实变函数与泛函分析总复习题.docx
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实变函数与泛函分析总复习题
第一章复习题
（一）
一、判断题
1、大人全体构成集合。
（×）
2、小个子全体构成集合。
（×）
3、所有集合都可用列举法表示。
（×）
4、所有集合都可用描述法表示。
（√）
5、对任意集合A，总有A。
（√）
6、（AB）BA。
（×）
7、（AB）BAB（BA）A。
（√）
8、若BA，则（AB）BA。
（√）
9、AA，AAX，其中X表示全集。
（×）10、ABBA。
（×）
11、（AB）AB，（AB）AB。
（×）12、（AB）C（AC）（BC），（AB）C（AC）（BC）。
（√）
13、若AB，BC，则AC。
（√）
14、若AB，则AB，反之亦然。
（√）
15、若AAA，BBB，且AB，AB，则AB。
（×）
16、若AB，则AB。
（√）
17、若AB，且AB，则AB。
（×）
18、可数集的交集必为可数集。
（×）
19、有限或可数个可数集的并集必为可数集。
（√）
20、因整数集Z有理数集Q，所以Q为不可数集。
（×）21、（A）A。
（√）cccccccc12121122cc
第二章复习题
一、判断题
1、设P，QR，则（P,Q）0n
nPQ。
（×）2、设P，QR，则（P,Q）0。
（×）
3、设P,P,P123Rn，则（P,P）（P,P）（P,P）。
（×）121323
4、设点P为点集E的内点，则PE。
（√）
5、设点P为点集E的外点，则PE。
（√）
6、设点P为点集E的边界点，则PE。
（×）
7、设点P为点集E的内点，则P为E的聚点，反之P为E的聚点，则P为E的内点。
（×）
8、设点P为点集E的聚点，则P为E的边界点。
（×）
9、设点P为点集E的聚点，且不是E的内点，则P为E的边界点。
（√）
10、设点P为点集E的孤立点，则P为E的边界点。
（√）
11、设点P为点集E的外点，则P不是E的聚点，也不是E的边界点。
（√）
12、开集中的每个点都是内点，也是聚点。
（√）
13、开集中可以含有边界点和孤立点。
（×）14、E是开集EE的内部（开核）。
（√）
15、任意多个开集的并集仍为开集。
（√）
16、任意多个开集的交集仍为开集。
（×）
17、有限个开集的交集仍为开集。
（√）
18、闭集中的每个点都是聚点。
（×）19、E和E都是闭集。
（√）
20、E是闭集EE。
（√）
21、任意多个闭集的交集仍为闭集。
（√）
22、任意多个闭集的并集仍为闭集。
（×）
23、有限个闭集的并集仍为闭集。
（√）
24、E是开集Ec是闭集。
（√）
EEE25、E是完全集（完备集）
二、填空题
1、设Rn是无孤立点的闭集。
（√）R1，E是[0,1]上的全部有理点，则E11[0,1]；E的内1部空集；E
2、设R
E1n1[0,1]。
1R2，E1[0,1]，则E[0,1]；E的内部；1[0,1。
]
n3、设R
部R2，E1{（x,y）xy1}2222，则E1{（x,y）xy1}22；E的内1E1；E1{（x,y）xy1}。
4、设P是康托（三分）集，则P为P为P没有点；P；mP
15、设（a,b）为R上的开集G的构成区间，则（a,b）满足（a,b）
aGG，且，bG。
（1,2）（3,4），写出E
（1,3）（2,6），写出E
16、设E7、设E的所有的构成区间（1,2）,（3,4）。
的所有的构成区间（1,6）。
08、设E为R上的闭集，x为E的孤立点，则x必为E的两个邻接0
区间的公共端点。
9、设E为R上的闭集，则E的邻接区间必为1Ec的构成区间。
第三章复习题
一、判断题
1、对任意ERn，m*E都存在。
（√）
2、对任意ERn，mE都存在。
（×）
3、设ERn，则m*E可能小于零。
（×）
4、设AB，则m*Am*B。
（√）
5、设AB，则m*Am*B。
（×）
6、
m*（S*
n）Sn1mn。
（×）
n1
7、
m*（Sn）m*S。
（√）n1n
n1
8、设E为Rn中的可数集，则m*E0。
（√）
9、设Q为有理数集，则m*Q0。
（√）
10、设I为Rn中的区间，则m*ImII。
（√）
11、设I为Rn中的无穷区间，则m*I。
（√）
12、设E为Rn中的有界集，则m*E。
（√）
13、设E为Rn中的无界集，则m*E。
（×）
14、E是可测集Ec是可测集。
（√）
15、设{
Sn}是可测集列，则Sn1n，Sn1n都是可测集。
（√）
16、零测集、区间、开集、闭集和Borel集都是可测集。
（√
17、任何可测集总可表示成某个Borel集与零测集的差集。
（√
18、任何可测集总可表示成某个Borel集与零测集的并集。
（√
19、若E，则m*E0。
（×）
20、若E是无限集，且m*E0，则E是可数集。
（×）
21、若mE，则E必为无界集。
（√））））
22、在R中必存在测度为零的无界集。
（√）
n
23、若A，B都是可测集，AB且mAmB，则m（BA）0。
（×）24、和R都是可测集，且m
n
0
，mR
n
。
（√）
25、设E26、设E
1
E2,E2
为可测集，则m（E为可测集，且E
1
1
E2）mE1mE2。
（×）
1
E2，则m（E1E2）mE1mE2。
（×）
二、填空题
1、若E是可数集，则m2、若S
1
*
E
；E为集；mE。
n
n
S2,,Sn
为可测集，则mSmS；若S
i1
i
i
i1
1
S2,,Sn
为两两不相交的可测集，则mSmS。
i1
i
i
i1
n
n
3、设E有mE
2
1
E2
为可测集，则m（E，则
1
E2）mE2
mE；若还
1
m（E1E2）mE1mE2。
4、设E
1
E2
为可测集，且E
1
E2
，mE
2
，则m（E
1
E2）
mE1mE2。
5、设x为E的内点，则m
*
E
0。
6、设P为康托三分集，则P为可测集，且mP0。
7、m0，mR
n
。
8、叙述可测集与G型集的关系可测集必可表示成一个G型集与零测集的差集。
9、叙述可测集与F型集的关系可测集必可表示成一个F型集
与零测集的并集。
第四章复习题
一、判断题
1、设f（x）是定义在可测集E
都有E[xRn上的实函数，如果对任意实数a，为E上的可测函数。
（√）f（x）a]为可测集，则f（x）
2、设f（x）是定义在可测集E
有E[xRn上的实函数，如果对某个实数a，不是E上的可测函数。
（√）f（x）a]不是可测集，则f（x）
3、设f（x）是定义在可测集E
测函数等价于对某个实数a，
4、设f（x）是定义在可测集E
测函数等价于对任意实数a，
5、设f（x）是定义在可测集E
测函数等价于对任意实数a，
6、设f（x）是定义在可测集ERn上的实函数，则f（x）为E上的可）E[xf（x）a]为可测集。
（×Rn上的实函数，则f（x）为E上的可）E[xf（x）a]为可测集。
（×Rn上的实函数，则f（x）为E上的可）E[xf（x）a]为可测集。
（√Rn上的实函数，则f（x）为E上的可
af（x）b]为可测集。
测函数等价于对任意实数a和b（ab），E[x
（×）
7、设E是零测集，f（x）是E上的实函数，则f（x）为E上的可测函数。
（√）
8、若可测集E上的可测函数列{f
函数f（x），则{fnn（x）}在E上几乎处处收敛于可测（x）}在E上“基本上”一致收敛于f（x）。
（×）
9、设f（x）为可测集E上几乎处处有限的可测函数，则f（x）在E上
“基本上”连续。
（√）
10、设E为可测集，若E上的可测函数列f{f
n
n
（x）f（x）（xE），则
（x）}的任何子列都在E上几乎处处收敛于可测函数f（x）。
（×）
n
11、设E为可测集，若E上的可测函数列f
fn（x）f（x）
（x）f（x）a.e.于E，则
（xE）。
（×）
二、填空题1、
n1
E[fa]
E[fa
n1
1n
]
，
E[fa]
E[fa
1n
]。
2、
E[afb]
E[fa]
，
E[afb]
E[fb]；
E[afb]
E[fa]E[fb]
，
E[afb]
E[fa]E[fb]。
3、设E4、设E
En
n1
，则E[f，则E[f
a]a]n1
En[fa]。
En[fa]。
En
n1
n1
5、由于区间I上的单调函数f（x）的不连续点所成的集为可数集，则f（x）为I上的几乎处处连续函数，从而
f（x）
为I上的函数。
6、叙述可测函数的四则运算性数（只要有意义）仍可测。
7、叙述可测函数与简单函数的关系乎处处收敛的意义下，任何可测函数总可表示成一列简单函数的
极限。
8、叙述可测函数与连续函数的关系测函数“基本上”可以表示成一个连续函数。
9、叙述叶果洛夫定理处处收敛的可测函数列“基本上”一致收敛。
10、叙述鲁津定理上”是连续函数。
11、若fn（x）f（x）
E，fn（x）g（x）（xE），则f（x）g（x）乎处处于
。
第五章复习题
复习题
（一）
一、判断题
1、设f（x）是可测集E
在。
（√）
2、设f（x）是可测集E
格可积。
（×）
3、设f（x）是可测集ERnRn上的非负简单函数，则Ef（x）dx一定存Rn上的非负简单函数，则f（x）在E上勒贝上的非负简单函数，且0Ef（x）dx，则f（x）在E上勒贝格可积。
（√）
4、设f（x）是可测集E
在。
（√）Rn上的非负可测函数，则Ef（x）dx一定存
5、设f（x）是可测集E格可积。
（×）
6、设f（x）是可测集ERn上的非负可测函数，则f（x）在E上勒贝Rn上的非负简单函数，且0Ef（x）dx，则f（x）在E上勒贝格可积。
（√）
7、设f（x）是可测集ERn上的可测函数，则Ef（x）dx一定存在。
（×）
8、设f（x）是可测集E至少有一个成立，则
9、设f（x）是可测集ERn上的可测函数，且ff（x）L（E）（x）L（E），Ef（x）dxn一定存在。
（√）R上的可测函数，且ff（x）L（E）（x）L（E），至少有一个成立，则f（x）在E上勒贝格可积。
（×）
10、设
f（x）是可测集ERn上的可测函数，若f（x）L（E）且f（x）L（E），则f（x）在E上勒贝格可积。
（√）
Rn11、设
f（x）是可测集E上的可测函数，若f（x）L（E），则Ef（x）dx
f（x）。
（√）Rn12、设是可测集E上的可测函数，若f（x）g（x）且g（x）L（E），则f（x）L（E）。
（√）
13、若E为零测集，f（x）为E上的任何实函数，则f（x）L（E）。
（√）
14、若f（x）L（E），则mE[
15、若f（x）L（E），则
16、若f]0。
（√）f（x）L（E）。
（√）f（x）L（E），则f（x）L（E）。
（√）
17、若f（x）L（E），E为E的可测子集，则f（x）L（E）。
（√）1118、f（x）在E上勒贝格积分值存在f（x）L（E）。
（×）
19、若f（x）L（E），且f（x）0，Ef（x）dx0，则f（x）0a.e.于E。
（√）
20、若f（x）在[a,b]上R可积，则若f（x）在[a,b]上L可积，且
（L）[a,b]f（x）dx（R）baf（x）dx。
（√）
21、若
Ef（x）L（E），g（x）L（E），且f（x）g（x）a.e.于E，则f（x）dxEg（x）dx。
（√）
E22、若f（x）L（E），
23、若
24、若Ef（x）dx0，则f（x）0a.e.于E。
（×）f（x）dxf（x）dxEg（x）dx，则f（x）g（x）a.e.于Eg（x）。
（×）
EE与Eg（x）dx存在，且f（x），则f（x）dxEg（x）dx。
（√）
25、若
lim
nEf（x）dx存在，E是E的可测子集，且limmEnnn0，则Enf（x）dx0。
（×）
26、勒贝格积分也是黎曼广义积分的推广。
（×）
二、计算题
1]的无理点0,x为[0，中1、设D（x）1]的有理点1,x为[0，中，求[0,1]D（x）dx。
a.e.于[0,1]，于是解：
因为有理数集为零测集，所以，D（x）0
[0,1]D（x）dx[0,1]0dx0。
2、设x,xPf（x）3x,x[0,1]\P21]中的三分康托集，求，其中P为[0，
[0,1]
f（x）dx
。
3
解：
因为mP0，所以，f（x）x
[0,1]
a.e.于[0,1]，于是
3
f（x）dx
[0,1]
xdx
14
。
第五章复习题
（二）
一、判断题1、设{f
n
（x）}是可测集ER
n
上的可测函数列，f（x）是可测集E上
，则lim
n
E
的可测函数，如果lim（×）2、设{f
n
n
fn（x）f（x）a.e.于E
fn（x）dx
E
f（x）dx
。
（x）}是可测集ER
n
上的可测函数列，f（x）是可测集E上（xE），则lim
n
E
的可测函数，如果（×）3、设{f
fn（x）f（x）fn（x）dx
E
f（x）dx
。
（x）}是可测集ERn
n
上的可测函数列，f（x）是可测集E上
n
的可测函数，如果mE且f于E，则
lim
n
（x）f（x）（xE）或lim
n
fn（x）f（x）a.e.
E
fn（x）dx
n
E
f（x）dx
。
（×）
n
4、设{f则
n
（x）}是可测集ER上的非负可测函数列，如果f
（x）
，
lim
n
E
fn（x）dx
n
En
limfn（x）dx。
（√）
（x）
5、设{f则
n
（x）}是可测集ER上的非负可测函数列，如果f
n
，
lim
n
E
fn（x）dx
En
limfn（x）dx。
（×）
6、设{f
n
（x）}是可测集ER
n
上的非负可测函数列，则
En
lim
n
E
fn（x）dx
n
limfn（x）dx
。
（×）
7、设{f
（x）}是可测集ERn上的非负可测函数列，则
n
En
fn（x）dxn
E
fn（x）dx
。
（√）
8、设{f
n
（x）}是可测集ER
上的非负可测函数列，则
[
E
fn（x）]dx
n1
n1
E
fn（x）dx
。
（√）
9、设{f
n
（x）}是可测集ER
n
上的非正可测函数列，则
[
E
fn（x）]dx
n1
n1
E
fn（x）dx
。
（√）
10、设{f
n
（x）}是可测集ER
n
上的可测函数列，则
[
E
fn（x）]dx
n1
n1
E
fn（x）dx
。
（×）
11、设f（x）在可测集E
E
R
n
上的勒贝格积分存在，且E
En
n1
，则
f（x）dx
n1
En
f（x）dx
。
（×）
12、设f（x）在可测集E
R
n
上的勒贝格积分存在，且E
En
n1
，{E}
n
为两两不交的可测集，则
E
f（x）dx
n1
En
f（x）dx
。
（√）
13、设f（x,y）在[a,b][c,d]上可测，则
[a,b][c,d]
f（x,y）dxdy
[a,b]
dx
[c,d]
f（x,y）dy
[c,d]
dy
[a,b]
f（x,y）dx
。
（×）
14、设f（x,y）在[a,b][c,d]上非负可测，则
[a,b][c,d]
f（x,y）dxdy
[a,b]
dx
[c,d]
f（x,y）dy
[c,d]
dy
[a,b]
f（x,y）dx
。
（√）
15、设f（x,y）在[a,b][c,d]上勒贝格可积，则
[a,b][c,d]
f（x,y）dxdy
[a,b]
dx
[c,d]
f（x,y）dy
[c,d]
dy
[a,b]
f（x,y）dx
。
（√）
二、计算题1、设f
（x）n
nx1nx
2
2
（xE
[0,1]
），求lim
n
E
fn（x）dx
。
nx
2
2
解：
因为lim
n
fn（x）lim
nx1nx
2
2
0
，且
n
fn（x）
1nx
12
，由有界
法则得，
lim
n
E
fn（x）dx
En
limfn（x）dx
E
0dx0
。
2、设f
（x）n
（1
1xn
1
（xE
（0,）
）xn
n
），求lim
n
E
fn（x）dx
。
解：
当n2时，0
fn（x）
（1
1xn
1
）xn
n
F（x）
1e
x
1
1
0x1
x21x
2
，且
1x
limfn（x）lim
n
1（1
xn
1
n
。
）xn
n
而（R）
0
F（x）dx（R）
10
1
1
dx（R）
1
1x
2
dx
，
x2
所以，
E
F（x）dx（R）lim
n
0
F（x）dx
。
由勒贝格控制收敛定理得
E
E
fn（x）dx
En
limfn（x）dx
e
x
dx
0
e
x
dx1。
3、设f
（x）n
ln（xn）
n
e
x
cosx
（xE
（0,）
），求lim
n
E
fn（x）dx
。
解：
易见lim
nfn（x）limln（xn）nexcosx0
n，且
xfn（x）ln（xn）nexcosx（x1）ex，而（x1）eL（E）。
由勒贝格控制收敛定理
lim
nEfn（x）dxEnlimfn（x）dxE0dx0。
。
1
4、设fn（x）nx21nx22sinnx3（xE
1[0,1]），求limnEfn（x）dx
解：
易见lim
nfn（x）lim
1nx21nx22nsinnx0，且3
fn（x）nx21nx22sinnx312x1
2，而1
2x1
2L（E）。
由勒贝格控制收敛定理
lim
nEfn（x）dxEnlimfn（x）dxE0dx0。
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