五大模型三角型等积变形共角模型.docx

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五大模型三角型等积变形共角模型

秀情六年级秋季配套练习

【练练1】

如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点,H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积.

【练练2】

图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么

阴影部分的面积是;

【练练3】

（2008年”希望杯”二试六年级）

如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，FG与FH交于点O,Si、S2、

S3及S4分

别表示四个小四边形的面积•试比较SiS3与S2S4的大小.

【练练4】

如图，三角形ABC中，DC2BD,CE3AE，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC的面积是多少？

【练练5】

（2008年第一届“学而思杯”综合素质测评六年级2试）

如图，BC45,AC21,ABC被分成9个面积相等的小三角形，那么

DIFK.

【练练6】

如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米.

【练练7】

（2009年四中小升初入学测试题）如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部

分的面积是平方厘米.

【练练8】

如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20,宽

是12,则它

部阴影部分的面积是.

【练练9】

（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长

方形面积的15%，黄色三角形面积是21cm2.问：

长方形的面积是多少平方厘米？

【练练10】

如图，正方形ABCD的边长为6,AE1.5,CF2.长方形EFGH的面积为

FC

【练练11】

如图所示，四边形

ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等.

F

【练练12】

2008年春蕾杯五年级决赛

如图，长方形ABCD的边上有两点E、F,线段AF、BF、CE、BE把长方形分成若干块,

其中三个小木块的面积标注在图上，阴影部分面积是平方米。

【练练13】

（第八届小数报数学竞赛决赛试题）

如下图，E、F分别是梯形ABCD的下底BC和腰CD上的点，DFFC，并且甲、乙、丙

ABCD的面积是32平方厘米•求图中阴影部分的面积.

【练练14】

如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3,三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC的面积是多少？

【练练15】

（2008年仁华考题）

如图，正方形的边长为10,四边形EFGH的面积为5,那么阴影部分的面积是

【练练16】

（2008年走美六年级初赛）

如图所示，长方形ABCD的阴影部分的面积之和为70,AB8,AD15,四边形EFGO的

面积为.

【练练17】

如图所示，矩形ABCD的面积为36平方厘米，四边形PMON的面积是3平方厘米，贝U阴影部分的面积是平方厘米.

【练练18】

的面积之和为

（2008年”华杯赛”初赛）

如图所示，矩形ABCD的面积为24平方厘米•三角形ADM与三角形BCN

7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是平方厘米.

【练练20】

如图，P为长方形ABCD的一点。

三角形PAB的面积为5,三角形PBC的面积为13•请问:

PBD的面积是多少？

【练练21】

如右图，过平行四边形ABCD的一点P作边的平行线EF、GH，若PBD的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？

【练练22】

24厘米，BC8厘

如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB米，求三角形ZCY的面积.

【练练24】

（2007年“省身杯”国际青少年数学邀请赛）

如图所示，长方形ABCD的长是12厘米，宽是8厘米，三角形CEF的面积是32平方厘米,则OG厘米．

【练练25】

如图，已知平行四边形ABCD的面积为36，三角形AOD的面积为8。

三角形BOC的面积

为多少？

【练练26】

如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的

宽为几厘米？

【练练27】

如图，正方形的边长为12,阴影部分的面积为60,那么四边形EFGH的面积是

【练练28】

如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:

AD5:

2，

AE:

EC3:

2,Saade12平方厘米，求△ABC的面积

【练练29】

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:

AB2:

5,AE:

AC4:

7,Saade16平方厘米，求△ABC的面积

【练练30】

4

AC的长度是AD的-，且三角形AED的面积是三角形ABC面积的一半。

请问：

AE是AB

5

的几分之几?

【练练31】

园林小路，曲径通幽•如下图所示，小路由白色正方形石板和青、红两色的三角形石板铺成。

问：

圈红色三角形石板的总面积大，还是外圈青色三角形石板的总面积大？

请说明理由

【练练32】

如图以△ABC的三边分别向外做三个正方形ABIH、ACFG、BCED,连接HG、EF、ID,又得到三个三角形，已知△ABC的面积是10平方厘米，则另外三个三角形的面积和是多少？

【练练34】

已知△DEF的面积为7平方厘米，BECE,AD2BD,CF3AF，求△ABC的面积.

【练练35】

如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，其中AB:

BE2:

5,BC:

CD3:

2,三角形BDE

的面积是多少？

【练练36】

1

ABCD边长为6厘米，AE-AC,CF3

平方厘米.

【练练37】

如图，已知三角形ABC面积为1,延长AB至D,使BDAB;延长BC至E,使CE2BC;延长CA至F，使AF3AC，求三角形DEF的面积.

【练练38】

已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BDaAB;延长BC至E，使CEbBC;延长CA至F，使AFcAC,求三角形DEF的面积.

【练练39】

如图所示，三角形ABC中，点X,Y,Z分别在线段AZ,BX,CY上，且

YZ2ZC,ZX3XA,.XY4YB三角形XYZ的面积等于24,求三角形ABC的面积.

【练练40】

如图，平行四边形ABCD,BEAB,CF2CB,GD3DC,HA4AD,平行四边形ABCD的面积是2,求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.

【练练41】

平行四边形ABCD,BEaAB,CFbCB,DGcDC,AHdAD，求四边形EFGH的面积与平行四边形ABCD面积间的关系.

H

【练练42】

如图所示，正方形ABCD边长为8厘米，E是AD的中点，F是CE的中点，G是BF的中点，三角形ABG的面积是多少平方厘米？

【练练43】

bDA,CGaDC,BFbCB,求四边形ABCD

如图，四边形EFGH中，EAaAB，HD

的面积与四边形EFGH面积间的关系•

【练练44】

如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点若四边形ABCD的面积为

【练练45】

如图，在△ABC中，延长

AB至D，使BDAB，延长BC至E,使CE

1

BC，F是AC的

2

中点，若△ABC的面积是

2，则ADEF的面积是多少?

【练练46】

图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF长的3倍.那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？

【练练47】

如图是一个正六角星纸板，其中每条边的长为5。

现在沿虚线部分剪开，那么较小的那部分

占到整体面积的几分之几？

【练练48】

如图，ADDB，AEEFFC，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC的面积是

平方厘米.

【练练49】

1

如图，长方形ABCD的面积是1,M是AD边的中点，N在AB边上，且AN-BN.那么,

2

阴影部分的面积等于.

【练练50】

如图在△ABC中，D,E,F分另【J是AB,AC,BC边上的点，且

BD:

AD5:

2,BF:

FC3:

5,CE:

AE2:

3,△DEF的面积为43.5平方厘米，则△ABC的

面积是平方厘米

【练练51】

如图以△ABC的三边分别向外做三个正方形ABIH、ACFG、BCED,连接HG、EF、ID，

又得到三个三角形，已知六边形DEFGHI的面积是77平方厘米，三个正方形的面积分别是

9、16、36平方厘米，则三角形ABC的面积是多少？

F

【练练52】

如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BDAB;延长BC至E，使CE2BC；延长CA至F，使AF3AC，求三角形DEF的面积.

【练练53】

如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EAAB,CBBF,DCCG,HDDA，求四边形ABCD的面积.

【练练55】

在四边形ABCD中，其对角线AC、DB交于E点。

且AF=CE,DE=BG。

已知四边形ABCD的面积为1，求△EFG的面积是多少。

【练练1答案】

【分析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用.

连接BH、CH.

•••AE

EB,

--S\AEH

BEH.

同理，

BFHS^CFH,

SVCGH

=SVDGH,

…？

阴影

丄s丄

cS长方形ABCDc

22

56

28（平方厘米）

【练练2答案】

【分析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段•把H和

这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角

形•这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的

三分之一•阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：

中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等•

因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH、BCH和CDH的三分之一，因此全部

阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一•正方形的面积是144，阴影部分的面

积就是48.

【练练3答案】

CC

【分析】如右图，连接AO、BO、CO、DO，则可判断出，每条边与0点所构成的三角

形都被分为面积相等的两部分，且每个三角形中的两部分都分属于S&、S2S4

这两个不同的组合，所以可知S!

S3S,S4.

【练练4答案】

【练练5答案】

【分析】由题意

可知，

BD:

BCSBAD:

SABC

2:

9,

所

以

BD

2

9

BC10,

CDBC

BD35;

又DI

:

DCSDIF:

Sdfc

2:

5,

所以

DI

2

5

DC

14，同样

分析可得FK10,所以DIFK141024.

【练练6答案】

【分析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD面积的一半，即4326（平方厘米）.

【练练7答案】

【分析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴

影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225平方厘米.

【练练8答案】

1

【分析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为12012120.

2

【练练9答案】

【分析】黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以

黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的50%，而绿色三角形面积占长

方形面积的15%，所以黄色三角形面积占长方形面积的50%15%35%•

已知黄色三角形面积是21cm2，所以长方形面积等于2135%60（cm2）•

【练练10答案】

【分析】连接DE,DF,则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍.

三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积

Sadef661.5622624.54216.5,所以长方形EFGH面积为31

【练练11答案】

【分析】本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面

积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.

证明：

连接BE.（我们通过△ABE把这两个看似无关的平行四边形联系在一起.

ABAB边上的高,

1

•••在平行四边形ABCD中，Saabe-

2

…ABESwABCD•

2

【练练12答案】

【练练13答案】

距离相等，即AE与CD平行，四边形ADCE是平行四边形，阴影部分的面积

1

行四边形ADCE的面积的-，所以阴影部分的面积乙的面积2•设甲、乙、丙

2

的面积分别为1份，则阴影面积为2份，梯形的面积为5份，从而阴影部分的面积

325212.8（平方厘米）.

【练练14答案】

【分析】方法一：

连接BF,由图知Saabf1628,所以Sabef16835,又由

Saacf4,恰好是△AEF面积的一半，所以C是EF的中点，因此

sabcesabcf522-5，所以saabc16342.56.5

万法二：

连接对角线AE.

•••ADEF是长方形

13

SADE

DB

SAEF

SADB

SxADEF

2

3

C

SACF

1

DE

SADE

8，

EF

SAEF

2

【练练15答案】

【分析】如图所示，设AD上的两个点分别为M、N.连接CN.

根据面积比例模型，CMF与CNF的面积是相等的，那么CMF与BNF的面积之和，等于CNF与BNF的面积之和，即等于BCN的面积.而BCN的面

21

积为正方形ABCD面积的一半，为1050.

2

又CMF与BNF的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个四边形EFGH的

面积，所以阴影部分的面积为：

505240.

【练练16答案】

【分析】从整体上来看，四边形EFGO的面积三角形AFC面积三角形BFD面积白色

部分的面积，而三角形AFC面积三角形BFD面积为长方形面积的一半，即60,

白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050，所以四边

形的面积为605010.

利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之

和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积.

1

由于长方形ABCD的面积为158120，所以三角形BOC的面积为120—30,

4

3

所以三角形AOE和DOG的面积之和为120—7020;

4

11

又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为12030,所以四边

24

形EFGO的面积为302010.

【练练17答案】

1

【分析】方法一':

SadpbSacpa—S矩形ABCD18,所以空白面积是183Saaob24,所以阴

2

影部分面积为362412（平方厘米）.

方法二：

因为三角形ABP面积为矩形ABCD的面积的一半，即18平方厘米，三角

1

形ABO面积为矩形ABCD的面积的-，即9平方厘米，又四边形PMON的面积为

4

3平方厘米，所以三角形AMO与三角形BNO的面积之和是18936平方厘米.又三角形ADO与三角形BCO的面积之和是矩形ABCD的面积的一半，即18平方厘米，所以阴影部分面积为18612（平方厘米）.

【练练18答案】

【分析】因为三角形ADO与三角形BCO的面积之和是矩形ABCD的面积的一半，即12平

方厘米，又三角形ADM与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则三角形

AMO与三角形BNO的面积之和是4.2平方厘米，则四边形PMON的面积三角形

ABP面积三角形AMO与三角形BNO的面积之和三角形ABO面积

124.261.8（平方厘米）.

【练练19答案】

【分析】如图，过F作FH//AB，过E作EG//AD,FH、EG交于M，连接AM.

则S矩形ABCDS矩形AGMH

S矩形GBFM

S矩形MFCES矩形HMED

AG

AH

2SAMF

2SEMF2SAME

DE

BF

2SAEF

11

32

1767

【练练20答案】

【分析】

由于ABCD是长方形,

所以

Saapd

Sabpc

—SABCD,

1

而SaABD—SABCD,

所以

2

2

S^APD

S^BPCS^ABD

则

SABPC&PAB

SAPBD,所

以

S^PBD

S^bpcSapab

135

8.

【练练

21答案】

【分析】

（法1）

设PGD的

GD边上的高为h,

PEB的

PE边上的高为h2

.则

1h1h2AGGD

AGh

^GD

h1-

PEh2S

PBD8,整理得

2

2

2

分米）.

（法2）根据差不变原理，要求平行四边形PHCF的面积与平行四边形PGAE的面积

差，相当于求平行四边形BCFE的面积与平行四边形ABHG的面积差.

【练练22答案】

【练练23答案】

【分析】

BCCD75237.5,根据面积相等，底的比与高的比成反比例，所以

BC:

CD16:

148:

7,因此BC37.5（87）820,平行四边形ABCD的面积是

2014280平方厘米

【练练24答案】

【分析】解法一:

要求0G的长，可以先求出F0,而FO是EFO和CFO的底，两个三角形的高的和等于长方形的宽，并且它们的面积和是CEF的面积.所以

1

F032—88,所以0G12F04（厘米）.

2

解法二：

可以从图上得出AD//FG//BC,连接FD、D0.如下图所示：

因此s

DFO

S

EFO，也就有SDFOSCFOSEFO

SCFO

32（平方厘米）,

1

而scfd

2

12

8

48（平方厘米）.所以Scod

Scfd

（SdfoScfo）483216

（平方厘米）

故0G

2S

CDO

CD21684（厘米）.

【练练25答案】

【练练26答案】

【分析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可

以看作特殊的平行四边形）•三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.

证明：

连接AG.（我们通过△ABG把这两个长方形和正方形联系在一起）.

、1、

•.•在正方形ABCD中，SaabgABAB边上的咼，

2

/.$△abg1SWABCD（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半

2

1

EFGB・

冋理，SaabgS

2

•••正方形ABCD与长方形EFGB面积相等•长方形的宽88106.4（厘米）•

【练练27答案】

【分析】如图所示，设AD上的两个点分别为M、N•连接CN•

根据面积比例模型，CMF与CNF的面积是相等的，那么CMF与BNF的面积之和，等于CNF与BNF的面积之和，即等于BCN的面积•而BCN的面

21

积为正方形ABCD面积的一半，为12-72•

2

又CMF与BNF的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个四边形EFGH的

面积，所以四边形EFGH的面积为：

726026•

【练练28答案】

如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:

AD5:

2,

AE:

EC3:

2,Saade12平方厘米，求△ABC的面积

【分析】连接BE,Saade:

SaabeAD：

AB2:

5（23）:

（53）

SAABE:

ABC

AE:

AC3:

（32）（35）:

（32）5

所以Saade:

Saabc（32）:

5（32）6:

25,设Saade6份，贝VSaabc25

份,Saade12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC的面积是50平方厘米•由此我们得到一个重要的定理，共角定理：

共角三角形的面积比等于对应角（相

等角或互补角）两夹边的乘积之比（建议老师一定要把共角定理的推理过程讲透，防止学生只记结果，而不知为什么）

【练练29答案】

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:

AB2:

5,AE:

AC4:

7,Saade16平方厘米，求△ABC的面积

【分析】连接BE,Saade:

SaabeAD:

AB2:

5（24）:

（54）,

S\abe:

abcAE:

AC4：

7（45）：

（75）,所以S、ade:

S^abc（24）:

（75）,设

Saade8份，则&abc35份，Saade16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ABC的面积是70平方厘米•由此我们得到一个重要的定理，共角定理：

共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.

【练练30答案】

4

AC的长度是

AD的4,且三角形AED的面积是三角形ABC面积的一半。

请问：

AE是AB

5

的几分之几?

Svabc

—Svabd

5

--Svaed

—Svabc

2

.AE