速算与巧算.docx
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速算与巧算
一、速算基础
在进行数学计算时，一般按“先乘除，后加减，括号优先”的顺序进行计算，但遇到一些计算题用常规运算比较麻烦时，就要考虑怎样更简便来计算。
这就要求学生打破传统思维，运用发散思维，找出更好的解决办法，更快完成计算任务。
在计算时，利用数与数之间的特殊关系进行较快的加减乘除运算。
这种运算方法称为速算法，也叫心算法。
1、速算要点
（1）找出最熟悉的速算数或接近数；如0、1、10、100、1000、10000.。
。
。
。
。
。
（2）套用最基本的运算法则；
如：
交换律、结合律、分配律、提取公因素、平方差、完全平方差等。
（3）牢记特殊数的计算方法。
如：
111.。
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111X111.。
。
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。
。
111=123.。
。
。
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。
321（位数小于等于9）
2、数学运算定律
（1）加法运算定律与性质
加法交换律：
两个加数交换位置，和不变。
公式：
a+b+c=（b+a）+c
加法结合律：
先把前两个数相加或先把后两个数相加，再和另一个数相加，和不变。
公式：
a+b+c=（a+b）+c=a+（b+c）
（2）乘法运算定律与性质
乘法交换律：
两个因数交换位置，积不变。
公式：
axb=bxa
（3）乘法结合律：
先把任意两个数相乘，再和另一个数相乘，积不变。
公式：
axbxc=（axb）xc=ax（bxc）=（axc）xb
（4）乘法分配律
两个数与一个数相乘，可以分别先把两个数分别与这一个数相乘，然后再要相加减。
公式：
\（a+b）xc=axc+bxc
（a-b）xc=axc-bxc
2、减法运算定律与性质
（1）减法性质：
一个数连续减去两个数，可以先把两个数相加，再相减。
公式：
A-B-C=A-（B+C）
差不变的规律：
字母公式：
A-B=（AN-BN）=（A-B）/NN和B不等于0
（2）除法的性质
一个数连续除以两个数，可以先把后两个数相乘，然后再相除。
公式：
A/B/C=A/（BXC）
商不变的规律：
被除数和除数同时乘上或除以相同的数（0除外），它们的商不变。
分数的分子和分母同时乘上或除以相同的数（0除外），分数大小不变。
比不变规律：
两个相比较的数，扩大或缩小相同的倍数，比值不变。
公式：
a/b=（an）/（bn）=（a/n）/（b/n）nb不为0
二、速算方法
1、巧算加法类
（1）凑整法
如果一组加数中，每一个数与整十、整百、整千、整万都相差不大，我们可以先把这些数先转化为整十、整百、整千、整万……的数，然后再计算，叫凑整法。
凑整法分为移位分组凑整和加补分组凑整两种类型。
例1 计算：
872+65+128+35。
【分析】通过观察算式，我们发现：
872+128=1000；65+35=100；因此，计算时可以先算872+128和65+35。
【解答】872+65+128+35
=（872+128）+（65+35）
=1000+100
=1100
例2计算：
29+297+2998+29995。
【分析】算式中的加数都接近整十、整百、整千、整万，计算时我们根据“和不变”规律，给每个加数分别补上（增加）一个数，使它们分别凑成整十、整百、整千、整万的数，同时再减去多加的数，使计算简便。
【解答】 29+297+2998+29995
=30+300+3000+30000-（1+3+2+5）
=33330-11
=33319
【评注】本题根据加数的特点，采用“看整”后“调整”（减去多加的数或加上少加的数）的方法。
（2）找基准数法
如果一组数比较接近的数相加时，可选取其中一个较中间的数作为一个计算的基准数，再把少算的加上，多算的减去。
这样的方法就是找基准数法。
例1 计算：
53+52+46+48+55+49。
【分析】算式中的加数都比较接近50，计算时，可以以“50”为计算基础（这个数叫做“基准数”），把每个加数当做50相加，然后再把少加的加上，多加的减去。
【解答】53+52+46+48+55+49
=50×6+（3+2-4-2+5-1）
=300+3
=303
【评注】本题所用的方法叫“基准数法”。
选取的“基准数”应尽量接近这些加数的平均数，因此，要先对加数的平均数进行估计，使计算尽量简便。
（3）两位数字互换加法
在一个两位数的加式里，如果被加数的十位数和加数的个位数相同，而被加数的个位数又和加数的十位数相同，就将被加数的十位数和个数相加之和再乘以11，即为这个加式的和。
例：
58+85
=（5+8）X11
=13X11
=143
口诀：
（首+尾）X11
2、巧算减法类
（1）数字搬家
在连减或加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时，可以带着符号“搬家”，用“字母”表示：
a-b-c=a-c-b
a-b+c=a+c-b
例1 计算:
6367+1682-367
分析：
本题中，由于减数367是其中一个加数6367的尾数，因此，我们利用带着符号“搬家”的性质，将加数6367先减去尾数367，结果再与另一个加数运算。
解6367+1682-367
=6367-367+1682
=6000+1682
=7682
【评注】本题所用的方法叫“数字搬家”。
通过搬家变成整数，使计算更简便。
（2）加括号性质
在一个只有加减法运算的算式中，给算式的一部分添上括号，如果括号前面是加号，那么括号里面的运算符号都不改变；如果括号前面是减号，那么括号里面的运算符号都要改变，即加号变减号，减号变加号。
用字母表示：
a+b-c=a+（b-c）
a-b+c=a-（b-c）
a-b-c=a-（b+c）
例2580-158-842
解2580-158-842
=2580-（158+842）
=2580-1000
=1580
【评注】本题所用的方法叫“加括号的性质”。
（3）去括号性质
在一个有括号的加减法运算的算式中，将算式中的括号去掉，如果括号前面是加号，那么去掉括号后，括号里面的运算符号都不改变；如果括号前面是减号，那么括号里面的运算符号都要改变，即加号变减号，减号变加号。
用字母表示：
a+（b-c）=a+b-c
a-（b+c）=a-b-c
a-（b-c）=a-b+c
例3483-（483-256）
解=3483-483+256
=3000+256
=3256
【评注】本题所用的方法叫“去括号性质”。
（4）补数凑整
运算时，如果两数互为补数，我们可以用“搬家”及“添括号的性质”，将两数相加凑整，使运算简便。
例3346-1368+2446+6654-8632-1446
解=（3346+6654）-（1368+8632）+（2446-1446）
=10000-10000+1000
=1000
【评注】本题所用的方法叫“补数凑整”。
（5）找“基准数”法
例计算：
6509-285-279-283-278-277。
【分析】减数都接近280，也可以运用减法性质，并利用“基准数法”。
【解答】 6509-285-279-283-278-277
=6509-（285+279+283+278+277）
=6509-（280×5+5-1+3-2-3）
=6509-1402
=5107
【评注】本题根据减数的特点，采用减法性质进行简算。
（3）两位数字互换减法
在一个两位数的减式里，如果被减数的十位数和减数的个位数相同，而被减数的个位数又和减数的十位数相同，就将被减数的十位数和个数相减之差再乘以9，即为这个减式的差。
例：
85-58
=（8-5）X9
=3X9
=27
口诀：
（首-尾）X11
（4）首尾换位，中间相同的三位数减法
被减数的百位数减去个位数的差乘以9，分别将乘积的十位数值作为百位数，将乘积的个位数值仍作为个位数，两数中间写上一个9（十位数），便是这个头式的差。
例：
926-629
=（9-6）X9
=3X9
=2（9）7
口诀：
用被减数的百位数减去个位数，差乘以9的积作为百位和个位数，中间加上9作为十位数。
（5）前9尾10减法
十位数以前的数值和为9，个位数和为10。
可根据位数将被减数减去50、500、5000……。
结果扩大2位，即为最终的差。
例：
73-27=（73-50）X2613-387=613-500）X2
=23X2=113X2
=46=226
8112-1888=（8112-5000）X2
=3112X2
=6224
口诀：
两个互补的数相减，被减数减去位数相同的5的整10倍、100倍数。
结果乘以2即为最终的差。
3、巧算乘法类
（1）分组法
几个数相乘时，为了分组能够“凑整”或凑成比较简单的数，常常先把一个因数与另一个数因数进行分组，这种巧算方法叫分组法
例计算8×97×125
解=（8×125）×97
=1000×97
=97000
【评注】本题所用的方法叫“分组法”，将8和125分为一组，凑成整数1000。
（2）分解分组法
几个数相乘时，为了分组为了分组能够“凑整”或凑成比较简单的数，常常需要先把其中一个或几个因数进行分解，再来进行分组。
这种巧算方法叫“分解分组法”
例 计算：
25×125×32。
【分析】算式
（1）里面相乘的三个数中，32可以写成8×4，而25与4的乘积是100，125与8的乘积是1000，这就促使我们思考，能不能先把32写成8×4，再利用乘法交换律和结合律，把25与4，125与8先分别乘起来，使计算简便。
【解答】 25×125×32
=25×125×8×4
=（25×4）×（125×8）
=100×1000
=100000
【评注】本题所用的方法叫“分解分组法”。
根据算式中各因数的特点，进行凑整，使得计算简便。
（3）提取公因数法
当几个乘积相加减，而这些乘积中又有相同的因数时，我们可以采用提取公因数的方法进行巧算。
如果乘积中另外几个因数相加减的结果正好凑成整十、整百、整千、整万的数，或是是一些比较简单的数，那么计算就更为简便。
这种方法叫“提取公因数法”。
例43×25-25×27+75×21+25
【分析】这个算式中，加数25可以看成25×1，75×21根据积不变的规律可以看成25×63，这样四个乘积中就都有公因数25，于是可以用提取公因数的方法进行巧算。
解：
43×25-25×27+75×21+25
=43×25-25×27+25×63+25
=25×（43-27+63+1）
=25×80
=2000
【评注】本题所用的方法叫“提取公因数法”。
算式中各乘数都包含公因数25，把公因数25提取后，再把加减凑整，使得计算简便。
（4）增减补数提取公因数法
因数相差不大，而且没有相同的因数，可以通过增减因数数值，再运用提取公因数的方法进行巧算。
例：
19981999×19991998-19981998×19991999
【分析】本题是求乘积之差，没有相同的因数。
计算时，把19991998化成（19991999-1）后，就能出现相同的因数，再运用提取公因数的方法进行巧算。
解：
19981999×19991998-19981998×19991999
=19981999×（19991999-1）-19981998×19991999
=19981999×19991999-19981999-19981998×19991999
=19991999×（19981999-19981998）-19981999
=19991999×1-19981999
=19991999-19981999
=10000
【评注】本题所用的方法是根据“差不变”规律与“提取公因数”的方法，使得计算简便。
4、巧算除法类
除法运算时，应先熟记除法的基本性质和运算规律和性质，然后根据这些规律和性质进行简便运算
（1）乘除法中的“搬家”性质
在连除或者乘除混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着符号“搬家”。
用字母表示：
a÷b÷c=a÷c÷b
a÷b×c=a×c÷b
例1 计算：
3100÷25÷31。
【分析】根据“搬家”性质，将两个除数25和31调换位置，使计算更加简便。
【解答】 3100÷25÷31
=3100÷31÷25
=100÷25
=4
【评注】本题根据除数的特点，利用“搬家”的性质进行简便运算。
例2 计算：
80÷25×125。
【分析】根据“搬家”性质，将两个除数25和2调换位置，使计算更加简便。
【解答】80÷25×125
=80×125÷25
=1000÷25
=40
【评注】本题根据除数的特点，利用“搬家”的性质进行简便运算。
（2）加括号性质
在一个只有乘、除法运算的算式里，给算式的一部分添上括号，如果括号前面是乘号，那么括号里面的运算符号都不改变；如果括号前面是除号，那么括号里面的运算符号都要改变（乘号变为除号，除号变为乘号）。
用字母表示：
a÷b÷c=a÷（b×c）
a÷b×c=a÷（b÷c）
a×b÷c=a×（b÷c）
例1 计算：
3100÷25÷4。
【分析】根据“加括号”性质，给25和4这两个数加上括号，乘积正好是100。
再用被除数3100除以100，使计算更加简便。
【解答】 3100÷25÷4
=3100÷（25×4）
=3100÷100
=31
【评注】本题根据“除法性质”及“加括号”的方法进行简便运算。
例2 计算：
900÷72×8
【分析】根据“加括号”性质，给72和8这两个数加上括号，再用900除以72和8的商，使计算更加简便。
【解答】 900÷72×8
=900÷（72÷8）
=900÷9
=100
【评注】本题根据除数的特点，根据“除法性质”及“加括号”的方法进行简便运算。
例3 计算：
1250×72÷9
【分析】根据“加括号”性质，给72和8这两个数加上括号，再用900除以72和8的商，使计算更加简便。
【解答】 1250×72÷9
=1250×（72÷9）
=1250÷8
=10000
【评注】本题根据除数的特点，根据“除法性质”及“加括号”的方法进行简便运算。
（3）去括号性质
在一个有括号的乘除法运算的算式里，将算式中的括号去掉，如果括号前面是乘号，那么去掉括号后，括号里面的运算符号都不改变；如果括号前面是除号，那么去掉括号以后，括号里面的运算符号都要改变，乘号变成除号，除号变成乘号。
用字母表示：
a×（b÷c）=a×b÷c
a÷（b×c）=a÷b÷c
a÷（b÷c）=a÷b×c
例1 计算：
250×（300÷125）
【分析】根据“去括号”性质，先去掉括号，再将250除以125，商为2，再用2乘以300，使计算更加简便。
【解答】 250×（300÷125）
=250×300÷125
=250÷125×300
=2×300
=600
【评注】本题根据除数的特点，根据“除法性质”、“去括号”及“搬家”的方法进行简便运算。
例2 计算：
2800÷（40×14）
【分析】根据“去括号”性质，先去掉括号，再进行“搬家”，然后用2800除以14，最后用200除以40，使计算更加简便。
【解答】 2800÷（40×14）
=2800÷40÷14
=2800÷14÷40
=200÷40
=50
【评注】本题根据除数的特点，根据“除法性质”、“去括号”及“搬家”的方法进行简便运算。
例3 计算：
720÷（36÷15）
【分析】根据“去括号”性质，先去掉括号，然后用720除以36，最后用20乘以15，使计算更加简便。
【解答】 720÷（36÷15）
=720÷36×15
=20×15
=300
【评注】本题根据除数的特点，根据“除法性质”、“去括号”的方法进行简便运算。
（4）除法运算性质
两个数的和（或差）除以同一个数，可以用这个数分别去除这个数（在都能整除的情况下），再求两个商的和（或差）。
字母表示为：
（a+b）÷c=a÷c+b÷c
（a-b）÷c=a÷c-b÷c
例1（72+48）÷12
【分析】括号内的两个数分别是除数的倍数，可用72和48分别除以12，商分别为6和4，最后用6加上4，使运算简便。
【解答】（72+48）÷12
=72÷12+48÷12
=6+4
=10
【评注】此题运算了除法的基本性质。
例2（720-108）÷36
【分析】括号内的两个数分别是除数的倍数，可用720和108分别除以36，商分别为20和3，最后用20减去3，使运算简便。
【解答】（720-108）÷36
=720÷36-108÷36
=20-3
=17
【评注】此题运算了除法的基本性质。
（5）商不变规律
如果被除数和除数同时乘以或除以一个数（零除外），它们的商不变。
用字母表示如下：
如果a÷b=c
那么（a×m）÷（b×m）=c（m≠0）
（a÷m）÷（b÷m）=c（m≠0）
例1475÷25
【分析】根据“商不变”规律，将被除数475和除数25分别扩大4倍，使运算简便。
【解答】475÷25
=（475×4）÷（25×4）
=1900÷100
=19
【评注】此题运算了商不变规律进行简便运算。
例2360÷24
【分析】根据“商不变”规律，将被除数475和除数25分别缩小12倍，使运算简便。
【解答】360÷24
=（360÷12）÷（24÷12）
=30÷2
=15
【评注】此题运算了商不变规律进行简便运算。
5、拓展练习
（1）1÷（2÷3）÷（3÷4）÷（4÷5）÷（5÷6）
【分析】此题既繁又有难度，而对于没有学过分数的小学生来说，做出这道题根本不可能。
但我们根据除法的运算性质去掉括号后，就会连续出现“×A÷A”，这样就可以巧算了。
【解答】1÷（2÷3）÷（3÷4）÷（4÷5）÷（5÷6）
=1÷2×3÷3×4÷4×5÷5×6
=1÷2×（3÷3）×（4÷4）×（5÷5）×6
=1÷2×6
=1×6÷2
=3
【评注】此题运用了“去括号”性质和“加括号”性质，使运算简便。
（2）187÷13-40÷13-17÷13
【分析】此题利用除法的运算性质（a-b）÷c=a÷c-b÷c。
【解答】187÷13-40÷13-17÷13
=（187-40-17）÷13
=130÷13
=10
【评注】此题运用了“除法性质”，提取出了公因数13，使运算简便。
（3）304×312÷198÷312×198÷312
【分析】此题利用除法的搬家性质，使运算简便。
【解答】304×312÷198÷312×198÷304
=304÷304×312÷312×198÷198
=（304÷304）×（312÷312）×（198÷198）
=1×1×1
=1
【评注】此题运用了“搬家性质”和加括号性质，使运算简便。
四、加减心算
多位数心算加法
多位数心算指算加减累加法，就是从高位算起，加法是以本位满10，前位进1的方法。
按数位（即千位加千位，百位加百位，其余，以此类推）逐位依次将两加个数之和数用心算累加在手指上。
减法则是按本位不够减，前位退1，本位加补的方法运算。
（比如千位不够减，万位退1，千位加补，百位不够减，千位退1，百位加补。
其余，以此类推）。
此方法，省时省力，快速准确。
例一：
6572+6893 =13465
计算方法，从高位算起。
首先算千位，六加六等于十二，满十向万位进一，万位指一，千位指二，紧接着算百位，五加八等于十三，满十千位进一，午位由二指各3，百位指向三，接着算十位，七加九等于十六，满十百位进一，百位由三指向四，十位指向六，最后计算个位，二加三等于五，个位指向五，所以和数等于13465。
例二：
8752-3845 = 4907
计算方法，从高位算起，千位八减三等于五，千位指向五，百位七减八不够减，千位退一，千位由五指向四，百位七加八的补数二，七加二等于九，百位指向九，接着计算十位，五减四等于一，十位指向一，再算个位，二减五不够减，十位退一，个位二加上五的补数等于七，所以差数等于4907。
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