Simulink中连续与离散模型的区别.doc

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Simulink中连续与离散模型的区别

matlab/simulink/simpowersystem中连续vs离散!

本文中的一些具体数学推导见下面链接：

计算机仿真技术

1.连续系统vs离散系统

  连续系统是指系统状态的改变在时间上是连续的，从数学建模的角度来看，可以分为连续时间模型、离散时间模型、混合时间模型。

其实在simpowersystem的库中基本所有模型都属于连续系统，因为其对应的物理世界一般是电机、电源、电力电子器件等等。

  离散系统是指系统状态的改变只发生在某些时间点上，而且往往是随机的，比如说某一路口一天的人流量，对离散模型的计算机仿真没有实际意义，只有统计学上的意义，所以在simpowersystem中是没有模型属于离散系统的。

但是在选取模型，以及仿真算法的选择时，常常提到的discretemodel、discretesolver、discretesimulatetype等等中的离散到底是指什么呢？

其实它是指时间上的离散，也就是指离散时间模型。

  下文中提到的连续就是指时间上的连续，连续模型就是指连续时间模型。

离散就是指时间上的离散，离散模型就是指离散时间模型，而在物理世界中他们都同属于连续系统。

为什么要将一个连续模型离散化呢？

主要是是从系统的数学模型来考虑的，前者是用微分方程来建模的，而后者是用差分方程来建模的，并且差分方程更适合计算机计算，并且前者的仿真算法（simulationsolver）用的是数值积分的方法，而后者则是采用差分方程的状态更新离散算法。

  在simpowersystem库中，对某些物理器件，既给出的它的连续模型，也给出了它的离散模型，例如：

离散模型一个很重要的参数就是采样时间sampletime，如何从数学建模的角度将一个连续模型离散化，后面会有介绍。

在simpowersystem中常用powergui这个工具来将系统中的连续模型离散以便采用discrete算法便于计算机计算。

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2.连续模型的数学建模vs离散模型的数学建模

Note：

这里的连续和离散都是指时间上的连续和离散，无关乎现实世界的连续系统和离散系统。

所谓数学建模就是用什么样的数学语言来描述模型，

  连续系统的数学模型通常可以用以下几种形式表示：

微分方程、传递函数、状态空间表达式，这三中形式是可以相互转换的，其中又以状态空间表达式最有利于计算机计算。

  ①微分方程：

一个连续系统可以表示成高阶微分方程，即

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    ②传递函数

上式两边取拉普拉斯变换，假设y及u的各阶导数（包括零阶）的初值均为零，则有

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于是便得微分方程的传递函数描述形式如下：

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    ③状态空间表达式

线性定常系统的状态空间表达式包括下列两个矩阵方程：

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          （7-1）

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                        （7-2）

式（7-1）由n个一阶微分方程组成，称为状态方程；式（7-2）由l个线性代方程组称为输出方程

因此获得如下的状态方程与输出方程（令a0=1）:

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离散模型假定一个系统的输入量、输出量及其内部状态量是时间的离散函数，即为一个时间序列：

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，其中T为离散时间间隔，其实T也就是上文中的sampletime。

Note：

再强调一次，这里的离散模型是指离散时间模型，与现实世界中的离散事件模型没有任何关系，在simpowersystem中所讲的离散都是指时间上的离散，与我们在信号中学的那个离散概念没有关系。

离散时间模型有差分方程、离散传递函数、权序列、离散状态空间模型等形式。

①差分方程

差分方程的一般表达式为：

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同样差分方程可以转换成后面那些表达形式。

3.连续模型的离散化

正如7.1.连续系统vs离散系统中截图所示的那样，如何由一个连续模型得到它的离散模型，（RMS®discreteRMSvalue），以及powergui是通过什么方法将连续模型离散化的，即simulator是如何将微分方程转换成差分方程的。

假设连续系统的状态方程为

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  现在人为地在系统的输入及输出端加上采样开关，同时为了使输入信号复员为原来的信号，在输入端还要加一个保持器，如图所示。

现假定它为零阶保持器，即假定输入向量的所有分量在任意两个依次相连的采样瞬时为常值，比如，对第n个采样周期u（t）=u（nt），其中T为采样间隔。

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  由采样定理可知，当采样频率ws和信号最大频率wmax满足ws>2wmax的条件时，可由采样后的信号唯一地确定原始信号。

把采样后的离散信号通过一个低通滤波器，即可实现信号的重构。

值得注意的是，图所示的采样器和保持器实际上是不存在的，而是为了将式离散化而虚构的。

  下面对上式进行求解，对方程式两边进行拉普拉斯变换，得

                  即

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  通过一系列的拉斯反变换和卷积，最终得到其差分方程（具体过程不用关心）

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统称为系统的离散系数矩阵。

在转换过程中引入了一个重要参数T，即采样间隔，也就是采样时间，不管是powergui还是其他离散模型，只要涉及到离散，都必然会涉及到sample  time，如下图

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那么sampletime一般取多大呢，一直满足采样定理即可，即信号的采样频率大于信号本身最大频率的2倍即可。

4.simulator连续模型的仿真算法（simulatesolver，也可译成仿真解算器）和步长的概念。

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连续系统的计算机仿真算法是数值积分法，即计算机用数值积分来解微分方程，从而得到其近似解。

具体方法如下

  ①欧拉法和改进的欧拉法：

现有微分方程如下：

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上式右端的积分，计算机是无法求出的，其几何意义为曲线f（t,y）在区间（ti,ti+1）上的面积。

当（ti,ti+1）充分小时，可用矩形面积来近似代替：

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其中h即为积分步长。

Note:

在simulator仿真计算时，h实际为仿真时间间隔。

因此可得下式：

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因此只要知道当前状态和步长，便可得到下一状态。

其几何意义如下：

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分析其误差特性：

由泰勒展式可得：

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可知其截断误差

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是和步长h2成正比的，因此计算机在计算时，若要使近似积分精度更高，就要减小步长，但会增加截断误差。

②改进的欧拉法（预测—校正法）

对积分公式（3.1.2）式利用梯形面积公式计算其右端积分，得到

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将上式写成递推差分格式为：

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从上式可以看出，在计算yn+1中，需要知道fn+1，而fn+1=f（tn+1,fn+1）又依赖于yn+1本身。

因此要首先利用欧拉法计算每一个预估的ypn+1，以此值代入原方程式计算fpn+1，最后利用下式求修正后的ypn+1。

所以改进的欧拉法可描述为