四边形知识点经典总结.doc
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四边形知识点:
一、关系结构图:
二、知识点讲解:
1.平行四边形的性质(重点):
ABCD是平行四边形Þ
2.平行四边形的判定(难点):
.
3.矩形的性质:
因为ABCD是矩形Þ
(4)是轴对称图形,它有两条对称轴.
4矩形的判定:
矩形的判定方法:
(1)有一个角是直角的平行四边形;
(2)有三个角是直角的四边形;
(3)对角线相等的平行四边形;
(4)对角线相等且互相平分的四边形.Þ四边形ABCD是矩形.
5.菱形的性质:
因为ABCD是菱形Þ
6.菱形的判定:
Þ四边形四边形ABCD是菱形.
7.正方形的性质:
ABCD是正方形Þ
8.正方形的判定:
Þ四边形ABCD是正方形.
名称
定义
性质
判定
面积
平
行
四
边
形
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
①对边平行;
②对边相等;
③对角相等;
④邻角互补;
⑤对角线互相平分;
⑥是中心对称图形
①定义;
②两组对边分别相等的四边形;
③一组对边平行且相等的四边形;
④两组对角分别相等的四边形;
⑤对角线互相平分的四边形。
S=ah(a为一边长,h为这条边上的高)
矩
形
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
除具有平行四边形的性质外,还有:
①四个角都是直角;②对角线相等;③既是中心对称图形又是轴对称图形。
①有三个角是直角的四边形是矩形;②对角线相等的平行四边形是矩形;③定义。
S=ab(a为一边长,b为另一边长)
菱
形
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
除具有平行四边形的性质外,还有①四边形相等;②对角线互相垂直,且每一条对角线平分一组对角;③既是中心对称图形又是轴对称图形。
①四条边相等的四边形是菱形;②对角线垂直的平行四边形是菱形;③定义。
①S=ah(a为一边长,h为这条边上的高);
②(b、c为两条对角线的长)
正
方
形
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
具有平行四边形、矩形、菱形的性质:
①四个角是直角,四条边相等;②对角线相等,互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角;③既是中心对称图形又是轴对称图形。
①有一组邻边相等的矩形是正方形;②有一个角是直角的菱形是正方形;③定义。
①(a为边长);
②(b为对角线长)
三.精典例题解答:
1.已知:
如图,E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点,AE=CF。
求证:
(1)△ADF≌△CBE;
(2)EB∥DF。
证明:
(1)∵AE=CF∴AE+EF=CF+FE即AF=CE
又ABCD是平行四边形,∴AD=CB,AD∥BC∴∠DAF=∠BCE
在△ADF与△CBE中
∴△ADF≌△CBE(SAS)
(2)∵△ADF≌△CBE∴∠DFA=∠BEC∴DF∥EB
例1图例2图
2.如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E、F是直线AC上的两点,并且AE=CF,求证:
四边形BFDE是平行四边形。
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC,OB=OD
又∵AE=CF
∴OA+AE=OC+CF即OE=OF
∴四边形BFDE是平行四边形
3.如图,在梯形纸片ABCD中,AD∥BC,AD>CD,将纸片沿过点D的直线折叠,使点C落在AD上的点C’处,折痕DE交BC于点E,连结。
求证:
四边形是菱形。
证明:
根据题意可知
则,,
∵AD∥BC∴∴∠CDE=∠CED
∴CD=CE∴∴四边形为菱形
例3图
4.把正方形ABCD绕着点A,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG,边FG与BC交于点H(如图)。
试问线段HG与线段HB相等吗?
请先观察猜想,然后再证明你的猜想。
解:
HG=HB。
证法1:
连结AH,
∵四边形ABCD,AEFG都是正方形
∴∠B=∠G=90°
由题意知AG=AB,又AH=AH
∴Rt△AGH≌Rt△ABH(HL)
∴HG=HB
证法2:
连结GB
∵四边形ABCD,AEFG都是正方形
∴∠ABC=∠AGF=90°
由题意知AB=AG
∴∠AGB=∠ABG
∴∠ABC-∠ABG=∠AGF-∠AGB即∠HBG=∠HGB
∴HG=HB
5.如图,正方形ABCD绕点A逆时针旋转n°后得到正方形AEFG,边EF与CD交于点O。
(1)以图中已标有字母的点为端点连结两条线段(正方形的对角线除外),要求所连结的两条线段相
交且互相垂直,交说明这两条线段互相垂直的理由;
(2)若正方形的边长为2cm,重叠部分(四边形AEOD)的面积为,求旋转的角度n。
解:
(1)我连结的两条相交且互相垂直的线段是____AO____和____DE____。
理由如下:
∵在Rt△ADO与Rt△AEO中,AD=AE,AO=AO,
∴Rt△ADO≌Rt△AEO
∴∠DAO=∠OAE(即AO平分∠DAE)
∴AO⊥DE(等腰三角形的三线合一)
注:
其它的结论也成立如GD⊥BE。
(2)∵四边形AEOD的面积为
∴三角形ADO的面积=
∵AD=2
∴
∴∠DAO=30°
∴∠EAB=30°即旋转的角度是30°
例5图例6图
6.四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG。
(1)求证:
AE=CG;
(2)观察图形,猜想AE与CG之间的位置关系,并证明你的猜想。
证明:
(1)如图,
∵AD=CD,DE=DG,∠ADC=∠GDE=90°
又∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE
∴△ADE≌△CDG
∴AE=CG
(2)猜想:
AE⊥CG。
证明:
如图,设AE与CG交点为M,AD与CG交点为N
∵△ADE≌△CDG
∴∠DAE=∠DCG
又∵∠ANM=∠CND
∴△AMN∽△CDN
∴∠AMN=∠ADC=90°
∴AE⊥CG
7.已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E,
(1)求证:
四边形ADCE为矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?
并给出证明。
证明:
(1)在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC
∴∠BAD=∠DAC
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线
∴∠MAE=∠CAE
∴
又∵AD⊥BC,CE⊥AN
∴∠ADC=∠CEA=90°
∴四边形ADCE为矩形
(2)当时(答案不唯一),四边形ADCE是正方形。
证明:
∵AB=AC,AD⊥BC于D
∴
又
∴DC=AD
由
(1)四边形ADCE为矩形
∴矩形ADCE是正方形
例8图
8.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠,使点C与A重合,点D落到处,折痕为EF。
(1)求证:
△ABE≌△AD′F;
(2)连接CF,判断四边形AECF是什么特殊四边形?
证明你的结论。
证明:
(1)由折叠可知:
,,
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B=∠D,AB=CD,∠C=∠BAD
∴∠B=∠D′,AB=AD′
∠D′AE=∠BAD,即∠1+∠2=∠2+∠3
∴∠1=∠3
∴△ABE≌△AD′F
(2)四边形AECF是菱形。
由折叠可知:
AE=EC,∠4=∠5
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠5=∠6
∴∠4=∠6
∴AF=AE
∵AE=EC
∴AF=EC
又∵AF∥EC
∴四边形AECF是平行四边形
∵AF=AE∴四边形AECF是菱形。
9.如下图,已知P正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合),PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F.
(1)求证:
BP=DP;
(2)若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转,在旋转过程中是否总有BP=DP?
若是,请给予证明;若不
是,请用反例加以说明;
(3)试选取正方形ABCD的两个顶点,分别与四边形PECF的两个顶点连结,使得到的两条线段在四边
形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等,并证明你的结论.
思路分析:
(1)解法一:
在△ABP与△ADP中,利用全等可得BP=DP.
解法二:
利用正方形的轴对称性,可得BP=DP.
(2)不是总成立.当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转,点P旋转到BC边上时,
DP>DC>BP,此时BP=DP不成立.
说明:
未用举反例的方法说理的不得分.
(3)连接BE、DF,则BE与DF始终相等.
在图中,可证四边形PECF为正方形,
在△BEC与△DFC中,可证△BEC≌△DFC.
从而有BE=DF
10.为创建绿色校园,学校决定对一块正方形的空地进行种植花草,现向学生征集设计图案.图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计,使正方形和所画的图弧构成的图案,既是轴对称图形又是中心对称图形.种植花草部分用阴影表示.请你在图③、图④、图⑤中画出三