人教版中职数学教材基础模块下册全册教案610章共55份教案.docx
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人教版中职数学教材基础模块下册全册教案610章共55份教案
人教版中职数学教材基础模块下册全册教案
(2009年12月第1版)
第六章数列
6.1.1数列的定义
【教学目标】
1.理解数列的有关概念和通项公式的意义.
2.了理解数列与函数的关系,培养学生观察分析的能力.
3.使学生体会数学与生活的密切联系,提高数学学习的兴趣.
【教学重点】
数列的概念及其通项公式.
【教学难点】
数列通项公式的概念.
【教学方法】
这节课主要采用情景教学法.利用多媒体,在教师的引导下,根据学生的认知水平,设计了创设情境——引入概念,观察归纳——形成概念,讨论研究——深化概念,即时训练——巩固新知等环节.各步骤环环相扣,层层深入,引导学生体会数学概念形成过程中所蕴涵的数学方法,使之获得内心感受.
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
导
入
1.讲故事,感受数列
2.提出问题,引入新课
我国有用十二生肖纪年的习俗,每年都用一种动物来命名,12年轮回一次.2009年(农历乙丑年)是21世纪的第一个牛年,请列出21世纪所有牛年的年份.
教师讲述古印度传说故事《棋盘上的麦粒》.
学生倾听故事,认识数列.
教师提出问题.
学生分组讨论,找出问题的答案.
创设情境,让学生认识数列,激发学生的好奇心,增强学生的学习兴趣.
提出和本节课密切相关的问题,让学生思考,充分发挥学习小组的作用,展开讨论.
新
课
新
课
新
课
1.数列的定义
把21世纪所有牛年的年份排成一列,得到
2009,2021,2033,2045,2057,2069,2081,2093.①
像①这样按一定次序排列的一列数,叫做数列.
数列中的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n项,…,比如,2009是数列①的第1项(或首项),2093是数列①的第8项.
举出一些数列的例子:
大于3且小于11的自然数排成一列
4,5,6,7,8,9,10;②
正整数的倒数排成一列
1,,,,…;③
精确到1,0.1,0.01,0.001,…的近似值排成一列
1,1.4,1.41,1.414,…;④
-1的1次幂,2次幂,3次幂,4次幂,…排成一列
-1,1,-1,1,-1,…;⑤
无穷多个2排成一列
2,2,2,2,…;⑥
这些都是数列.
2.数列的分类
项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列.
练习
(1)已知数列,,,,…,则3是它的第项.
(2)已知数列1,,-,,…,
(-1)n+1·,…,那么它的第10项是().
(A)-1(B)1
(C)-(D)
3.数列的一般形式
数列从第一项开始,按顺序与正整数对应.所以数列的一般形式可以写成
a1,a2,a3,…,an,…,
其中,an是数列的第n项,叫做数列的通项,n叫做an的序号.
整个数列可记作{an}.
4.数列的通项公式
如果an(n=1,2,3,…)与n之间的关系可用
an=f(n)
来表示,那么这个关系式叫做这个数列的通项公式,其中n的取值是正整数集的一个子集.由此可知,数列的通项可以看成以正整数集的子集为定义域的函数.
例如,数列
1,,,,…,,…可记作{},其通项公式为
an=,nN+.
如果数列通项的定义域是正整数集,定义域通常略去不写.
教师在学生探究的基础上,给出问题的答案.
教师板书定义.
教师出示一组数列的例子.
师:
数列4,5,6,7,8,9,10;与10,9,8,7,6,5,4是不同的数列.
而集合{4,5,6,7,8,9,10}与{10,9,8,7,6,5,4}是相同的集合.
强调数列的有序性,集合元素的无序性.
教师利用上面举过的例子,讲解“数列的分类”.
请学生指出上述数列中的有穷数列和无穷数列:
①②是有穷数列,③④⑤⑥是无穷数列.
同桌之间讨论,完成练习.
教师巡视指导.
观察数列.
1,,,,….
教师提出问题:
数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系?
这一关系可否用一个公式表示?
学生分组讨论.
对于上面的数列,第一项与这一项的序号有这样的对应关系:
项1
↓↓↓↓
序号1234
这个数列的每一项与这一项的序号可用公式
an=
来表示其对应关系.
强调数列的“有序性”,使学生对数列定义有更深刻的认识,又为后面学习数列的通项公式埋下伏笔.
重视举例这一环节,调动学生的思维,发挥学生的主动性,加深对数列定义的理解.
观察实例,培养学生分类能力.
通过练习,让学生进一步掌握数列的定义.
培养学生的观察能力和由特殊到一般的归纳能力.
小
结
本节课主要学习了以下内容:
1.数列的定义;
2.数列的分类;
3.数列的通项公式.
学生阅读课本P3~P5上半部分,畅谈本节课的收获,教师引导梳理,总结本节课的知识点.
培养学生自己归纳、总结的学习习惯.
作
业
教材P4,探索与研究.
学生课后完成.
巩固拓展.
6.1.2数列的通项
【教学目标】
1.理解数列的通项公式的意义,能根据通项公式写出数列的任意一项,以及根据其前几项写出它的一个通项公式.
2.了解数列的递推公式,会根据数列的递推公式写出前几项.
3.培养学生积极参与、大胆探索的精神,培养学生的观察、分析、归纳的能力.
【教学重点】
数列的通项公式及其应用.
【教学难点】
根据数列的前几项写出满足条件的数列的一个通项公式.
【教学方法】
本节课主要采用例题解决法.通过列举实例,进一步研究数列的项与序号之间的关系.通过三类题目,使学生深刻理解数列通项公式的意义,为以后学习等差数列与等比数列打下基础.
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
导
入
⒈数列的定义
按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意:
(1)数列中的数是按一定次序排列的;
(2)同一个数在数列中可以重复出现.
2.数列的一般形式
数列a1,a2,a3,…,an,…,可记作{an}.
3.数列的通项公式:
如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
教师引导学生复习.
为学生进一步理解通项公式,应用通项公式解决实际问题做好准备.
新
课
新
课
新
课
新
课
如果已知一个数列的通项公式,则可依次用限定的正整数1,2,3,…去代替公式中的n,就可求出数列中的各项.
例1根据通项公式,写出下面数列{an}的前5项:
(1)an=;
(2)an=(-1)n·n.
解
(1)在通项公式中依次取n=1,2,3,4,5,得到数列的前5项为
,,,,;
(2)在通项公式中依次取n=1,2,3,4,5,得到数列的前5项为
-1,2,-3,4,-5.
练习一
根据下列数列{an}的通项公式,写出它的前5项:
(1)an=n3;
(2)an=5(-1)n+1.
练习二
根据下列数列{an}的通项公式,写出它的第7项和第10项:
(1)an=;
(2)an=n(n+2);
(3)an=;
(4)an=-2n+3.
例2写出数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
(1)1,3,5,7;
(2),,,;
(3)-,,-,.
解
(1)数列的前四项1,3,5,7都是序号的2倍减去1,所以它的一个通项公式是
an=2n-1;
(2)数列的前四项,,,分母都是序号加上1,分子都是分母的平方减去1,所以它的一个通项公式是
an==;
(3)数列的前四项-,,-,的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是
an=.
总结:
(1)当一个数列中的数依次出现“+”“-”相间时,应先把符号分离出来,用(-1)n或(-1)n+1等来表示.
(2)认真观察各数列所给出的项,寻求各项与序号的关系,归纳其规律,抽象出其通项公式.
练习三
(1)已知一个数列的前4项分别是,,,,…,则它的一个通项公式是.
(2)数列,,,,…的一个通项公式是().
(A)(B)
(C)(D)
例3已知数列{an}的第1项是1,以后各项由公式
an=1+(n≥2)
给出,写出这个数列的前5项.
例3中的函数表达式,表达的是任一项an与它的前一项an-1的关系,这样的关系式叫做数列的递推公式.
解不难得出
a1=1;
a2=1+=1+=2;
a3=1+=1+=;
a4=1+=1+=;
a5=1+=1+=.
练习四
(1)已知数列{an},其中a1=1981,an=an-1+12,n≥2,写出这个数列的前5项.
(2)已知数列{an}中,a5=2009,an=an-1+12,n≥2.求a1.
学生解答例题.
师:
你能总结一下这类题目的解决方法吗?
学生总结解法,教师点拨、解答学生疑难,多媒体出示解题过程.
请学生在黑板上做练习一和练习二.
老师巡视指导.
师生共同订正答案.
教师引导学生分析数列的每一项与这一项的序号之间的对应关系:
项1357
↓↓↓↓
序号1234
师:
你能找出各项与项数二者的对应关系满足什么规律吗?
学生探究找出规律:
数列的前四项1,3,5,7都是序号的2倍减去1.
师:
如何用含有n的式子来表示第n项an?
教师对学生的回答给以点评,板书解题过程.
学生根据
(1)题的解题思路,分组合作,讨论解答后两道题.
教师巡视指导.
教师说明数列的通项公式可以不止一个.
教师引导学生总结.
师:
当一个数列中的数依次出现“+”“-”相间时,应如何解决?
师:
根据数列的前几项,写数列的一个通项公式的方法是什么?
学生合作探究,完成练习.
教师巡视指导.
师生共同订正答案.
教师出示例3,引导、点拨.
师:
数列中,an项与an-1项是什么关系?
引导学生得出:
是任一项与前一项的关系.
教师给出递推公式的定义.
学生分组探究.
教师巡视指导,强调代数计算时,要注意正确性.
请学生在黑板上做题.
教师巡视指导、订正.
将例题直接当作成练习,由学生自己寻找解题方法,让学生体验探索与成功的快乐.
由数列的通项公式写出数列的前几项是简单的代入法,本练习为写通项公式做准备,尤其是对接受能力偏弱的学生,可多举几个例子让学生观察,归纳通项公式与各项序号的关系,尽量为例2做准备.
由数列的前几项写出数列的一个通项公式是学生学习中的一个难点,要帮助学生分析各项的结构特征,让学生依据前几项的规律,寻求项与序号的关系.最后教师引导学生结论.
培养学生的合作探究意识和创新意识.
学生可能会写出多种不同的通项公式,对学生善于思考,勇于创新的精神给予赏识性评价.
培养学生勤动手、动脑、善于总结、归纳的习惯.
通过练习,让学生进一步掌握写通项公式的方法.
在教师的引导下,培养学生观察、分析、归纳的能力.
培养学生积极实践、科学探究的学习态度.
加强练习,体会递推公式的应用.
小
结
三类题目:
(1)由数列的通项公式写出数列某一项;
(2)根据数列的前几项,写出数列的一个通项公式;
(3)根据数列的递推公式写出数列的前几项.
学生阅读课本P5~P7,畅谈本节课的收获,老师引导梳理,总结本节课的知识点.
梳理总结也可针对学生薄弱或易错处强调总结.
作
业
教材P8,习题第5,6,7题.
学生课后完成.
巩固拓展.
6.2.1等差数列的概念
【教学目标】
1.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式;掌握等差中项的概念.
2.逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题.
3.通过教学,培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力,渗透由特殊到一般的思想.
【教学重点】
等差数列的概念及其通项公式.
【教学难点】
等差数列通项公式的灵活运用.
【教学方法】
本节课主要采用自主探究式教学方法.充分利用现实情景,尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性.在教师的启发指导下,强调学生的主动参与,让学生自己去分析、探索,在探索过程中研究和领悟得出的结论,从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的.
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
导
入
问题某工厂的仓库里堆放一批钢管(参见教材图6-1),共堆放了7层,试从上到下列出每层钢管的数量.
教师出示引例,并提出问题.
学生探究、解答.
希望学生能通过对日常生活中的实际问题的分析对比,建立等差数列模型,进行探究、解答问题,体验数学发现和创造的过程.
新
课
新
课
新
课
新
课
新
课
新
课
从上例中,我们得到一个数列,每层钢管数为
4,5,6,7,8,9,10.
1.等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示).
练习一
抢答:
下列数列是否为等差数列?
1,2,4,6,8,10,12,…;
0,1,2,3,4,5,6,…;
3,3,3,3,3,3,3,…;
2,4,7,11,16,…;
-8,-6,-4,0,2,4,…;
3,0,-3,-6,-9,….
注意:
求公差d一定要用后项减前项,而不能用前项减后项.
2.常数列
特别地,数列
3,3,3,3,3,3,3,…
也是等差数列,它的公差为0.公差为0的数列叫做常数列.
3.等差数列的通项公式
首项是a1,公差是d的等差数列{an}的通项公式可以表示为
an=a1+(n-1)d.
4.通项公式的应用
根据这个通项公式,只要已知首项a1和公差d,便可求得等差数列的任意项an.
事实上,等差数列的通项公式中共有四个变量,知道其中三个,便可求出第四个.
例1求等差数列8,5,2,…的通项公式和第20项.
解因为a1=8,d=5-8=-3,所以这个数列的通项公式是
an=8+(n-1)×(-3),
即an=-3n+11.所以
a20=-3×20+11=-49.
例2等差数列-5,-9,-13,…的第多少项是-401?
解因为a1=-5,而且
d=-9-(-5)=-4,
an=-401,
所以
-401=-5+(n-1)×(-4).
解得n=100.
即这个数列的第100项是-401.
练习二
(1)求等差数列3,7,11,…的第4,7,10项.
(2)求等差数列10,8,6,…的第20项.
练习三
在等差数列{an}中:
(1)d=-,a7=8,求a1;
(2)a1=12,a6=27,求d.
例3在3与7之间插入一个数A,使3,A,7成等差数列,求A.
解因为3,A,7成等差数列,所以
A-3=7-A,2A=3+7.
解得A=5.
5.等差中项的定义
一般地,如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.
6.等差中项公式
如果A是a与b的等差中项,则
A=.
这就表明,两个数的等差中项就是它们的算术平均数.
7.一个结论
在等差数列a1,a2,a3,…,an,…中,
a2=,
a3=,
……
an=,
……
这就是说,在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.
练习四
求下列各组数的等差中项:
(1)732与-136;
(2)与42.
例4已知一个等差数列的第3项是5,第8项是20,求它的第25项.
解因为a3=5,a8=20,根据通项公式得
整理,得
解此方程组,得a1=-1,d=3.
所以
a25=-1+(25-1)×3=71.
强调:
已知首项a1和公差d,便可求得等差数列的任意项an.
练习五
(1)已知等差数列{an}中,a1=3,an=21,d=2,求n.
(2)已知等差数列{an}中,a4=10,a5=6,求a8和d.
例5梯子的最高一级是33cm,最低一级是89cm,中间还有7级,各级的宽度成等差数列,求中间各级的宽度.
解用{an}表示题中的等差数列.已知a1=33,an=89,n=9,
则a9=33+(9-1)d,即
89=33+8d,
解得d=7.
于是
a2=33+7=40,
a3=40+7=47,
a4=47+7=54,
a5=54+7=61,
a6=61+7=68,
a7=68+7=75,
a8=75+7=82.
即梯子中间各级的宽从上到下依次是40cm,47cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82cm.
例6已知一个直角三角形的三条边的长度成等差数列.求证:
它们的比是3∶4∶5.
证明设这个直角三角形的三边长分别为
a-d,a,a+d.
根据勾股定理,得
(a-d)2+a2=(a+d)2.
解得a=4d.
于是这个直角三角形的三边长是3d,4d,5d,即这个直角三角形的三边长的比是3∶4∶5.
师:
请同学们仔细观察,看看这个数列有什么特点?
学生观察、回答.
教师总结特征:
从第二项起,每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差).
我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列.
教师板书定义.
师:
等差数列的例子,在生活中有很多,谁能再举几个?
教师出示题目.
学生思考、抢答.
师:
你能说出练习一中,各等差数列的公差吗?
学生说出各题的公差d.
教师订正并强调求公差应注意的问题.
师:
已知一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d,如何求出它的任意项an呢?
学生分组探究,填空,归纳总结通项公式
a2=a1+d,
a3=+d=+d
=a1+d,
a4=+d=+d
=a1+d,,
……
an=a1+d.
师:
一个等差数列的各项,已知和就可以确定下来?
师:
等差数列的通项公式中共有几个变量?
教师引导学生分析本题,已知什么?
求什么?
怎么求?
学生思考、说出已知、所求,代入通项公式.
强调:
通项公式是用含有n的式子表示an.
学生尝试解答后,师生共同板书解题过程.
仿照例1,教师引导、点拨.
学生解答.
多媒体出示解题过程.
学生核对、订正.
教师强调解题过程要规范、严谨.
学生练习.
请学生在黑板上做题.
教师巡视指导.
师生共同订正.
教师出示例题.
学生同桌之间合作探究.
学生分析解题思路.
教师出示答案,订正.
师:
在a与b之间插入一个数A,使a,A,b成等差数列.你能用a,b来表示A吗?
学生探究、回答.
教师订正学生的回答,给出等差中项的定义和公式.
师:
你能用文字描述一下这个式子的含义吗?
师:
在等差数列1,3,5,7,9,11,13,…中,每相邻的三项,满足等差中项的关系吗?
学生分组合作探究,得出结论.
师:
能将这个结论推广到一般的等差数列中吗?
学生继续分组合作探究.
教师总结学生的回答,给出结论.
学生做练习.
学生回答各题结果,统一订正答案.
教师出示例题.
学生分组合作探究.
教师点拨、引导:
(1)例题给出了哪些量?
如何用数列符号表示?
(2)例题中的所求量是什么?
需要知道哪些条件?
教师总结学生思路,给出解题过程.
学生自主练习.
教师巡视指导.
请个别学生在黑板上做题后,师生共同订正.
教师出示例题.
引导学生将题中的已知和未知转化为用数列符号表示.
学生解答.
教师巡视指导.
教师出示解题过程,强调解题步骤要规范、严谨,叙述要简明、完整.
教师出示例题,提示点拨:
当已知三个数成等差数列时,可将这三个数表示为
a-d,a,a+d,
其中d是公差.由于这样具有对称性,运算时往往容易化简.
学生根据教师的提示,分组探究.
请学生在黑板上做题.
教师引导学生订正解题过程,规范解题步骤.
由特殊到一般,发挥学生的自主性,培养学生的归纳能力.
在学生自主探究的基础上得出定义和公式,更有利于学生理解和运用.
引导学生观察、归纳、猜想,培养学生合理的推理能力.
学生在分组合作探究过程中,可能会找到多种不同的解决办法,教师要逐一点评,并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质,激发学生的创造意识.
鼓励学生自主解答,培养学生运算能力.
通过例题,强化学生对等差数列通项公式的理解,强化学生学以致用的意识.
由特殊到一般,发挥学生的自主性,培养学生的归纳能力.
在学生自主探究的基础上得出定义和公式,更有利于学生理解和运用.
引导学生观察、归纳、猜想,培养学生合理的推理能力.
通过两道直接套用公式的练习题,强化学生对中项公式的掌握.
学生在分组合作探究过程中,可能会找到多种不同的解决办法,教师要逐一点评,并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质,激发学生的创造意识.
鼓励学生自主解答,培养学生运算能力.
通过例题,强化学生对等差数列通项公式的理解,强化学生学以致用的意识.
在例题的教学中,教师要注重引导学生分析题意,教会学生思考问题、解决问题的思路与方法;在解决问题中,将新的知识内化到学生原有的认知结构中去.
小
结
1.等差数列的定义及通项公式.
2.等差中项的定义和公式.
3.等差数列通项公式和中项公式的应用.
学生阅读课本P9~P12,畅谈本节课的收获.
教师引导梳理,总结本节课的知识点和解题方法.
教师鼓励学生积极回答,答不完整没有关系,其它同学补充.以此培养学生的口头表达能力,归纳概括能力.
作
业
教材P17,习题第1,2,6题.
学生课后完成.
巩固拓展.
6.2.2等差数列的前n项和
【教学目标】
1.理解并掌握等差数列前n项和公式,并会应用公式解决简单的问题.
2.逐步熟练等差数列通项公式与前n项和公式的综合应用,培养学生的运算能力.
3.通过公式的探索、发现,培养学生观察、猜想、归纳、分析、综合推理的能力,渗透特殊到一般的思想.
【教学重点】
等差数列前n项和公式的应用.
【教学难点】
等差数列前n项和公式的推导.
【教学方法】
本节课在公式推导中宜采用引导发现法.师生共同参与整个教学活动,教师是活动的主导,学生是活动的主