简单得多．所以在解决实际问题时，人们常常尽可能把某些线性规划的问题化为运输问题的数学模型．下面介绍几个典型的例子．

例1某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10，15，25，20台同一规格的柴油机．已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如表所示．又如果生产出来的柴油机当季不交货的，每台每积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元．要求在完成合同的情况下，做出使该厂全年生产（包括储存、维护）费用最小的决策．

解:

由于每个季度生产出来的柴油机不一定当季交货，所以设xij为第i季度生产的用于第j季度交货的柴油机数．

根据合同要求，必须满足：

又每季度生产的用于当季和以后各季交货的柴油机数不可能超过该季度的生产能力，故又有：

第i季度生产的用于j季度交货的每台柴油机的实际成本Cij应该是该季度单位成本加上储存、维护等费用．Cij的具体数值见表

设用ai表示该厂第i季度的生产能力，bj表示第j季度的合同供应量，则问题可写成：

因为当j

所以当j

此外，由于是产量大于销量的不平衡问题，∴加上一个假想的需求D，就可以把问题变成产销平衡的运输模型，并写出产销平衡表和单位运价表（合在一起，如下）

经用表上作业法求解，可得多个最优方案，表3—32中列出最优方案之一．即第1季度生产25台，10台当季交货，15台Ⅱ季度交货；Ⅱ季度生产5台．用于Ⅲ季度交货；Ⅲ季度生产30台，其中20台于当季交货，10台于Ⅳ季度交货Ⅳ季度生产10台，于当季交货．按此方案生产，该厂总的生产（包括储存、维护）的费用为773万元．

例2某航运公司承担六个港口城市A、B、C、D、E、F的四条固定航线的物资运输任务．已知

（1）各条航线的起点、终点城市及每天航班数．

（2）假定各条航线使用相同型号的船只，又已知各城市间的航程天数．（3）又知每条船只每次装卸货的时间各需1天。

问该航运公司至少应配备多少条船，才能满足所有航线的运输需求?

每天航班数表

各城市之间的航程天数

解：

该公司所需配备船只分两部分：

（1）载货航程需要的周转船只数。

例如航线l，在港口E装货1天，E—D航程l7天，在D卸货1天，总计19天．每天3航班，故该航线周转船只需57条．各条航线周转所需船只数见表．以上累计共需周转船只数

91条．

（2）各港口间调度所需船只数．有些港口每天到达船数多于需要船数．例如港口D，每天到达3条，需求1条；而有些港口到达数少于需求数，例如港口B．各港口每天余缺船只数的计算见表．

为使配备船只数最少，应做到周转的空船数为最少．因此建立以下运输问题，其产销平衡表见表．

单位运价表应为相应各港口之间的船只航程天数，见表

用表上作业法求出空船的最优调度方案见表

另一最优解为xCA=1,xCE=1,xDB=1,xDE=1,xFE=1

按这两个方案掉运船只，解得Z=40，说明各港口之间调度所需船只至少为40艘。

综合以上两方面的要求，在不考虑维修、储备等情况下，该公司至少配备131条船，才能满足4条航线正常运输的需要。