关于数学中考利用科学计算器的利弊试探.docx
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关于数学中考利用科学计算器的利弊试探
关于数学中考利用科学计算器的利弊试探
一、威海市升学数学考试中允许利用科学计算器的背景
2001年教育部公布的《义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）明确提出：
“在课堂教学、课后作业、实践活动以及考试中，应该允许学生使用计算器。
”根据教育部的指示精神，2001年山东省教育厅下发了专门的通知，允许学生在中考中使用计算器。
威海市教育局在威教基字[2002]26号文件中也做出了“威海市2003年初中升学考试数学学科‘考试时允许学生携带、使用统一标准的计算器’”的决定。
其中，“统一标准的计算器”的限定是为防止学生滥用计算器的某一些功能或利用高级计算器作弊而特意设定的。
这样自2003年至2007年威海市允许学生在中考的数学考试中使用科学计算器。
二、使用科学计算器是《标准》的目标要求
1.使用科学计算器是《标准》的基本理念之一
在数学教学和考试中使用科学计算器，是教育现代化发展的需要。
为此，《标准》是把使用计算器在内的现在信息技术作为一条基本理念提出来的：
“数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响”“把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探究性的数学活动中去”“在课堂教学、课后作业、实践活动以及考试中，应当允许学生使用计算器”。
2.使用科学计算器是《标准》要求的学习内容
《标准》对某些具体课程目标的学习过程中使用计算器有明确说明，其中有一些涉及具体的学习内容，属于硬性要求。
例如，
第二学段（4～6年级）具体目标有要求：
开始借助计算器进行复杂计算和探究数学问题——请注意：
这是小学学段的要求。
数的运算：
（第9条）能借助计算器进行复杂计算，解决简单的实际问题，探究简单的数学规律。
并出示案例：
任意给定四个互不相同的数字，组成最大的数和最小的数，并用最大的数减去最小的数。
对所得结果的四个数字重复上述过程，你会发现什么哪？
（利用计算器）
以下是第三学段（7～9年级）具体目标有要求：
（1）实数：
（第2条）会用计算器求平方根和立方根。
（2）实数：
（第5条）在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值。
（3）整式与分式：
（第1条）会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）。
（4）方程与不等式：
（第1条②）经历用观察、画图或计算器等手腕估量方程解的进程。
（5）图形的相似：
（第6条）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的锐角。
（6）统计：
（第1条）从事收集、整理、描述和分析数据的活动，能用计算器处理较为复杂的统计数据——包括平均数、加权平均数、方差等。
（7）一次函数：
（第4条）能根据一次函数的图像求二元一次方程组的近似解。
（8）二次函数：
（第4条）会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。
注：
第7，8条虽然课标没有明确指出必须用计算器，但在实际教学中，学生都应借助科学计算器完成学习任务。
（理由后面论述）
3.《标准》对计算器的使用有教学建议
例如，第三学段（7～9年级）教学建议（六）充分运用现代信息技术：
教师应当在学生理解并能正确应用公式、法则进行计算的基础上，指导学生用计算器完成较为繁杂的计算。
在课堂教学、课后作业、实践活动以及考试中，应当允许学生使用计算器，还应鼓励学生用计算器进行探索规律等活动。
从上述的各种要求的表述中不难看出：
对初中数学教育而言，使用计算器是一种新理念；对初中学生而言，掌握计算器的使用方法是一种基本技能；对促进学生学习发展而言，计算器是一种帮助学生探究数学规律、解决问题的辅助工具。
三、使用科学计算器是教授、学习初中数学教科书内容的要求
义务教育课程标准实验教科书初中数学中涉及科学计算器的内容大致可以分为两个方面的目标要求：
（以下以鲁教版为例予以说明）
1.学习使用科学计算器的基本技能
以上属于课标中“知识与技术”方面的目标要求。
其中，计算器在开方运算，有关锐角三角函数值问题，统计问题中的加权平均数及方差、标准差计算，概率问题中的模拟实验等方面的应用，应视为学生必需掌握的学习技术，尤其是某些开方运算和某些有关锐角三角函数值的运算，学生在没有《数学用表》，又不能用计算器的情形下，无法通过手工完成。
而让学生利用科学计算器产生随机数进行模拟实验，来估量复杂事件发生的概率，确是非科学计算器不可替代的。
从久远来看，《数学用表》的作用必将被科学计算器所取代。
2.使用科学计算器探索规律
在以上内容的学习进程中，应借助科学计算器的辅助作用，探索数学规律，完成课标中“进程与方式”方面的目标要求。
而经历这种探索的进程，对学生来讲是超级重要的。
以求二元一次方程组的近似解为例，对于二元一次方程组，一般不用画图像的方法求近似解。
但对于一些高次方程、无理方程、超越方程的求解，画图像的方法则更具有一般性。
学生通过多次训练，学到了一种重要的解决问题的策略，其中包含朴素的用“区间套”逐步逼近的思想。
（注：
区间套定理是《数学分析》中的一个重要定理）因此，教材的这种安排为学生的后续学习打下良好的基础。
在利用画图像的方法求方程组近似解的过程中，如果学生不利用计算器计算，那么学生的大部分时间、精力将花费在繁杂的数字计算上了，因而冲淡了对其中蕴涵规律探索的热情，冲淡了探究活动的主题，大大降低了课堂活动的效率。
如果使用计算器，计算器完成的只是数字的计算，学生关注的是内在的数学规律，主体突出了，效率提高了。
如果学生不经历这种探索过程，只是由教师口头上讲一讲，那么课程标准中要求的过程与方法的目标就无法实现，让学生掌握其中的数学思想方法就成为一句空话。
另外，教科书中的一些内容，其学习过程可以不用计算器，但由于题目中可能涉及较复杂的数值，计算麻烦，使用科学计算器可以突出活动中心的议题，引导学生重点关注其核心知识（数学规律），提高学习效率。
如，
应当明确，快速处置数据的能力是时期对每一个公民的要求。
课标中有“搜集、整理、描述、分析数据”“能用计算器处置较为复杂的统计数据”的要求，面对大量的实际数据，在明白统计原理的情形下，利用计算器是最佳选择。
四、使用科学计算器对中考评价的影响
1.从试卷来看，学生使用计算器对中考数学成绩会产生多大影响
威海市中考数学试卷上有试卷答题说明，其中有关于使用计算器的规定是：
凡要求保留精确度的题目，要用计算器计算；不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值。
因此，计算器只能计算少部分题目。
在2003年至2007年的5套试题的命制过程中，我们通常会“特意”命制一道使用科学计算器的题目。
从计算器的作用来看，还没有命制一道用计算器探究规律的试题，外地市的中考试题倒是出现过这类题目。
通常我们只是选择一些有实际背景的问题，由于实际问题的数据一般都不太好处理——例如非特殊锐角的三角函数值、正数的算术平方根等等，可以借助科学计算器的功能加以解决。
如果上述数据题目中已给出，学生用笔算也可以求得结果，只是稍稍麻烦一点。
应该说，和使用计算器直接相关的分值很低。
例1 （2003年第17题）一张条形铁板上挖去了一批直径为mm的圆形工件后留下两排圆孔，相邻2个圆孔之间都有的间隙，相邻4个圆孔的圆心可以连成一个正方形（如图1所示）。
如果要在4个圆孔之间再挖去一个直径最大的圆形工件（如图中的⊙O），那么那个工件的直径约为＿＿mm（保留1位小数）
图1
本题主要考查两圆外切、勾股定理等内容，若不以近似值的方式呈现结果，可以不用计算器，但以近似值的方式呈现结果更符合实际。
例2 （2003年第21题）如图2，河流的两岸MN，PQ互相平行，河岸PQ上有一排间隔为50米的电线杆C，D，E，…某人在河岸MN的A处测得∠DAN=38°，然后沿河岸走了120米抵达B处，测得∠EBN=70°。
图2
求河流的宽度CF（精确到米）。
本题重点考查三角函数的相关知识，而解题的思路则源于解决梯形问题的常用方法——作高、平移一腰等。
由于∠DNA和∠CBN不是特殊角，用计算器解决了两个问题：
其一求38°和70°的三角函数值——相当于用“数学用表”查三角函数值，其二解决复杂的数字计算问题。
从以上两题可以看出，使用计算器避开复杂的数字计算，可以突出考查初中数学的核心内容，而计算器解决的只是有限的部分（2003年中考数学试卷仅有这两题对计算器有要求）内容，所占分值极低。
所以，使用计算器对中考分值不会产生太大的影响。
例3 （2006年第20题）某学校举行实践操作技能大赛，所有参赛选手的成绩统计如下表所示（满分10分）：
分数 9
人数 1 2 3 2 1 5 4 6 5 1
（1）本次参赛学生成绩的众数是多少？
（2）本次参赛学生的平均成绩是多少？
（3）肖刚同学的比赛成绩是分，能不能说肖刚同学的比赛成绩处于参赛选手的中游偏上水平？
试说明理由。
本题中的
（2）考查的是加权平均数的计算，没有要求使用计算器，可以不使用计算器。
但不使用计算器，学生计算麻烦，费时长，可能出现学生明白其中的道理但计算错误的情况，影响了考查的效度。
可见，发挥计算器处理复杂数字的长处，可以更好地考查数学的核心内容。
一般来说，我们不会出一些单纯考查学生使用计算器技能的题目，通俗地说，我们不会出一些学生只需按手指，不必动脑筋的试题。
其理由是：
（1）这不符合我市数学学科以能力立意的中考命题原则。
（2）对学生而言，使用计算器是一种技能，但这种技能应定位于学生学习数学、解决问题的辅助工具。
因此，不宜单独出仅仅考查学生使用计算器技能的题目，而应该把对学生使用计算器技能的考查融于对学生解决问题能力考查的过程之中。
2.使用计算器对中考命题技术的影响
既然某些数学试题，若给出相关的数据，如非特殊锐角的三角函数值、正数的平方根等就可以完成，同时计算器解决问题部分所占的分值又很少，那又何必要用计算器哪？
其实不然，我们在命题的过程中，常常会感到，如果在一道题目后面添加了一个有效的数据，那么客观上就等于给学生解题提供了一个路标，为学生解题提供了一个踏脚石，这些试题就达不到预期考查效果。
若提供很多数据，又显得试题的条件太乱。
例4 （2006年第21题）图3，4是晓东同学在进行“居民楼高度、楼间距对住户采光影响问题”的研究时画的两个示意图。
请你阅读相关文字，解答下面的问题：
（1）图3是太阳光线与地面所成角度示意图。
冬至日正午时刻，太阳光线直射在南回归线（南纬°）B地上。
在地处北纬°的A地，太阳光线与地面水平线l所成的角为α试借助图3，求α的度数。
（2）图4是乙楼高度、楼间距对甲楼采光影响的示用意。
甲楼地处A地，其二层住房的南面窗户下沿距地面米。
现要在甲楼正南面建一幢高度为米的乙楼，为不影响甲楼二层住房（一层为车库）的采光，两楼之间的距离至少应为多少米（精准到米）？
本题若给出30°的三角函数值，就等于给学生作了提醒，学生就会想30°是怎么来的？
哪个角是30°？
题目的味道大变，难度下降，没有意思了。
若再多给出其他如°和°等等多个角的三角函数值或印出部分三角函数表，这些三角函数值对解题没有任何帮助，又显得题目多余条件太多，不够简洁。
3.使用计算器对中考命题立意的影响
中考要考查学生的数学应用意识，考查学生解决问题的能力，所以，试题要以实际问题为背景，贴近生活。
实际问题中的数据往往不那么“规范”，使用计算器，能更好地考查出学生解决实际问题的能力；若不使用计算器，学生往往纠缠于繁杂的数字计算，而影响对实际问题的解决。
学生计算的数字错了，不等于他解题思路的错误，但错误的数字却会影响他后面思维的展开，这将影响试题的效度。
许多工科专业的大学生，在学习本专业知识时，都离不开计算器，考试更离不开计算器。
因为，在这一阶段，对他们的考查是关注他们是否掌握核心知识——基本原理，解决问题的方法与策略，而不是考查他们的算数水平。
也可以把问题中的数据改得非常简单、“规范”，那又显得很假，那就不是真正的实际问题了。
五、使用科学计算器有无负面影响
人们常说某东西是双刃剑，其实，从哲学的意义上说，什么不是双刃剑？
明白了这个道理，我们就要在工作中注意扬长避短。
有人说使用计算器影响了初中学生的数学能力。
本人以为，研究这个问题，可从三个方面分析。
1.数字计算在一个人成长过程中的作用
我认为计算能力有两个要素：
计算技能和数学思维，即计算技能和数学思维结合才能形成计算能力。
而且学习数字计算的过程对人的思维发展起到了极大的作用。
在小学低年级阶段，由于小学生年龄小，偏向于形象思维，抽象思维水平极低，学习诸如0，1，2，…，9的意义，加减乘除的运算法则，明白其算理，这对小学生来说是非常抽象。
这个阶段的数字计算对学生而言，不仅解决了加减乘除运算的算理问题，同时也是小学生思维由形象思维向抽象思维过渡的重要阶段，对提升学生的思维水平至关重要。
所以，这个阶段应尽可能少使用计算器，以保证不错过绝好的提升思维水平的机会。
在初中低年级，如初一年级要学习有关实数的运算，运算的范围由正数扩充到负数，由有理数扩充到无理数，是小学阶段数字计算的延续。
学生应在学习算理、应用法则方面作必要的思维训练，这也很重要。
2.对“计算技能”的要求是随着时代的发展而变化的
显然，农业社会、工业社会、信息社会，对一个公民的计算能力的要求是不一样的。
随着科技的发展，对一个人基本运算技能的要求也在不断的变化。
事实上，在数学界已经达成了共识：
用数学解决实际问题，重要的是分析其中的数学规律，建立数学模型的“数学化”过程。
目前，有一些问题，设计好“算法”程序，就可以由计算机解决——《算法》已成为现行高中选修教材的内容。
试想：
上海市连续八年高考中使用计算器，其考生的总体数学水平是否一定比其他省份的低？
有的国家大学一年级的理科学生不知道
，他们的科研水平是不是必然在下降？
鉴于现代社会对人计算技能的要求有所降低，《标准》对计算的复杂程度要求不高：
掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算——以三步为主（见课标第31页）；在涉及数的开放时要求使用计算器。
可见，课标对初中阶段有理数、实数的加、减、乘、除、乘方甚至开方运算的要求也是明白基本算理（法则）、形成基本技能。
就整个初中阶段而言，引入字母表示数，数学学习由“算术”进入“代数”，其数学本质发生了较大的变化，对计算技能的要求也不一样了。
3.从初中阶段的教学目标要求看计算能力的价值
使用计算器主要涉及代数方面的问题，一个人的代数能力，最重要的是他的代数式变形能力。
代数运算是“式”的运算，是代数式的变形。
初中阶段主要有同解变形和恒等变形，如解一元一次方程式、一元二次方程式、二元一次方程式组，一元一次不等式和一元一次不等式组，整式或分式的加、减、乘、除、乘方等运算等等，尽管初中阶段代数式变形的过程中，也伴随着诸如系数、指数、常数项等等数字的计算，但这与单纯的数字运算已大不相同，对数字计算的要求比较低，只涉及运算技能。
其中的绝大部分数字计算所涉及的方法都是小学阶段已学过的算理，只要仔细，一般不会出错。
若用计算器解决，所用的时间反而会比口算所用的时间还要长。
4.使用计算器会影响学生的计算能力吗？
就数值的计算而言，通常中小学生学习算理时不能用计算器，在明白算理以后用计算器加快计算的速度。
如果一个初中学生在乎时练习时过于依赖来计算器，比如对于简单的个位数加、减、乘法运算学生还要依赖于计算器计算，那么他的计算能力肯定受到影响。
但初中学生计算能力的要求不仅限于实数的加减乘除的运算，还有幂的运算、开放，在数值不复杂的时候，使用计算器没有多大优势，计算的速度反而变慢了。
我倒觉得学生应明白算理后，如果一些简单计算过于依赖计算器，形成惰性心理，其计算的细心程度就会受到一些影响。
我想所谓学生计算能力下降，很大程度是计算时的认真程度下降。
不过，有过实际操作的人都有体会，用计算器计算多个数据的加权平均数、方差时极易出错，也要很认真的。
当然，这种认真和笔算时的认真还是有差别的。
5.使用计算器不等于不重视学生的计算技能
每一年我们在命制威海市中考数学试题时，都要注意考查学生对基本算理的掌握情况。
如实数的加减乘除运算，幂的运算、开方运算、根式运算、分式运算等等，有时一些大题的解答过程中需要相关的运算，我们就没有必要单独考查了。
有时我们会特意命制一些题目单独作相关内容的考查。
以上题目皆为考查学生对相关算理的理解和大体计算技术水平而命制的。
我市中考试卷上有如此的规定：
凡要求保留精准度的题目，要用计算器计算；不要求保留精准度的题目，计算结果保留准确值。
其目的就是限制学生过量地利用计算器。
依照这一规定，这些题目都不宜用计算器来完成的。
事实上，一份数学中考试卷能够用计算器解答的题目并非多，有一些题目用计算器得不到咱们要求的结果，所历时刻花费反而较多。
六、高考中会用计算器吗？
高考中使用计算器至少会涉及以下几个方面：
1.知识上，必须有相关直接的内容支持。
若没有相关知识内容的支持，就没有使用计算器的必要。
现在高中阶段教材中，如概率、立体几何等知识的考查，可能会涉及计算器。
很多概率问题，最好借助计算器完成。
但命题时，作些技术性调整可以避开使用计算器。
2.若高考试题涉及真正的应用问题，数据没有作任何处理，通常就可能要用计算器。
若调整数据，即可避开繁杂的计算。
3.考试作弊的顾虑，高考不用计算器最主要的问题是技术问题。
据悉上海市高考中使用的计算器限定了不能有存储记忆功能和编程功能。
近几年，暴露出一些高考作弊案，其作弊手段之高超，设备之先进让人震惊。
在高考这样一种决定人一生命运的大事上，若使用了计算器，由计算器延伸出的其他功能，其防范作弊的难度就会加大许多。
这也是决定高考中是否使用计算的一个重要因素。
七、寻求一条扬长避短之路
1.什么时候用计算器的什么功能是有讲究的
如前所述，培养学生计算机能的最佳时机是在小学阶段，这一阶段应少用计算器。
分析初中数学教科书中相关内容的呈现顺序，不难看出什么时候使用计算器，使用计算器的什么功能也是有要求的，决不能滥用。
如初中教科书七年级上册第三章第一节无理数中“探索
的值”（第42页），学生仅用了计算器的平方（或乘法）功能，慢慢“夹逼”，取得
的近似值。
若直接用计算器计算其结果一按就出来了，学生就体会不到其间的数学思想方式。
又如八年级下册第七章第一节一元二次方程中“探索一元二次方程的近似解”，如果给学生讲一元二次方程的求根公式，学生根据一元二次方程的求根公式按计算器，其结果可以立即呈现。
学生就体会不到其中的数学思想方法，所以，这部分内容是万万不能滥用计算器的。
2.调查研究，控制使用
了解哪些学生经常使用计算器，哪些学生偶尔使用计算器，研究学生使用计算器的心理，引导学生合理的使用计算器，这些方面，还有待于我们深入调研，相信经过努力，可以找出应对的策略，使计算器的使用更趋合理，效果更好。
总之，初中数学教学及中考中使用计算器是《标准》的要求，也是学习教材内容的需要；学生的计算能力不等同于代数式变形的能力，快速处理数据的能力是时代对每个公民的要求，只要好好控制使用计算器，不会对学生的数学能力造成多大的影响。
以上是我对初中数学教学及中考中使用计算器的认识与思考，有不当之处，敬请各位老师批评指正。
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