四边形知识点经典总结.doc
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四边形知识点：
一、关系结构图：
二、知识点讲解：
1．平行四边形的性质（重点）：
ABCD是平行四边形Þ
2.平行四边形的判定（难点）：
.
3.矩形的性质：
因为ABCD是矩形Þ
（4）是轴对称图形，它有两条对称轴．
4矩形的判定：
矩形的判定方法：
（1）有一个角是直角的平行四边形；
（2）有三个角是直角的四边形；
（3）对角线相等的平行四边形；
（4）对角线相等且互相平分的四边形．Þ四边形ABCD是矩形.
5.菱形的性质：
因为ABCD是菱形Þ
6.菱形的判定：
Þ四边形四边形ABCD是菱形.
7.正方形的性质：
ABCD是正方形Þ
8.正方形的判定：
Þ四边形ABCD是正方形.
名称
定义
性质
判定
面积
平
行
四
边
形
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
①对边平行；
②对边相等；
③对角相等；
④邻角互补；
⑤对角线互相平分；
⑥是中心对称图形
①定义；
②两组对边分别相等的四边形；
③一组对边平行且相等的四边形；
④两组对角分别相等的四边形；
⑤对角线互相平分的四边形。
S=ah（a为一边长，h为这条边上的高）
矩
形
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
除具有平行四边形的性质外，还有：
①四个角都是直角；②对角线相等；③既是中心对称图形又是轴对称图形。
①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③定义。
S=ab（a为一边长，b为另一边长）
菱
形
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
除具有平行四边形的性质外，还有①四边形相等；②对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；③既是中心对称图形又是轴对称图形。
①四条边相等的四边形是菱形；②对角线垂直的平行四边形是菱形；③定义。
①S=ah（a为一边长，h为这条边上的高）；
②（b、c为两条对角线的长）
正
方
形
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
具有平行四边形、矩形、菱形的性质：
①四个角是直角，四条边相等；②对角线相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；③既是中心对称图形又是轴对称图形。
①有一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形；③定义。
①（a为边长）；
②（b为对角线长）
三．精典例题解答：
1．已知：
如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF。
求证：
（1）△ADF≌△CBE；
（2）EB∥DF。
证明：
（1）∵AE=CF∴AE+EF=CF+FE即AF=CE
又ABCD是平行四边形，∴AD=CB，AD∥BC∴∠DAF=∠BCE
在△ADF与△CBE中
∴△ADF≌△CBE（SAS）
（2）∵△ADF≌△CBE∴∠DFA=∠BEC∴DF∥EB
例1图例2图
2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF，求证：
四边形BFDE是平行四边形。
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD
又∵AE=CF
∴OA+AE=OC+CF即OE=OF
∴四边形BFDE是平行四边形
3．如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C’处，折痕DE交BC于点E，连结。
求证：
四边形是菱形。
证明：
根据题意可知
则，，
∵AD∥BC∴∴∠CDE=∠CED
∴CD=CE∴∴四边形为菱形
例3图
4．把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）。
试问线段HG与线段HB相等吗？
请先观察猜想，然后再证明你的猜想。
解：
HG=HB。
证法1：
连结AH，
∵四边形ABCD，AEFG都是正方形
∴∠B=∠G=90°
由题意知AG=AB，又AH=AH
∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL）
∴HG=HB
证法2：
连结GB
∵四边形ABCD，AEFG都是正方形
∴∠ABC=∠AGF=90°
由题意知AB=AG
∴∠AGB=∠ABG
∴∠ABC-∠ABG=∠AGF-∠AGB即∠HBG=∠HGB
∴HG=HB
5．如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n°后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O。
（1）以图中已标有字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外），要求所连结的两条线段相
交且互相垂直，交说明这两条线段互相垂直的理由；
（2）若正方形的边长为2cm，重叠部分（四边形AEOD）的面积为，求旋转的角度n。
解：
（1）我连结的两条相交且互相垂直的线段是____AO____和____DE____。
理由如下：
∵在Rt△ADO与Rt△AEO中，AD=AE，AO=AO，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO
∴∠DAO=∠OAE（即AO平分∠DAE）
∴AO⊥DE（等腰三角形的三线合一）
注：
其它的结论也成立如GD⊥BE。
（2）∵四边形AEOD的面积为
∴三角形ADO的面积=
∵AD=2
∴
∴∠DAO=30°
∴∠EAB=30°即旋转的角度是30°
例5图例6图
6．四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG。
（1）求证：
AE=CG；
（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想。
证明：
（1）如图，
∵AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°
又∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE
∴△ADE≌△CDG
∴AE=CG
（2）猜想：
AE⊥CG。
证明：
如图，设AE与CG交点为M，AD与CG交点为N
∵△ADE≌△CDG
∴∠DAE=∠DCG
又∵∠ANM=∠CND
∴△AMN∽△CDN
∴∠AMN=∠ADC=90°
∴AE⊥CG
7．已知：
如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：
四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？
并给出证明。
证明：
（1）在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC
∴∠BAD=∠DAC
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线
∴∠MAE=∠CAE
∴
又∵AD⊥BC，CE⊥AN
∴∠ADC=∠CEA=90°
∴四边形ADCE为矩形
（2）当时（答案不唯一），四边形ADCE是正方形。
证明：
∵AB=AC，AD⊥BC于D
∴
又
∴DC=AD
由
（1）四边形ADCE为矩形
∴矩形ADCE是正方形
例8图
8．将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到处，折痕为EF。
（1）求证：
△ABE≌△AD′F；
（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？
证明你的结论。
证明：
（1）由折叠可知：
，，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B=∠D，AB=CD，∠C=∠BAD
∴∠B=∠D′，AB=AD′
∠D′AE=∠BAD，即∠1+∠2=∠2+∠3
∴∠1=∠3
∴△ABE≌△AD′F
（2）四边形AECF是菱形。
由折叠可知：
AE=EC，∠4=∠5
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠5=∠6
∴∠4=∠6
∴AF=AE
∵AE=EC
∴AF=EC
又∵AF∥EC
∴四边形AECF是平行四边形
∵AF=AE∴四边形AECF是菱形。
9．如下图，已知P正方形ABCD的对角线AC上一点（不与A、C重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F．
（1）求证：
BP=DP；
（2）若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？
若是，请给予证明；若不
是，请用反例加以说明；
（3）试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边
形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论．
思路分析：
（1）解法一：
在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP．
解法二：
利用正方形的轴对称性，可得BP=DP．
（2）不是总成立．当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，
DP>DC>BP，此时BP=DP不成立．
说明：
未用举反例的方法说理的不得分．
（3）连接BE、DF，则BE与DF始终相等．
在图中，可证四边形PECF为正方形，
在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC．
从而有BE=DF
10．为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图③、图④、图⑤中画出三
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