三角函数应用题练习及答案.docx
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三角函数应用题练习及答案
三角函数的应用题
第一阶梯
［例1］如图，AD〃BC,AC丄BC,若AD二3,DC二5,且ZB二30°,求AB的长。
解：
TZDAC二90。
由勾股泄理，有CD：
=AD：
+AC：
•••AD二3,DC二5
•••AC二4
•••ZB二30°
•••AB二2AC
•••AB二8
丄
［例2］如图，ZUBC中，ZB二90°,D是BC上一点，且AD二DC,若tgZDAC二4,
求tgZBADo
探索：
已知tgZDAC是否在直角三角形中？
如果不在怎么办？
要求ZBAD的正切值需要满足怎样的条件？
点拨：
由于已知中的tgZDAC不在直角三角形中，所以需要转化到直角三角形中，即可地D点作AC的垂线。
又要求ZBAD的正切值应已知RtABAD的三边长，或两条直角边AB、BD的长，根据已知可知没有提供边长的条件，所以要充分利用已知中的tgZDAC的条件。
由于AD二DC,即ZC=ZDAC,这时也可把正切值直接移到RtAABC中。
解答：
过D点作DE丄AC于E,
•//gZDAC=*
DE
且以dac花
设DE二k,则AE=4k
TAD二DC,
AZDAC=ZC,AE=EC
•••AC二8k
fgC=
••
设AB二m,BC=4m由勾股定理，有AB:
+BC:
=AC:
8眄tn=k
•••17
由勾股左理，有
CD:
=DE:
+EC:
・•・CD=4vik
.•他=込
17
由正切左理，有
5唱
tgZBAD=吕
［例3］如图，四边形ABCD中,ZD二90°,AD二3,DC=4>AB二13,BC二12,求sinB。
探索：
已知条件提供的图形是什么形？
其中ZD二90°,AD二3,DC二4,可提供什么知识？
求sinB应放在什么图形中。
点拨：
因已知是四边形所以不能求解，由于有ZD二90°,AD二3,DC二4,这样可求AC二5,又因有AB二13,BC二12,所以可证AABC是RtA>因此可求sinBo
解：
连结AC
IZD二90°
由勾股圧理，有
AC：
=CD=+CD2
TAD二3,CD二4,
•••AC二5
TAB二13,BC二12
/.13:
=12:
+52
•••ZACB=90°
sinB=
AC
.•-sinB=—
13
设AB=x
由正眩左义，有
&tsZACB=—
CB
/.C£）=x（V3-l）
・・・CD=20,
•・・x（V3-1）=20
解得兀=10（+1）
即塔高A"=10（J^+l）
答：
塔高AB为1°（循+1）米。
第三阶梯
［例1］己知等腰三角形的顶点为A,底边为乩求它的周长及面积。
探索：
在现在的已知条件下能否求得周长与而积？
如果不能求解是因为什么原因造成的，这时底边为/能否确立腰长及各个内角呢？
首先能否确左三角形是直角三角形呢如果不是直角三角形怎么办？
点拨：
由于没有相应的图形，所以应先确左图形，若是等腰三角形，应先假设这个三角形是斜三角形，再根据条件先转化为直角三角形，再求相应的量。
设已知AABC中，AB二AC,BC=a（如图）解：
过A点作：
AD丄BC竿D点，设ZBAD”
TAB二AC
-,ZBAD=ZCAD=a
•••BD二CD二2
根据正弦立义，有
sinABAD=—
AB
a
即佔=丄=_^_
sina2sina
同理4C=」一
2sina
•••AB+AC+BC二a+sina
・・.羔叱
［例2］有一块矩形纸片ABCD,若把它对折，B点落在AD上F处，如果DC=6cm,且ZDFC二2（）,ZECB二0,求折痕CE长。
探索：
根据已知条件图形对折，B点落在F点的含义是什么？
它会有怎样的结论？
这时又可以形成什么图形关系？
另知DC的长能否求折痕呢？
又根据条件我们还可以确左什么？
这时又可形成怎样的问题？
点拨：
由于F点的形成是因对折B点而形成的，因此可有厶EBC^AFEC,同时又可有△AEF^ACDF«根据已知条件ZDFC=20及ZECB二0,这时就可以形成与角有关的图形。
进而可求CE的长。
解：
根据已知条件，有
AEBC^AFEC
•••EB二EF,BC二FC,ZECB二ZECF
TZCFD二20,且ZECB二0
•••ZECF二（）
由余弦泄义，有
CD
cosZA£）C=—
CF
VZADC=90°-20
—CD
CF=
•sin20
••
由余弦泄义，有
CF
・•.cosZFCE=
CE
:
.CE=
sin2&cos&
［例3］如图6-5-5,某船向正东方向航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30°,又航行了半小时，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离，（结果不取近似值）
图6-5-5
思路分析：
易知AACD是等腰直角三角形，要求AD,不能利用AACD直接求得，由于BD=20x-=\0,图形中再没有
2
其他的直角
三角形，必须构造直角三角形，作CE丄AD于E,只要求出CE,就可能以求出AD,借助两个直角三角形（4BCE和
ADCE）中，BE、DE与BD的关系以及BE与CE之间的关系就可求CE“
［解］
作CE丄AD,垂足为E,设CE二x海里
VZCAD=ZCDA=90°-45°=45°,
/.CE=AE=DE=Xo
在RtABCE中，ZCBE=90°-30°=60°,
•••BE=C£>cot60°=—x,
3
由DE-BE二BD得，
x-^-x=20x—,
32
解得x=15+5V3o
.•・AD=2x=（30+10Q（海里丿o
答：
A、D两点间的距离为（3O+1OJ5）海里。
第四阶梯
［例1］有一段防洪大堤，英横断而为梯形ABCD,AB〃DC,斜坡AD的坡度iE:
1.2,斜坡BC的坡度乙二1:
0.8,大坝顶宽DC为6米，为了增强抗洪能力，现将大堤加高，加高部分的横断而为梯形DCFE,EF〃DC，点E、F分别在AD、BC的延长线上（如图6-5-6）,当新大坝顶宽EF为3.8米时，大坝加髙了几米？
图6-5-6
思路分析：
本题实质上是梯形CDEF的有关计算问题,注意到大堤加高但坡度不变，即DE、CF的坡度公别为1:
1.2,1:
0.&又DC二6
米，EF二3.8米,要求大坝加高的高度，分别作FH丄DC于G,FH丄DC于H,利用RtADEG,RtACFH和矩形EFHG可以求出新
大坝的高度.
［解］
作EG丄DC,FH丄DC,垂足分別为G,H,则四边形EFHG是矩形,GH二EF二3.8米.
设大坝加髙x米，则EG二FH二x米。
••*1:
1.2,i==l:
0.&
.EG_1FH_1
''~DG~V2'CH~O^'
DG=1.2x,CH=O.8x.
由DG-GH+CH二6,得1.2x+3.8+0.8=6.解得x=l.1
答：
大坝加髙了1.1米。
［例2］如图6-5-7,台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范囤内形式气旋风集，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。
（1）该城市是否会受到这次台风的影响？
请说明理由。
<2）若会受到台风的影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
思路分析：
（1）作AD丄BC于D,达到或超过四级风力所影响的范用是距台风中心不超过（12-4）X20=160千米的范囤
内,
比较AD与160的大小关系，就可以确定该城市是否受这次台风的影响。
（2）当A点距台风中心不超过160千米时，将受到台风的影响，如图6-5-7,AE二AF二160千米，当台风中心从E处移
到F处时，该城市都会受到这次台风的影响，利用勾股立理计算岀EF的长度，就可以计算岀这次台风影响该城
市的持续时间。
（3）显然当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大。
［解］
（1）如图6-5-7,由点A作AD丄BC,垂足为D。
TAB二220,ZB=30°,AD=丄AB=110（千米）。
2
由题意，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响，由于AD二110<160,所以A市会受到这次台
风的影响.
（2）在BD及BD的延长线上分别取E,F两点，使AE二AF二160千米.
由于当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响.
所以当台风中心从E点移到F点时，该城市都会到这次台风的影响.
在Rt△ADE中，由勾股泄理，得DE=（AE?
-AD2=^'1602-1102=30、你
・•.EF=2DE=60^15（千米）.
•••该台风中心以15千米/时的速度移动，.•.这次台风影响该城市的持续时间竺匕•=4“？
（小时）.
（3）当台风中心位于D处时,A市所受这次台风的风力最大，其最大风马牛不相及力为12-—=6.5（级）
20
四、【课后练习】
A组
1.如图：
6-5-8,一铁路路基的横断而为等腰梯形，根据图示数据计算路基的下底宽AB二—。
2.
如图6-5-9>在髙2米，坡角为30°的楼梯表面補地毯，地毯的长度至少需要米（精确到0・1米）
图6-5-8图6-5-9
3.如图6-5-10,在高离铁塔150米的A处，用测角仪测得塔顶的仰角为30。
，已知测角仪髙AD=1.52米，则
塔高
BE二（精确到0・1米）
6-5-11
4.某防洪堤坝的横断而是梯形，已知背水坡的坡长为60米，坡角为30°,则坝奇为米。
5.升国旗时，某同学站地离旗杆底部24米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°,
若双眼离地而1.5米，则旗杆高度为米，（用含根号的式子表示）
6.在地而上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°,沿水平方而再向塔底前进a米，又测得塔尖的仰角为60°,
那么电视塔高为。
7.若太阳光线与地面成37°角，一棵树的影长为10m,则树髙h的取值范用是（）
A.315
8.河堤的横断而如图6-5-11所示。
堤高BC是5米，迎水坡AB的长是13米。
那么斜坡AB的坡宽I是（）A.1：
3B、1：
26C.1:
2.4D.1:
2
9.
某地复季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地而成80°角。
房屋朝南的窗子高AB二1.8m,要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC,使午间光线不能直接射入室内（如图：
6-5-12）,那么挡光板AC的宽度至少应为（）
图6-5-13
I8
A.1.8tan80mB.1.ScosSO"mC.mD.1.Scot80m
sin80°
10.如图6-5-13,水库大坝的横断而为梯形，坝顶宽6米，坝髙24米，斜坡AB的坡角为45°,斜坡CD的坡度1=1：
2,则坝底AD的长为（）
A.42米B、（30+24JJ）米C.78米D、（30+8^3）米11、如图6-5-14,两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为乞则它们重叠部分（图中阴影
部分）的而积为（）
sinorcosa
C・sinaD・1
12.如图6-5-15,直升飞机在跨河大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度P0=450米,且A、B、0三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分別为«二30°,0=45°,求大桥AB的长（精确到1米，供选的数据：
、厲
=1.41,V3^1.73）.
13.某型号飞机的机翼形状如图6-5-16所示，其中AB〃CD,根据图中的数据计算AC、BD和CD的长度。
（结果保留根号）
14.如6-5-17,某水库大坝的横断而是等腰梯形，坝顶宽度为6米，坝高10米，斜坡AB的坡度是1：
2（AR：
BR）,现要加高2米，在坝顶宽度和斜坡坡度不变的情况下，加固一条长50米的大坝，需要多少土方？
15.如图6-5-18,已知C城市在B城市的正北方向，两城市相距100千米，计划在两城市间修筑一条髙速公路（即线段BC）,经测疑，森林保护区A在B城市的北偏东40°方向上，又在C城市的南偏东56°的方向上，已知森林保护区A的范用是以A为圆心，半径为50千米的圆，问：
计算修筑的这条公路会不会穿越保护区？
为什么?
（已知tan40°=0.839,tan56°=1.483）
B组
1、1、知小山的高为h,为了测得小山顶上铁塔AB的高x,在平地上选择一点P,在P点处测得B点的仰角为«,A点的仰角为（见右表中测量目标图6-5-19）
（1）试用a、B和h的关系式表示铁塔高x;
（2）在右表中根据第一次和第二次的“测得数据”，填写'‘平均值”一列中a、B的数值：
（3）根据表中数据求出铁塔x的值。
（精确到0.01m）
2.如图6-5-20,某校的教室A位于工地0的正西方向，且0A二200米，一台拖拉机从0点出发，以每秒5米的速
度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为130米，试问教室A是否在拖拉机的噪声污染范用内？
若不在，请说明理由；若在，求出教室A受污染的时间有几秒？
（已知sin53°^0.80,sin37°~0.60,tan37°^0.75）
图6-5-20
1、已知AABC中，ZBAC=90c,AD丄BC于D,CD二9,AB二20,求sinB.
2、已知水库大坝的横截而是梯形ABCD,若BC〃AD,坝顶BC宽5米，坝高20米，斜坡AB的坡度之i二1：
2・5,斜坡CD的坡度i=l:
2,求坝底AD及AB、CD长。
4
3、在RtAABC中，ZACB=RtZ,CD丄AB于点D,AD=4,sinZACQ=—,则CD=,BC=
A组答案
1、34m2.5.53、88.1米4.30
Anah
15、过点A作AD丄BC,垂足为D,在RtAADC中，CD二——:
在RtAABD中，BD二——,依题意有
tan56°tan40°
丄兰一+丄0—二100。
所以ad」00®”伽40=53.58,因为AD<50,所以计划修筑的这条髙速公路tan56°tan40etan56°+tan40°
不会穿越森林保护区。
B组答案：
1.
（1）x=（—⑵（】二29°18",3=35°59x:
（3）30.88m
2.作AB丄0M于B,易知ZA0B二90°-53°二37°,所以AB二0AXsinZA0B=0AXsin37°^200X0.60=120（米）。
因为120〈130,所以教室A在噪声污染范围内，依题意，在0M上取两点C、D,连结AC、AD.使AC二AD二130
间为20秒。
C组答案：
1.易证△ABDs/\ABC,即AB:
=BC•BD,设BD二x,贝iJx+920
sinB=-
•••x二16,即BD二25,AC二15,A5
2、作BE丄AD于E,CF丄AD于F,Z.AD=95米，AB^53.9米，CD^44.7米。
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