五大模型三角型等积变形共角模型.docx

1、五大模型三角型等积变形共角模型秀情 六年级秋季 配套练习【练练1】如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形 ABCD边上的中点, H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积.【练练2】图中的E、F、G分别是正方形 ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是 12，那么阴影部分的面积是 ;【练练3】（2008年”希望杯”二试六年级 ）如图，E、F、G、H分别是四边形 ABCD各边的中点， FG与FH交于点O , Si、S2、S3及S4分别表示四个小四边形的面积试比较 Si S3与S2 S4的大小.【练练4】如图，三角形 ABC中，DC 2BD , CE 3AE，三角形

2、ADE的面积是20平方厘米，三角 形ABC的面积是多少？【练练5】（2008年第一届“学而思杯”综合素质测评六年级 2试）如图，BC 45 , AC 21 , ABC被分成9个面积相等的小三角形，那么DI FK .【练练6】如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影 部分的面积是 平方厘米.【练练7】（2009年四中小升初入学测试题 ）如图所示，平行四边形的面积是 50平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米.【练练8】如下图，长方形 AFEB和长方形FDCE拼成了长方形 ABCD，长方形ABCD的长是20,宽是12,则它部阴影部分的面积是 .【练练9】

3、（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成 4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是 21cm2 .问：长方形的面积是多少平方厘米？【练练10】如图，正方形 ABCD的边长为6, AE 1.5, CF 2.长方形EFGH的面积为 F C【练练11】如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等.F【练练12】2008年春蕾杯五年级决赛如图，长方形ABCD的边上有两点E、F ,线段AF、BF、CE、BE把长方形分成若干块,其中三个小木块的面积标注在图上，阴影部分面积是 平方米。【练练13】（第八届小数报数学竞赛决赛试题）如下图，E、F分别是

4、梯形 ABCD的下底BC和腰CD上的点，DF FC，并且甲、乙、丙ABCD的面积是32平方厘米求图中阴影部分的面积.【练练14】如图，已知长方形 ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3,三角形ACF的面积是4，那 么三角形ABC的面积是多少？【练练15】（2008年仁华考题）如图，正方形的边长为 10,四边形EFGH的面积为5,那么阴影部分的面积是 【练练16】（2008年走美六年级初赛）如图所示，长方形ABCD的阴影部分的面积之和为 70, AB 8 , AD 15 ,四边形EFGO的面积为 .【练练17】如图所示，矩形ABCD的面积为36平方厘米，四边形PMON的面积是3平方厘米，贝U

5、阴影 部分的面积是 平方厘米.【练练18】的面积之和为（2008年”华杯赛”初赛）如图所示，矩形 ABCD的面积为24平方厘米三角形 ADM与三角形BCN7.8平方厘米，则四边形 PMON的面积是 平方厘米.【练练20】如图，P为长方形ABCD的一点。三角形 PAB的面积为5,三角形PBC的面积为13请问:PBD的面积是多少？【练练21】如右图，过平行四边形 ABCD的一点P作边的平行线 EF、GH，若 PBD的面积为8平方 分米，求平行四边形 PHCF的面积比平行四边形 PGAE的面积大多少平方分米？【练练22】24厘米，BC 8厘如图，在长方形 ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，

6、如果AB 米，求三角形ZCY的面积.【练练 24】（2007 年“省身杯”国际青少年数学邀请赛 ）如图所示，长方形ABCD的长是12厘米，宽是8厘米，三角形CEF的面积是32平方厘米, 则 OG 厘米【练练 25】如图，已知平行四边形 ABCD的面积为36，三角形AOD的面积为8。三角形BOC的面积为多少？【练练26】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【练练27】如图，正方形的边长为 12,阴影部分的面积为 60,那么四边形 EFGH的面积是 【练练28】如图在 ABC中，D 在 BA的延长线上，E在 AC上，且 AB: AD 5

7、: 2，AE:EC 3:2,Saade 12平方厘米，求 ABC的面积【练练29】如图在 ABC 中，D,E 分别是 AB, AC 上的点，且 AD: AB 2:5 , AE: AC 4:7 , Sa ade 16 平方厘米，求 ABC的面积【练练30】4AC的长度是AD的-，且三角形AED的面积是三角形 ABC面积的一半。请问：AE是AB5的几分之几?【练练31】园林小路，曲径通幽如下图所示，小路由白色正方形石板和青、红两色的三角形石板铺成。 问：圈红色三角形石板的总面积大，还是外圈青色三角形石板的总面积大？请说明理由【练练32】如图以 ABC的三边分别向外做三个正方形 ABIH、ACFG、

8、BCED ,连接HG、EF、ID , 又得到三个三角形，已知 ABC的面积是10平方厘米，则另外三个三角形的面积和是多 少？【练练34】已知 DEF的面积为7平方厘米， BE CE,AD 2BD,CF 3AF，求 ABC的面积.【练练35】如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，其中AB: BE 2:5 , BC:CD 3: 2 ,三角形BDE的面积是多少？【练练36】1ABCD边长为 6厘米，AE - AC ,CF 3平方厘米.【练练37】如图，已知三角形 ABC面积为1,延长AB至D,使BD AB;延长BC至E,使CE 2BC ; 延长CA至F，使 AF 3AC，求三角形 DEF的面积.【练

9、练38】已知三角形 ABC面积为1，延长AB至D，使BD aAB ;延长BC至E，使CE bBC ;延 长CA至F，使AF cAC ,求三角形 DEF的面积.【练练39】如图所示，三角形ABC中，点X , Y , Z分别在线段AZ , BX , CY上，且YZ 2ZC,ZX 3XA,. XY 4YB三角形XYZ的面积等于 24,求三角形 ABC的面积.【练练40】如图，平行四边形 ABCD, BE AB, CF 2CB, GD 3DC, HA 4AD,平行四边形 ABCD 的面积是2 ,求平行四边形 ABCD与四边形EFGH的面积比.【练练41】平行四边形 ABCD, BE aAB, CF b

10、CB, DG cDC , AH dAD，求四边形 EFGH 的 面积与平行四边形 ABCD面积间的关系.H【练练42】如图所示，正方形 ABCD边长为8厘米，E是AD的中点，F是CE的中点，G是BF的中 点，三角形ABG的面积是多少平方厘米？【练练43】bDA , CG aDC , BF bCB ,求四边形 ABCD如图，四边形EFGH中，EA aAB，HD的面积与四边形 EFGH面积间的关系【练练44】如图，将四边形 ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点 若四边形ABCD的面积为【练练45】如图，在 ABC中，延长AB 至 D，使 BD AB，延长 BC 至 E ,使 CE

11、1BC， F是AC的2中点，若 ABC的面积是2，则ADEF的面积是多少?【练练46】图中三角形 ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF 的长是BF长的3倍.那么三角形 AEF的面积是多少平方厘米？【练练47】如图是一个正六角星纸板，其中每条边的长为 5。现在沿虚线部分剪开，那么较小的那部分占到整体面积的几分之几？【练练48】如图，AD DB，AE EF FC，已知阴影部分面积为 5平方厘米， ABC的面积是平方厘米.【练练49】1如图，长方形ABCD的面积是1, M是AD边的中点，N在AB边上，且AN - BN .那么,2阴影部分的面积等于 .【练练50】

12、如图在 ABC 中， D,E,F 分 另【J 是 AB,AC,BC 边上 的点， 且BD : AD 5:2,BF:FC 3:5, CE : AE 2:3 , DEF 的面积为 43.5平方厘米，则 ABC 的面积是 平方厘米【练练51】如图以 ABC的三边分别向外做三个正方形 ABIH、ACFG、BCED ,连接HG、EF、ID，又得到三个三角形，已知六边形 DEFGHI的面积是77平方厘米，三个正方形的面积分别是9、16、36平方厘米，则三角形 ABC的面积是多少？F【练练52】如图，已知三角形 ABC面积为1，延长AB至D，使BD AB ;延长BC至E，使CE 2BC ； 延长CA至F，使

13、AF 3AC，求三角形 DEF的面积.【练练53】如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA AB , CB BF , DC CG , HD DA，求 四边形ABCD的面积.【练练55】在四边形 ABCD中，其对角线 AC、DB交于E点。且AF=CE , DE=BG 。已知四边形 ABCD 的面积为1，求 EFG的面积是多少。【练练1答案】【分析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用.连接BH、CH .AEEB ,-SAEHBEH .同理，BFH S CFH ,SVCGH=SVDGH ,？阴影丄s 丄c S长方形ABCD c2 25628 （平方厘米）【练练2答案】【分析】把另外三个三等

14、分点标出之后，正方形的 3个边就都被分成了相等的三段 把H和这些分点以及正方形的顶点相连， 把整个正方形分割成了 9个形状各不相同的三角形这9个三角形的底边分别是在正方形的 3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一 阴影部分被分割成了 3个三角形，右边三角形的面积和第 1第2个三角形 相等：中间三角形的面积和第 3第4个三角形相等；左边三角形的面积和第 5个第6 个三角形相等因此这3个阴影三角形的面积分别是 ABH、BCH和CDH的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一 正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48.【练练3答案】C C【分析】如右图，连接 AO、BO、C

15、O、DO，则可判断出，每条边与 0点所构成的三角形都被分为面积相等的两部分， 且每个三角形中的两部分都分属于 S &、S2 S4这两个不同的组合，所以可知 S! S3 S, S4 .【练练4答案】【练练5答案】【分析】由题意可知，BD :BC S BAD : S ABC2:9 ,所以BD29BC 10 ,CD BCBD 35 ;又DI:DC S DIF : S dfc2:5 ,所以DI25DC14，同样分析可得 FK 10,所以DI FK 14 10 24.【练练6答案】【分析】图中阴影部分的面积等于长方形 ABCD面积的一半，即4 3 2 6（平方厘米）.【练练7答案】【分析】根据面积比例模

16、型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半， 所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为 50 2 25平方厘米.【练练8答案】1【分析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为 1 20 12 120 .2【练练9答案】【分析】黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长， 高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的 50%，而绿色三角形面积占长方形面积的15%，所以黄色三角形面积占长方形面积的 50% 15% 35% 已知黄色三角形面积是 21cm2，所以长方形面积等于 21 35% 60 ( cm2) 【练练10答案】【分析】连接

17、DE, DF ,则长方形EFGH的面积是三角形 DEF面积的二倍.三角形 DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积Sa def 6 6 1.5 6 2 2 6 2 4.5 4 2 16.5,所以长方形 EFGH 面积为 31【练练11答案】【分析】本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.证明：连接BE .（我们通过 ABE把这两个看似无关的平行四边形联系在一起.AB AB边上的高,1在平行四边形ABCD中，Sa abe -2ABE SwABCD 2【练练12答案】【练练13答案】距离相等，即 AE与CD平行，四边形

18、 ADCE是平行四边形，阴影部分的面积1行四边形ADCE的面积的-，所以阴影部分的面积 乙的面积 2 设甲、乙、丙2的面积分别为1份，则阴影面积为2份，梯形的面积为5份，从而阴影部分的面积32 5 2 12.8 （平方厘米）.【练练14答案】【分析】方法一：连接BF ,由图知Sa abf 16 2 8,所以Sa bef 16 8 3 5 ,又由Sa acf 4 ,恰好是 AEF面积的一半，所以C是EF的中点，因此sabce sabcf 5 2 2-5，所以 saabc 16 3 4 2.5 6.5万法二：连接对角线 AE .ADEF是长方形13S ADEDBS AEFS ADBSxADEF23

19、CS ACF1DES ADE8，EFS AEF2【练练15答案】【分析】如图所示，设 AD上的两个点分别为 M、N .连接CN .根据面积比例模型， CMF与 CNF的面积是相等的，那么 CMF与 BNF的面 积之和，等于 CNF与 BNF的面积之和，即等于 BCN的面积.而 BCN的面2 1积为正方形 ABCD面积的一半，为10 50 .2又 CMF与 BNF的面积之和与阴影部分的面积相比较， 多了 2个四边形EFGH的面积，所以阴影部分的面积为： 50 5 2 40 .【练练16答案】【分析】从整体上来看，四边形EFGO的面积三角形AFC面积三角形BFD面积白色部分的面积，而三角形 AFC

20、面积 三角形BFD面积为长方形面积的一半，即 60,白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即 120 70 50，所以四边形的面积为60 50 10.利用图形中的包含关系可以先求出三角形 AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形 AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形 EFGO的面积.1由于长方形 ABCD的面积为15 8 120，所以三角形 BOC的面积为120 30 ,43所以三角形 AOE和DOG的面积之和为120 70 20 ;41 1又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120 30 ,所以四边2 4形EFGO的面积为30 20 10.【练练17答

21、案】1【分析】方法一 : Sa dpb Sa cpa S矩形ABCD 18,所以空白面积是18 3 Sa aob 24,所以阴2影部分面积为36 24 12（平方厘米）.方法二：因为三角形 ABP面积为矩形 ABCD的面积的一半，即18平方厘米，三角1形ABO面积为矩形ABCD的面积的-，即9平方厘米，又四边形PMON的面积为43平方厘米，所以三角形 AMO与三角形BNO的面积之和是18 9 3 6平方厘米. 又三角形ADO与三角形BCO的面积之和是矩形 ABCD的面积的一半，即 18平方 厘米，所以阴影部分面积为 18 6 12（平方厘米）.【练练18答案】【分析】因为三角形ADO与三角形B

22、CO的面积之和是矩形 ABCD的面积的一半，即12平方厘米，又三角形 ADM与三角形 BCN的面积之和为 7.8平方厘米，则三角形AMO与三角形BNO的面积之和是4.2平方厘米，则四边形PMON的面积 三角形ABP面积 三角形AMO与三角形BNO的面积之和 三角形ABO面积12 4.2 6 1.8（平方厘米）.【练练19答案】【分析】 如图，过F作FH / AB，过E作EG / AD , FH、EG交于M，连接 AM .则S矩形ABCD S矩形AGMHS矩形GBFMS矩形MFCE S矩形HMEDAGAH2S AMF2S EMF 2S AMEDEBF2S AEF113 217 67【练练20答案

23、】【分析】由于ABCD是长方形,所以Sa apdSa bpcSABCD ,1而 Sa ABD SABCD ,所以22S APDSBPC S ABD则SABPC & PABSA PBD , 所以S PBDS bpc Sa pab13 58 .【练练21答案】【分析】（法1）设 PGD的GD边上的高为h ,PEB的PE边上的高为h2.则1 h1 h2 AG GDAG hGDh1 -PE h2 SPBD 8 , 整理得222分米）.（法2）根据差不变原理，要求平行四边形 PHCF的面积与平行四边形 PGAE的面积差，相当于求平行四边形 BCFE的面积与平行四边形 ABHG的面积差.【练练22答案】【

24、练练23答案】【分析】BC CD 75 2 37.5 ,根据面积相等，底的比与高的比成反比例，所以BC:CD 16:14 8:7,因此BC 37.5 （8 7） 8 20 ,平行四边形 ABCD的面积是20 14 280平方厘米【练练24答案】【分析】 解法一:要求0G的长，可以先求出 F0,而FO是EFO和 CFO的底，两个三角 形的高的和等于长方形的宽，并且它们的面积和是CEF的面积.所以1F0 32 8 8,所以 0G 12 F0 4（厘米）.2解法二：可以从图上得出 AD/FG/BC,连接FD、D0 .如下图所示：因此sDFOSEFO，也就有 S DFO S CFO S EFOS CF

25、O32（平方厘米）,1而 s cfd212848 （平方厘米）.所以ScodS cfd(S dfo S cfo) 48 32 16（平方厘米）故0G2SCDOCD 2 16 8 4(厘米).【练练25答案】【练练26答案】【分析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等 （长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形 ）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一 半.证明：连接AG .（我们通过 ABG把这两个长方形和正方形联系在一起 ）.、 1 、.在正方形ABCD中，Sa abg AB AB边上的咼，2/.$ abg 1 SWABCD （三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面

26、积的一半21EFGB 冋理，Sa abg S2正方形ABCD与长方形EFGB面积相等长方形的宽 8 8 10 6.4（厘米）【练练27答案】【分析】如图所示，设AD上的两个点分别为 M、N 连接CN 根据面积比例模型， CMF与 CNF的面积是相等的，那么 CMF与 BNF的面 积之和，等于 CNF与 BNF的面积之和，即等于 BCN的面积而 BCN的面2 1积为正方形 ABCD面积的一半，为12 - 72 2又 CMF与 BNF的面积之和与阴影部分的面积相比较， 多了 2个四边形EFGH的面积，所以四边形 EFGH的面积为：72 60 2 6 【练练28答案】如图在 ABC中，D 在 BA的

27、延长线上，E在 AC上，且 AB: AD 5: 2 ,AE: EC 3: 2, Saade 12平方厘米，求 ABC的面积【分析】 连接 BE, Sa ade : Sa abe AD ： AB 2:5 (2 3):(5 3)SA ABE : ABCAE: AC 3: (3 2) (3 5): (3 2) 5所 以 Sa ade : Sa abc （3 2） : 5 （3 2） 6: 25 ,设 Sa ade 6 份，贝V Sa abc 25份,Saade 12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米， ABC的面积是50 平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的

28、面积比等于对应角 （相等角或互补角）两夹边的乘积之比（建议老师一定要把共角定理的推理过程讲透，防止学生 只记结果，而不知为什么）【练练29答案】如图在 ABC 中，D,E 分别是 AB, AC 上的点，且 AD: AB 2:5 , AE: AC 4:7 , Sa ade 16 平方厘米，求 ABC的面积【分析】 连接 BE, Sa ade : Sa abe AD : AB 2:5 (2 4):(5 4),S abe : abc AE : AC 4 ： 7 (4 5) ： (7 5),所以 S、ade : S abc (2 4): (7 5),设Sa ade 8份，则& abc 35份，Sa ade 16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平 方厘米， ABC的面积是70平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三 角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.【练练30答案】4AC的长度是AD的4 ,且三角形AED的面积是三角形 ABC面积的一半。请问：AE是AB5的几分之几?SvabcSvabd5-SvaedSvabc2.AE