学年苏教版必修一12子集全集补集教案.docx

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学年苏教版必修一12子集全集补集教案

考察下列集合

A＝{1,3}，B＝{1,3,5,6}；

C＝{x|x是长方形}，D＝{x|x是平行四边形}；

P＝{x|x是菱形}，Q＝{x|x是正方形}．

问题1：

观察集合中的元素，集合A与B，C与D具有什么关系？

提示：

集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，集合C中的任意一个元素都是集合D的元素．

问题2：

集合P与Q的关系与前两组相似吗？

提示：

不相似．集合P中的元素不都是集合Q中的元素，集合Q中的元素都是集合P中的元素．

问题3：

集合{3}与{1,3}，元素3与{1,3}的关系是相同的吗？

提示：

不一样．前两者属集合与集合的关系，后两者是元素与集合的关系．

1．子集

2．子集的性质

文字语言

符号表示

任何一个集合是它本身的子集

A⊆A

空集是任何集合的子集

∅⊆A

在知识点一所考察的A与B，C与D集合中．

问题1：

集合A是集合B的子集，那么集合B是集合A的子集吗？

提示：

集合B不是集合A的子集．

问题2：

集合D是集合C的子集吗？

提示：

集合D不是集合C的子集．

问题3：

你能指出集合C与D的元素的确切关系吗？

提示：

集合C中的元素都是集合D中的元素，但集合D中存在某元素x，它不属于集合C.

[例1]　指出下列各对集合之间的关系：

（1）A＝{－1,1}，B＝{x∈N|x2＝1}；

（2）A＝{－1,1}，B＝{（－1，－1），（－1,1），（1，－1），（1,1）}；

（3）P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2（n－1），n∈Z}；

（4）A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}；

（5）A＝{x|－1

[思路点拨]　分析集合中元素及元素的特征，用子集、真子集及集合相等的概念进行判断．

[精解详析]　

（1）用列举法表示集合B＝{1}，

（2）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系．

（3）∵Q中n∈Z，∴n－1∈Z，Q与P都表示偶数集，

∴P＝Q.

（4）等边三角形是三边相等的三角形，故

（5）（5）集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可发现

[一点通]　判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是：

先明确集合A、B中的元素，再分析集合A、B中的元素间的关系．当集合A中的元素都属于集合B时，有A⊆B；当集合A中的元素都属于集合B且B中至少有一个元素不属于集合A时，有

当集合A中的元素都属于集合B，并且集合B中的元素都属于集合A时，有A＝B.

1．下列图形中，表示M⊆N的是__________．

答案：

③

答案：

①③④

3．下面给出的几个关系中：

①{∅}⊆{a，b}；②{（a，b）}＝{a，b}；③{a，b}⊆{b，a}；④∅⊆{0}．正确的是________．

解析：

①错．②错．③因为{a，b}＝{b，a}，所以{a，b}⊆{b，a}正确．④因为空集是任何一个集合的子集，所以∅⊆{0}正确．

答案：

③④

[例2]　（湖北高考改编）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

[思路点拨]　先确定集合A和B，再由A⊆C⊆B确定集合C.

[精解详析]　因为A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}＝{1,2}，B＝{x|0

[一点通]　

（1）如果一个集合是有限集，且元素个数为n，那么其子集个数为2n个，真子集为2n－1个（除去与本身相等的），非空真子集为2n－2个．

（2）如果一个集合是无限集，那么其子集个数为无穷多个．

4．若集合A＝{x|x2－2x＋1＝0}，则A的子集个数为________．

解析：

A＝{1}，故有2个子集∅，A.

答案：

2

解析：

集合M中一定含有元素1,2,3，但同时M≠{1,2,3}且是{1,2,3,4,5,6}的真子集，所以集合M为{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,3,6}，{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,6}，{1,2,3,5,6}，共6个．

答案：

6

6．设S是非空集合，且满足两个条件：

①S⊆{1,2,3,4,5}；②若a∈S，则6－a∈S.求集合S的个数．

解：

由题意知，S中的元素应满足的条件是：

1,5同时选，2,4同时选，3单独选．

用列举法表示出符合题意的全部集合S为{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共有7个.

[例3]　已知集合A＝{1,3，x2}，B＝{x＋2,1}，是否存在实数x，使得B⊆A？

若存在，求出集合A，B；若不存在，说明理由．

[思路点拨]　先假设B⊆A，分x＋2＝3或x＋2＝x2两种情况，求得x的值，再通过验证元素的特征确定A、B两个集合．

[精解详析]　假设存在实数x，使B⊆A，

则x＋2＝3或x＋2＝x2.

（1）当x＋2＝3时，x＝1，此时A＝{1,3,1}，不满足元素的互异性．故x≠1.

（2）当x＋2＝x2时，即x2－x－2＝0，

故x＝－1或x＝2.

①当x＝－1时，A＝{1,3,1}，与元素互异性矛盾，

故x≠－1.

②当x＝2时，A＝{1,3,4}，B＝{4,1}，显然有B⊆A.

综上所述，存在x＝2，使A＝{1,3,4}，B＝{4,1}满足B⊆A.

[一点通]　解决此类问题的步骤可归纳为：

（1）化简：

将所给定的集合化简（本题已说明确）；

（2）讨论：

根据包含关系的定义，对所有情况进行讨论；

（3）构建：

根据包含关系构建方程（或不等式），并求解；

（4）整合：

整合各种情况得出结论．

如果给定集合是连续数集时，有时也要运用到数形结合法．

7．已知集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，B⊆A，求a的值．

解：

∵B⊆A，A≠∅，∴B＝∅或B≠∅.

当B＝∅时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.

当B≠∅时，此时a≠0，B＝{－

}，

∴－

∈A，即有－

＝－2，得a＝

.

综上所述，a＝0或a＝

.

8．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值集合．

解：

（1）若B＝∅，则m＋1>2m－1，即m<2，此时，总有B⊆A，故m<2.

（2）若B≠∅，则m＋1≤2m－1，

即m≥2.

由B⊆A得

，

解得2≤m≤3.

综合

（1）

（2）可知m的取值集合是{m|m≤3}．

课时达标训练

（二）

一、填空题

1．集合A＝{0,1,2}的真子集个数是________．

解析：

集合A的真子集有∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{1,2}和{0,2}，共7个．

答案：

7

2．（江西高考改编）若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝________.

解析：

a＝0时不适合题意：

a≠0时需Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.

答案：

4

3．已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，C⊆A，C⊆B，则集合C最多含有________个元素．

解析：

由题意知C最多含有3个元素：

4,5,6.

答案：

3

4．已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为________．

解析：

由题意知集合B的元素为1或－1或者B为空集，故a＝－1或1或0.

答案：

{－1,1,0}

5．设A＝{x|1

则实数a的取值范围是__________．

解析：

（如图）

∴a≥2，

即a的取值范围是{a|a≥2}．

答案：

{a|a≥2}

6．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．

解析：

∵y＝（x－1）2－2≥－2，

∴M＝{y|y≥－2}，

二、解答题

7．已知M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{x|x2－2x＋a＝0}，若N⊆M，求实数a的取值范围．

解：

∵M＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，

又N⊆M，

∴N＝∅，或N＝{1}，或N＝{2}，或N＝{1,2}．

（1）当N＝∅时，方程x2－2x＋a＝0的判别式

Δ＝4－4a<0，即a>1.

（2）当N＝{1}时，有

∴a＝1.

（3）当N＝{2}时，有

不成立．

（4）当N＝{1,2}时，有

不成立．

综上可知，实数a的取值范围为a≥1.

解：

（1）借助数轴可得，a应满足的条件为

或

解得0≤a≤1.

（2）同理可得a应满足的条件为

得a无解，所以不存在实数a使B⊆A.

9．已知集合A＝{x||x－a|＝4}，集合B＝{1,2，b}．

（1）是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B？

若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由；

（2）若A⊆B成立，求出对应的实数对（a，b）．

解：

（1）若对于任意实数b都有A⊆B，当且仅当集合A中的元素为1,2.

∵A＝{a－4，a＋4}，

∴

或

解方程组可知无解，

∴不存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B.

（2）由

（1）易知若A⊆B，

则

或

或

或

解得

或

或

或

则所求实数对为（5,9）或（6,10）或（－3，－7）或（－2，－6）．

第2课时　全集、补集

观察下列各组中的3个集合．

（1）S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，A＝{1,2,3,4,5，}，B＝{6,7,8,9,10，}；

（2）S＝R，A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x＜1，或x＞2}；

（3）S＝{x|x为中国人}，A＝{x|x为江苏人}，B＝{x|x为不是江苏人的中国人}．

问题1：

各组中，它们都具备什么样的包含关系？

提示：

问题2：

集合S与另两个集合比较具有什么特点？

提示：

集合S中的元素除了属于A的都属于B.

1．补集

自然语言

设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为∁S_A（读作“A在S中的补集”）

符号语言

∁SA＝{x|x∈S，且x∉A}

图形语言

2．全集

如果集合包含我们所要研究的各个集合，那么这个集合可以看作一个全集，全集通常记作U.

1．全集是相对于所要研究的几个集合而言的，在实数范围内讨论集合时，一般用R作为全集．

2．∁UA的数学意义包括两个方面，首先必须具备A⊆U，其次是定义∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．

[例1]　

（1）（四川高考改编）若全集M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,4}，则∁MN＝__________.

（2）已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，则∁UM＝__________.

[思路点拨]　利用补集的定义求解．首先明确全集．

[精解详析]　

（1）∵M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,4}，根据补集的定义知∁MN＝{1,3,5}．

（2）把集合M在数轴上表示出来（如图）．

∵U＝R，

∴∁UM＝{x|x>2或x<－2}．

[答案]　

（1）{1,3,5}　

（2）{x|x>2或x<－2}．

[一点通]　求给定集合A的补集通常利用补集的定义，即从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集．

1．下列说法：

①若S＝{1,2,3}，A＝{2,1}，则∁SA＝{2,3}；

②若U＝{1,2,3}，A＝∅，则∁UA＝A；

③若U＝{1,2,3}，A＝{1,2,3}，则∁UA＝∅；

④若U＝{1,2,3}，A＝{2,3}，则∁UA＝{1}．

其中正确的有__________．（填序号）

解析：

①错．因为S＝{1,2,3}，A＝{2,1}，所以∁SA＝{3}．

②错．因为U＝{1,2,3}，A＝∅，所以∁UA＝U.

③对．因为U＝{1,2,3}，A＝{1,2,3}，所以∁UA＝∅.

④对．因为U＝{1,2,3}，A＝{2,3}，所以∁UA＝{1}．

答案：

③④

2．

（1）设全集U＝{－1,0,1,2}，A＝{－1,0,1}，则∁UA＝__________.

（2）设全集U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1，|a－5|,9}，∁UA＝{5,7}，则a的值为__________．

解析：

（1）∵U＝{－1,0,1,2}，A＝{－1,0,1}，

∴∁UA＝{2}．

（2）∵U＝{1,3,5,7,9}，∁UA＝{5,7}，

∴A＝{1,3,9}．

又∵A＝{1，|a－5|,9}，

∴|a－5|＝3即a＝2或8.

答案：

（1）{2}　

（2）2或8

补集的应用

[例2]　已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}且A⊆∁UB，求实数a的取值范围．

[思路点拨]　首先应对B是否为空集进行讨论，得出∁UB，然后再利用A⊆∁UB得关于a的不等式求解即可．

[精解详析]　若B＝∅，则a＋1＞2a－1，∴a＜2.

此时∁UB＝R，∴A⊆∁UB；

若B≠∅，则a＋1≤2a－1，即a≥2，

此时∁UB＝{x|x＜a＋1，或x＞2a－1}，

由于A⊆∁UB，如图，

则a＋1＞5，∴a＞4，

∴实数a的取值范围为a<2或a>4.

[一点通]　解决此类问题应注意以下几点：

（1）空集作为特殊情况，不能忽略；

（2）数形结合方法更加直观易懂，尽量使用；

（3）端点值能否取到，应注意分析．

3．设全集U＝{x|x≤4且x∈N}，集合M＝{2，a－5}，M⊆U，∁UM＝{0,1,3}，则a＝________.

解析：

由已知得：

U＝{0,1,2,3,4}，

且M⊆U，∁UM＝{0,1,3}，∴M＝{2,4}．

又M＝{2，a－5}，

∴a－5＝4，即a＝9.

答案：

9

4．已知全集U＝{1,3，x3＋3x2＋2x}，A＝{1，|2x－1|}，若∁UA＝{0}，求x的值．

解：

∵∁UA＝{0}，∴0∈U，但0∉A.

∴x3＋3x2＋2x＝0，x（x＋1）（x＋2）＝0，

∴x＝0或－1或－2.

当x＝0时，|2x－1|＝1，A中已有元素1，不符合元素的互异性；

当x＝－1时，|2x－1|＝3,3∈U；

当x＝－2时，|2x－1|＝5，但5∉U.

综上，x＝－1.

关于全集、补集应注意以下四点：

（1）求一个集合的补集必须要有前提条件——全集．

（2）对于全集U中的每一个元素x，x∈A与x∈∁UA二者有且只有一个成立．

（3）补集与全集的性质：

①A⊆U，∁UA⊆U；②∁U（∁UA）＝A；③∁UU＝∅，∁U∅＝U.

（4）与补集有关的常见结论：

若A⊆B，则∁UA⊇∁UB；若∁UB⊆∁UA，则A⊆B；若A＝B，则∁UA＝∁UB；若∁UA＝∁UB，则A＝B.

课时达标训练（三）

一、填空题

1．设集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁UA＝________.

解析：

∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴3,4,5∈∁UA

故∁UA＝{3,4,5}．

答案：

{3,4,5}

2．（陕西高考改编）设全集为R，函数f（x）＝

的定义域为M，则∁RM为________．

解析：

因为函数f（x）的定义域为{x|x≤1}，

即M＝{x|x≤1}，

所以∁RM＝{x|x>1}．

答案：

{x|x>1}

3．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁UA＝{x|x<3或x>4}，则a＋b＝________.

解析：

∵U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∴∁UA＝{x|x

b}，又∵∁UA＝{x|x<3或x>4}，∴a＝3，b＝4.

∴a＋b＝7.

答案：

7

4．设集合U＝{－1,1,2,3}，M＝{x|x2－5x＋p＝0}，若∁UM＝{－1,1}，则实数p的值为________．

解析：

由补集的定义知，M＝{2,3}，则2,3是方程x2－5x＋p＝0的两根，则p＝2×3＝6.

答案：

6

5．设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，∁UA＝{5}，则实数a的取值集合为__________．

解析：

∵∁UA＝{5}，∴5∈U，且5∉A，

∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.

当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，符合题意，

当a＝－4时，|2a－1|＝9≠5，

但是9∉U，∴a的取值集合为{2}．

答案：

{2}

6．设全集S＝{x|x2－8x＋15＝0，x∈R}，∁SA＝{x|ax－1＝0}，则由实数a组成的集合为________．

解析：

∵S＝{3,5}，∁SA＝{x|ax－1＝0}⊆S，

∴∁SA＝∅或{3}或{5}或{3,5}．

若∁SA＝∅，则a＝0；

若∁SA＝{3}，则a＝

；

若∁SA＝{5}，则a＝

；

若∁SA＝{3,5}，则a不存在，

∴实数a组成的集合为{0，

，

}．

答案：

{0，

，

}

二、解答题

7．全集U＝R，A＝{x|3≤x＜10}，B＝{x|2＜x≤7}，

（1）求∁UA，∁UB；

（2）若集合C＝{x|x>a}，A⊆C，求a的取值范围．

解：

（1）∵A＝{x|3≤x＜10}，B＝{x|2＜x≤7}，

∴借助于数轴知∁UA＝{x|x<3，或x≥10}，

∁UB＝{x|x≤2，或x＞7}．

（2）要使A⊆C，只需a<3即可．

∴a的取值范围为{a|a<3}．

8．已知集合A＝{x|2a－2

求实数a的取值范围．

解：

∵B＝{x|1

∵

∴分A＝∅和A≠∅两种情况讨论．

（1）若A＝∅，此时2a－2≥a，∴a≥2.

（2）若A≠∅，则

或

∴a≤1.

综上所述，a≤1或a≥2.

9．已知集合U＝{x|－1≤x≤2，x∈P}，A＝{x|0≤x<2，x∈P}，

B＝{x|－a

（1）若P＝R，求∁UA中最大元素m与∁UB中最小元素n的差m－n；

（2）若P＝Z，求∁AB和∁UA中所有元素之和及∁U（∁AB）．

解：

（1）由已知得∁UA＝{x|－1≤x<0，或x＝2}，

∁UB＝{x|－1≤x≤－a，或1

∴m＝2，n＝－1；

∴m－n＝2－（－1）＝3.

（2）∵P＝Z，∴U＝{x|－1≤x≤2，x∈Z}＝{－1,0,1,2}，A＝{x|0≤x<2，x∈Z}＝{0,1}，B＝{1}或{0,1}．

∴∁AB＝{0}或∁AB＝∅，即∁AB中元素之和为0.

又∁UA＝{－1,2}，其元素之和为－1＋2＝1.

故所求元素之和为0＋1＝1.

∵∁AB＝{0}，或∁AB＝∅，

∴∁U（∁AB）＝{－1,1,2}或∁U（∁AB）＝∁U∅＝U＝{

，1,2}．