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43分部积分法习题

第4章不定积分分部积分法习题解

1．求以下不定积分：

⑴xsinxdx；

【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，

应将乘积中的

sinx作为先积分部份，得

xsinxdx

xd（cosx）

----

sinxdx

cosx

c

xcosx

cosxdx

----

udvuv

vdu

xcosx

sinxc

----

cosxdx

sinx

c

⑵arcsinxdx；

【解】被积函数已经拥有udv的构造，能够考虑直接套用分部积分公式，得

arcsinxdxxarcsinx

xdarcsinx

----

udv

uv

vdu

xarcsinx

1

dx

----

整理

x

1

x2

xarcsinx

1

1

d（1x2）

----

d（1

x2）

2xdx

21x2

xarcsinx1x2c

⑶xln（x1）dx；

【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，

乘积中有不行独立积分的ln（x1），则应将另一部份x作为先积分部份，得

xln（x1）dx

ln（x1）d

1

x2

----

xdx

1

x2

c

2

2

1x2ln（x

1）

1x2dln（x

1）

----

udv

uv

vdu

2

2

1x2ln（x

1）

1

x2

1

dx

----

整理

2

2

x1

1x2ln（x

1）

1

（x

1

1

）dx

----化假分式为多项式

+真分式

2

2

x

1

1x2ln（x

1）

1（1x2

x

lnx1）

c

2

2

2

1

（x2

1）ln（x

1）

1

x2

1

x

c

2

4

2

1

第4章不定积分分部积分法习题解

⑷xexdx；

【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，

应将乘积中的ex作为先积分部份，得

xexdx

xd（

ex）

----

exdx

ex

c

xex

exdx

----

udvuv

vdu

xex

ex

c

----

exdx

ex

c

（x

1）ex

c

⑸excosxdx；

【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，

【解法一】将乘积中的ex作为先积分部份，得

excosxdx

cosxd（

ex）

----

exdx

ex

c

excosx

exdcosx

----

udv

uv

vdu

excosx

exsinxdx

----

dcosx

sinxdx

excosx

sinxd（

ex）

----

exdx

ex

c

excosx

[

exsinx

exdsinx]

----

udv

uv

vdu

ex（sinx

cosx）

excosxdx

----

dsinx

cosxdx

即有

e

x

cos

e

x

（sinx

cosx）e

x

cosxdx

xdx

移项、整理得

2excosxdx

ex（sinx

cosx）

C1

整理得积分结果

excosxdx

1

ex（sinx

cosx）

c

2

【解法二】将乘积中的

cosx作为先积分部份，得

excosxdx

exdsinx

----

cosxdx

sinx

c

exsinx

sinxdex

----

udv

uv

vdu

exsinx

（

ex）sinxdx

----

dex

exdx

2

第4章不定积分分部积分法习题解

exsinx

exd（

cosx）

----

sinxdx

cosx

c

exsinx

ex（cosx）

（cosx）dex

----

udv

uvvdu

ex（sinx

cosx）

（

cosx）（ex）dx

----

dex

exdx

ex（sinx

cosx）

excosxdx

----

整理

x

cos

x

x

即有

e

xdxe（sinx

cosx）

e

cosxdx

将右侧的积分项移到左侧，整理得

2

excosxdx

ex（sinxcosx）

最后得积分结果

excosxdx

1

ex（sinx

cosx）

c

2

⑹x2arctanxdx；

【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，

乘积中有不行独立积分的

arctanx，则应将另一部份

x2作为先积分部份，得

x2arctanxdxarctanxd1x3

----

x2dx

1x3

c

3

3

1x3arctanx

1x3darctanx

----

udv

uv

vdu

3

3

1

x3arctanx

1

x3

1

12

dx

----

darctanx

1

1

2dx

3

3

x

x

1x3arctanx

1

（x

1

x

2）dx

----

化假分式为多项式

+真分式

3

3

x

1x3arctanx

1（1x2

1

x

dx）

----

分别积分

3

3

2

x2

1x3arctanx

1

[1x2

1

1

2

d（1

x2）]

----

d（1

x2）

2xdx

3

3

2

2

1x

1x3arctanx

1[1x2

1ln（1

x2）]

c

----

1du

lnu

c

3

3

2

2

u

1x3arctanx

1x2

1ln（1

x2）

c

----

整理

3

6

6

⑺xcosxdx；

2

【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，

将乘积中的cosx作为先积分部份，得

2

cosxdx

2cosxdx

2sinx

xcosxdx

xd2sinx

----

c

2

2

2

2

2

2

3

第4章不定积分分部积分法习题解

x

2

x

----

udv

uv

vdu

2xsin

sindx

2

2

x

2（

2cos

x

c----

x

dx

x

x

2cos

x

2xsin

）

sin

2sin

d

c

2

2

2

2

2

2

2xsinx

4cosx

c

----

整理

2

2

⑻lnxdx；

【解】积分式已经拥有udv的形式，能够直接套用分部积分公式，得

lnxdx

xlnx

xdlnx

----

udv

uv

vdu

xlnx

x

1

----

dlnx

1

dx

dx

x

x

xlnx

dx

----

整理

xlnx

x

c

----

dx

x

c

x（lnx

1）

c

⑼xsinxcosxdx；

【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，

【解法一】将乘积中的

cosx作为先积分部份，得

xsinxcosxdx

xsinxdsinx

----

cosxdx

sinxc

xd

1

sin2x

----仍为两不一样种类函数的乘积

--

xudu

xd

1

u2

2

2

1xsin2x

1sin2xdx

----

udv

uv

vdu

2

2

1xsin2

x

11

cos2xdx

----

sin2x

1

cos2x

2

2

2

2

1xsin2x

1（x

cos2xdx）

----

分别积分

2

4

1

xsin2

x

1

（x

1

cos2xd2x）

----

d2x

2dx

2

4

2

1

xsin2x

1

（x

1

sin2x）

c

----

cosudu

sinu

c

2

4

2

1xsin2

x

1x

1sin2xc

----

整理

2

4

8

【此题解答案与课本后答案能够互化：

1xsin2x

1x

1sin2x

c

1x1

cos2x

1x

1sin2x

c

2

4

8

2

2

4

8

4

第4章不定积分分部积分法习题解

1

1

xcos2x

1

1

c

1

1

x

x

sin2x

xcos2x

sin2xc】

4

4

4

8

4

8

【解法二】为利于积分的进行，先将乘积中的

sinxcosx化简为1

sin2x，并将其作为先积

2

分部份，得

xsinxcosxdx

1

xsin2xdx

----

sinxcosx

1sin2x

2

2

1

xd（

1cos2x）

----sin2xdx

1cos2x

c

2

2

2

1[

1xcos2x

（1cos2x）dx]

----

udv

uv

vdu

2

2

2

1xcos2x

1

cos2xdx

----

整理

4

4

1

xcos2x

1

cos2xd2x

----

d2x

2dx

4

8

1xcos2x

1sin2x

c

----

cosudu

sinu

c

4

8

⑽xtan2xdx；

【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，

为便于积分，先将乘积中的

tan2x化为易于积分的sec2

x

1

，得

xtan2xdx

x（sec2x

1）dx

----

tan2x

sec2x1

（xsec2xx）dx

----

整理

1

x2

xsec2xdx

----

分别积分

2

1x2

xdtanx

----

sec2xdx

tanx

c

2

1x2

xtanx

tanxdx

----

udv

uv

vdu

2

1x2

xtanx

sinxdx

----

tanx

sinx

2

cosx

cosx

1

x2

xtanx

1

dcosx

----dcosx

sinxdx

2

cosx

1

x2

xtanx

lncosx

c

----

1

du

lnuc

2

u

ln3x

⑾

x

2dx；

【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，

5

第4章不定积分分部积分法习题解

乘积中有不行独立积分的

ln3x，则应将另一部份

1作为先积分部份，得

x2

3

xdxln3xd1

12dx

ln2

----

1

c

x

x

x

x

ln3x

1dln3x

----

udv

uv

vdu

x

x

ln3x

1

3ln2xdx

----

dln3x

3ln2x

1dx

x

x

x

x

ln3x

3ln2xdx

----

整理，并再次应用上边的方法

x

x2

ln3x

3ln

2

1

----

1

1

c

x

xd

x

2dx

x

x

ln3x

3ln2x

1

d3ln2x

----

udvuv

vdu

x

x

x

ln3x

3ln2x

1

6lnx

1dx

----

d3ln2x

32lnx1dx

x

x

x

x

x

ln3x

3ln2

x

6ln

x

----

整理，并再次应用上边的方法

x

x

x

2

dx

ln3x

3ln2x

6lnxd

1

----

12dx

1

c

x

x

x

x

x

ln3x

3ln2x

6lnx

1

d6lnx

----

udv

uv

vdu

x

x

x

x

ln3x

3ln2x

6lnx

6

1

----

d6lnx

6

x

x

x

2dx

dx

x

x

ln3x

3ln2x

6lnx

6

c

----

12

dx

1

c

x

x

x

x

x

x

1（ln3x3ln2

x6lnx

6）

c

----

整理

x

⑿（arcsinx）2dx；

【解】积分式已经拥有udv的形式，能够直接套用分部积分公式，得

6

第4章不定积分分部积分法习题解

（arcsinx）2dx

x（arcsinx）2

xd（arcsinx）2

----

udv

uv

vdu

x（arcsinx）2

x2arcsinxdx----

d（arcsinx）2

2arcsinx

1

dx

1

x2

1

x2

x（arcsinx）2

arcsinx

2x

dx

----整理

1

x2

x（arcsinx）2

arcsinxd（

2

1

x2）

----

2x

dx

1

x2

d（1

x2）

2

1

x2

c

1

x2

1

x（arcsinx）2

[

2

1

x2arcsinx

（

2

1

x2）darcsinx]

----

udv

uv

vdu

x（arcsinx）2

2

1

x2arcsinx

2

1

x2

1

dx

1

x2

----

darcsinx

1

dx

1

x2

x（arcsinx）2

2

1

x2

arcsinx

2

dx

----

整理

x（arcsinx）2

2

1

x2arcsinx

2x

c