奇偶性知识点的归纳与提高训练.docx

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奇偶性知识点的归纳与提高训练

奇偶性知识点的归纳与提高训练

如果对于函数f（x）定义域内的任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）叫偶函数．如果对于f（x）函数定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数．结论通俗而易懂，不知你是否看透了其中奥妙？

定义中，“f（－x）＝－f（x），（或f（－x）＝f（x））”这句话之涵义，隐含了对函数f（x）定义域M内的一切x，f（－x）也要有意义，换句话说，当x∈M时，－x也必须∈M，体现出函数的定义域M关于原点对称．从奇、偶函数图象的对称性，也体现了这一点，无此条件，函数f（x）无奇偶性可言．

一、抓住f（－x）与f（x）的关系

例1对于两个定义域关于原点对称的函数f（x）和g（ｘ），在它们的公共定义域内，下列命题正确的是（　　）

Ａ．若f（x）和g（ｘ）都是奇函数，则F（x）＝f（x）·g（ｘ）是奇函数

Ｂ．若f（x）和g（ｘ）都是偶函数，则F（x）＝f（x）·g（ｘ）是偶函数

Ｃ．若f（x）是奇函数，g（ｘ）都是偶函数，则F（x）＝f（x）·g（ｘ）是偶函数

Ｄ．若f（x）和g（ｘ）都是奇函数，则F（x）＝f（x）＋g（ｘ）不一定是奇函数

分析该题的最大特点是已经告知了函数F（x）的定义域关于原点对称，因此判定F（x）的奇偶性，只要看F（－x）与F（x）的关系即可．

解若f（x）和g（ｘ）都是偶函数，则f（－x）＝f（x），g（－x）＝g（x），于是，F（－x）＝f（－x）g（－x）＝f（x）g（x）＝F（x），又函数F（x）的定义域是函数f（x）和g（ｘ）的公共定义域，由题设可知其必关于原点对称，故知此时的函数F（x）是偶函数．故选项B正确．

跟踪练习一

1．定义在Ｒ上的任何奇函数f（x）对任意的实数ｘ，都有（　　）

A．f（x）－f（－x）＞０　B．f（x）－f（－x）＜０　C．f（x）·f（－x）＞０　D．f（x）·f（－x）≤0

2．若F（x）＝f（x）－f（－x）（ｘ∈R），则F（x）（　　）

A．一定是奇函数　B．一定是偶函数　C．既是奇函数又是偶函数　D．无法判断

二、扣紧定义域关于原点对称

例2　判断函数f（x）＝

＋

具有怎样的奇偶性？

分析函数f（x）＝

＋

＝

＋

（x≠1），若忽略了函数的定义域，由f（－x）＝

＋

＝f（x），易得出函数为偶函数的错误结论．因此，判断函数的奇偶性，应从函数的定义域入手．

解　要使函数有意义，只需

，即函数的定义域是[－1,1），不关于原点对称．换句话说，f（－1）有意义，而f

（1）却没有意义，所以函数f（x）是一个非奇非偶函数．

注：

当函数的定义域不关于原点对称时，无须再做任何工作，则否定函数既不是偶函数，也不是奇函数．

例3判断函数f（x）＝

的奇偶性

分析：

求函数的定义域乃当务之急，只有当函数的定义域关于原点对称，方可进一步考虑f（－x）与f（x）之间的关系，为实施方便，应设法将函数f（x）化简．

解　要使函数有意义，只需

即

，易求得函数的定义域为[－2,0）∪（0,2]．故知定义域关于原点对称．

由定义域的范围可知，x＋2≥0，∴f（x）＝

即f（x）＝

．

由f（－x）＝

＝－f（x），知该函数f（x）为奇函数．

注：

利用函数奇偶性的定义判断奇偶性的步骤：

第一步：

确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

第二步：

确定f（－x）与f（x）的关系；

第三步：

根据定义，作出相应的结论：

若f（－x）＝f（x），则f（x）是偶函数；若f（－x）＝－f（x），则f（x）是奇函数．

若第一步中求出的函数定义域不关于原点对称，则不需进行第二步和第三步的判断，而直接得出结论函数既不是奇函数，也不是偶函数．

跟踪练习二

1．已知f（x）=ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1,2a]，则a＝_____，b＝_____．

2．判定下列函数的奇偶性

（1）f（x）＝2x＋x3（－1≤x≤2）　　　　

（2）f（x）＝

＋

（3）f（x）＝

＋

＋2　　　（4）f（x）＝

＋

三、用活等价变形技巧

利用f（－x）＝f（x）或f（－x）＝－f（x）判定奇偶性是最基本的方法，对于比较复杂的函数，不易看出其中的关系时，则可以借助于等式的变形形式：

f（－x）±f（x）＝0或者

＝±1来判断函数的奇偶性．

例4设f（x）＝ax3－bx－1，f（－5）＝11，求f（5）的值．

分析若想通过求出a、b的值来求f（5），显然条件不够，应设法寻求f（－5）与f（5）的关系．

解法一若注意到g（x）＝ax3－bx是奇函数，g（x）＋g（－x）＝0对一切x成立，

而f（x）＋1＝g（x），即f（x）＋1为奇函数，

∴f（x）＋1＋[f（－x）＋1]＝g（x）＋g（－x）＝0对一切x成立，即f（x）＋f（－x）＋2＝0恒成立．

令x＝5，可得f（5）＋f（－5）＋2＝0，故知f（5）＝－2－f（－5）＝－13.

解法二直接考虑f（x）＋f（－x）

∵　f（x）＝ax3－bx－1,∴　f（－x）＝－ax3＋bx－1

由此可知　f（x）＋f（－x）＝－2．∴f（5）＋f（－5）＝－2，求得f（5）＝－13．

注：

有关这一类型的函数求值，应注意到所给函数由奇、偶函数两部分组成，此时，f（x）与f（－x）相加，则奇函数部分的和为零；f（x）与f（－x）相减，则偶函数部分的差为零．

例5判断函数f（x）＝

＋

的奇偶性．

分析函数的定义域是x≠0，只要考察f（－x）与f（x）的结果即可．

解法一（变形法）由2x－1≠0可知，函数的定义域是（－∞,0）∪（0,＋∞），故定义域关于原点对称．

又f（－x）＝

＋

＝（－x）（

＋

）＝（－x）（

－1＋

）

＝（－x）（

－

）＝f（x）.

∴函数f（x）为偶函数。

注：

在将f（－x）转化为f（x）的过程中，存在的一定的灵活性，尚若不能突破，不妨来换一换口味，首先，通过取特殊值，如f

（1）、f（－1）来估计，该函数是奇函数还是偶函数？

若猜测其为偶，则可将问题转化为考虑f（－x）－f（x）的结果即可。

解法二（转换法）∵f（－x）－f（x）＝

＋

－（

＋

）

＝（－x）（

＋

－

＋

）＝0

∴f（－x）＝f（x）．

注：

一般情况下，我们将要证的f（－x）＝f（x）转化为f（－x）－f（x）＝0来处理，比较方便运算，个别情况下，也可以计算出

＝1，来得到f（－x）＝f（x）．

跟踪练习三

1．若函数f（x）＝（x＋1）（x－a）为偶函数,则a等于（　　）

A．－2B．－1C．1D．2

2．已知函数g（x）＝1＋

，则g（x）（　　）

A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数，又是偶函数D．是非奇非偶函数

3．设f（x）＝ax6－bx4＋cx2＋x－1，f（－5）＝11，求f（5）的值．

4．已知函数f（x）＝（m2＋m－2）x2＋（m＋2）x＋n－2是奇函数，判断函数g（x）＝xm＋xn的奇偶性．

四、学会欣赏函数图象的对称美

奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形．利用好函数图象的对称特点，可数形结合解题．

例6已知f（x）和g（x）都是定义域为R的奇函数．

（1）若F（x）＝af（x）＋bg（x）在（0,＋∞）上有最大值4，求F（x）在（－∞,0）上的最小值；

（2）若G（x）＝af（x）＋bg（x）＋2在（0,＋∞）上有最大值4，求G（x）在（－∞,0）上的最小值．

分析注意观察F（x）＝af（x）＋bg（x）奇、偶性，然后利用函数的图象的对称性，去观察所求函数的最值．

解

（1）∵f（x）和g（x）都是R上奇函数，∴f（－x）＝－f（x），g（－x）＝－g（x），故F（－x）＝af（－x）＋bg（－x）＝－af（x）－bg（x）＝－F（x），∴F（x）为奇函数．∴F（x）的图象关于原点对称．

由F（x）＝af（x）＋bg（x）在（0,＋∞）上有最大值4，可知F（x）在（－∞,0）上有最小值－4．

（2）由

（1）可知G（x）－2＝af（x）＋bg（x）为奇函数，且在（0,＋∞）上有最大值2，

∴G（x）－2＝af（x）＋bg（x）在（－∞,0）有最小值－2，即G（x）－2＝af（x）＋bg（x）≥－2，

∴G（x）＝af（x）＋bg（x）＋2≥0，∴在G（x）在（－∞,0）有最小值0．

例7设f（x）的定义域是[－5,5]上的奇函数，若当ｘ∈[0,5]时，f（x）的图象如图1.3－9所示，求x·f（x）＜0的解集．

分析利用奇函数的图象关于原点对称，补上区间[－5,0]的图象，将已知不等式转化后，观察求解．

　　解不等式x·f（x）＜0可转化为

或

，∵f（x）的定义域是[－5,5]上的奇函数，利用奇函数的图象关于原点对称，可将函数在[0,5]上的图象补充到[－5,5]，如图1.3－10所示，由图或观察出不等式的解集为[－5,－2）∪（2,5]．

跟踪练习四

1．奇函数f（x）在区间[10,30]上是减函数，且最小值为８，则f（x）在区间[－30,－10]上是（　　）

A．增函数，且最大值是

　　B．增函数，且最小值是

C．减函数，且最大值是

　　D．减函数，且最小值是

2．函数f（x）＝

－x的图象关于（　　）

A．y轴对称B．直线y＝－x对称　　C．坐标原点对称D．直线y＝x对称

3．已知f（x）是定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）上的奇函数，在区间（0，＋∞）上单调递增，当x＞0时，f（x）的图象如图1.3－11所示：

若x·[f（x）－f（－x）]＜0，则x的取值范围是__________．

4．已知函数f（x）＝ax3＋bx＋2在（－∞,0）上有最小值－5，a、b为常数，则f（x）在（0,＋∞）上的最大值为_______．

五、利用自身优势求解析式

1．由一半求得另一半

由于奇函数、偶函数图象特有的对称关系，往往可给出解析式（或图象）的一半，让你去联想或探求它的另一半．

例8已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2－

，求当x＜0时，函数f（x）的解析式．

分析　x＞0时，有f（x）＝x2－

，面对小于0的x，法则f并不为它服务，如何是好？

注意到x＜0时，－x＞0，对“－x”而言，已经取得了适用法则“f”的资格证书．

解法一（依定义逐步求）

当x＜0时，－x＞0，由已知的函数解析表达式可得f（－x）＝（－x）2－

＝x2＋

，

又f（x）是奇函数，所以有－f（x）＝x2＋

，

∴当x＜0时，函数f（x）的解析表达式为f（x）＝－x2－

（x＜0）．

解法二（利用图象的对称性求）

设点P（x,y）（x＜0）是函数f（x）图象上的任意一点，因为函数y＝f（x）的图象关于原点成中心对称，故点P关于原点的对称点（－x,－y）必定在函数y＝f（x）的图象上，则

－y＝（－x）2－

，即y＝－x2－

（x＜0），就是f（x）＝－x2－

（x＜0）．

思考：

将函数f（x）改为偶函数呢？

如何解答？

2．由一式引出另一式

例9已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）＋g（x）＝x2＋3x＋2，求f（x）、g（x）．

分析若视f（x）、g（x）为一个未知量，那么f（x）＋g（x）＝x2＋3x＋2相当于一个二元一次方程，这就需要我们再购造出一个二元一次方程．

解∵f（x）＋g（x）＝x2＋3x＋2，……

（1）

将x换为－x，得f（－x）＋g（－x）＝x2－3x＋2

又f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴－f（x）＋g（x）＝x2－3x＋2……

（2）

将

（1）和

（2）联立，可解得f（x）＝x2＋2，g（x）＝3x．

跟踪练习五

1．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x－3，则f（－2）等于（　　）

A．1B．

C．－1D．－

2．设f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）＝x（1－x），则当x＜0时，函数f（x）的解析式为（　　）

A．x（x－1）B．x（x＋1）C．－x（x＋1）D．－x（x＋1）

3．若函数f（x）、g（x）分别为R上的奇函数、偶函数,且满足f（x）－g（x）＝ex,则有（）

A．f

（2）＜f（3）＜g（0）　B．g（0）＜f（3）＜f

（2）　C．f

（2）＜g（0）＜f（3）D．g（0）＜f

（2）＜f（3）

六、偶函数孕育了f（－x）＝f（x）＝f（|x|）

在偶函数中，f（－x）＝f（x）对于定义域内的任意一个x都成立，这也就说明，f（－x）＝f（x）＝f（|x|），运用该结论，不但可以提高解题效率，往往还可以出奇制胜．

例10若函数y＝f（x）是偶函数，当x＜0时，y时增函数，对于x1＜0，x2＞0，且|x1|＜|x2|，则（　）

A．f（－x1）＞f（－x2）　　B．f（－x1）＜f（－x2）　C．f（－x1）＝f（－x2）　D．f（－x1）≥f（－x2）　

分析函数y＝f（x）在（－∞,0）上增函数，在（0，＋∞）上是减函数，若按常规，则要在（－∞,0）上或（0，＋∞）上来考虑两个自变量的值的大小，即将|x1|＜|x2|转化为x2＞－x1＞0，得到f（x2）＜f（－x1），再得出f（－x1）＞f（－x2），其过程颇费周折．若运用上面结论，可谓是手到擒来．

解∵函数y＝f（x）是偶函数，且当x＜0时，y时增函数，故函数y＝f（x）在（0，＋∞）上是减函数，由0＜|x1|＜|x2|可知，f（|x1|）＞f（|x2|），而f（|x1|）＝f（－x1），f（|x2|）＝f（－x2），∴f（－x1）＞f（－x2），故选A．

例11已知f（x）是定义在（－1,1）上的偶函数且在[0,1）上为增函数，若f（a－2）－f（4－a2）＜0，求实数a的取值范围．

分析求a的取值范围，即要得到关于a的不等式或不等式组．

解由f（a－2）－f（4－a2）＜0得，f（a－2）＜f（4－a2），又f（x）为偶函数，故有f（|a－2|）＜f（|4－a2|），由函数f（x）在[0,1）上为增函数，依题意，得到

，即　

，亦即　

，

解此不等式组，得

且a≠2，∴a的取值范围是（

2）∪（2,

）．

跟踪练习六

1．f（x）是偶函数，且在（0,＋∞）上为增函数，则a＝f（－

），b＝f（

），c＝f（

）的大小关系是（　　）

A．b＜a＜cB．a＜c＜b　　　　C．b＜c＜aD．c＜a＜b

2．偶函数f（x）在（－∞,0）内是减函数，若f（－1）＜f（a），则实数a的取值范围是______

3．若f（x）是偶函数，当x∈[0，＋∞）时，f（x）＝（x＋1）2－4，则f（a－1）＜0的解集是__________．

4．设f（x）在R上是偶函数，在区间（－∞,0）上递增，且有f（2a2＋a＋1）＜f（3a2－2a＋1），求a的取值范围．

七、奇函数或许隐含“f（0）＝0”

奇函数f（x）若在x＝0处有意义，则有f（－0）＝－f（0），即f（0）＝0．这说明，在x＝0处有定义的奇函数必过原点，当然，对于在x＝0处没有定义的奇函数，那就要另当别论了，如f（x）＝

是奇函数，但它并不过原点，还有一点值得注意，就是过原点的函数未必是奇函数．但在可以应用“f（0）＝0”时，则会给运算带来许多便宜．

例12若f（x）＝

＋a是奇函数，则a＝________.

分析该题就在于怎么样应用奇函数的条件来求a．

解因为f（x）＝

＋a是奇函数，且定义域为R，故有f（0）＝0，即

＋a＝0，∴a＝－

．当a＝－

时，经检验函数f（x）是奇函数，∴a＝－

为所求．

注：

应用f（0）＝0的大前提是奇函数必须在x＝0有意义，若将函数换为f（x）＝

＋a，这种便宜就不存了．这时需考虑应用f（－x）＝－f（x）恒成立来求解，也可取特殊的f（－1）＝－f

（1）来求解．

例13已知f（x）＝

是奇函数，且x∈[－1,1]，试判断其单调性并证明你的结论．

分析　判断函数f（x）单调性，只有应用奇函数之条件来确定两个参数a、b后，方可顺利进行．

解因为函数f（x）是奇函数，且x＝0有意义，故知其图象必过坐标原点，即有f（0）＝0，从而可得　a＝0．

又由f（－1）＝－f

（1）得，

＝－

，解得b＝0．

此时，函数f（x）＝

，易知，该函数为奇函数．

任取－1≤x1

－

＝

＜0，

得　f（x1）＜f（x2），

∴　函数f（x）在[－1,1]上单调递增．

注：

x＝0处有定义的奇函数必过原点，但过原点的函数未必是奇函数，同样奇函数f（x）必满足f（－1）＝－f

（1），但满足f（－1）＝－f

（1）的函数也未必是奇函数，因此采用这种特殊值法的时候，回头检验后才能有说服力．

跟踪练习七

1．下列说法中正确的是（　　）

A．图象关于原点对称的函数一定是奇函数．　　B．奇函数一定是单调函数

C．奇函数的图象一定经过原点．　　　　　　　D．图象过原点的函数一定是奇函数．

2．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），则f（6）的值为（　　）

A．－1B．0C．1D．2

3．已知函数f（x）＝

－x为奇函数，则a的值为_______

阶段性目标测试七

1．已知f（x）＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，则f（x）在区间（2,5）上是（　　）

A．增函数　　　　B．减函数　　　C．有增有减　　　D．增减性不确定

2．若y＝f（x）（x∈R）是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y＝f（x）的图象上的是（　　）

A．（m,－f（m））B．（－m,－f（m））C．（－m,－f（－m））D．（m,f（－m））

3．下面四个结论：

①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④没有一个函数既是奇函数，又是偶函数．其中正确的命题个数是（　　）

A．1B．2　　　　　C．3D．4

4．已知函数f（x）在[－5,5]上是偶函数，f（x）在[0,5]上是单调函数，且f（－3）＜f

（1），则下列不等式中一定成立的是（　　）

A．f（－1）＜f（－3）B．f

（2）＜f（3）　　　C．f（－3）＜f（5）D．f（0）＞f

（1）

5．F（x）＝

·f（x）是偶函数，且f（x）不恒等于0，则f（x）　（　　）

A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数，又是偶函数D．是非奇非偶函数

6．已知f（x）＝ax7－bx＋2且f（－5）＝17，则f（5）＝________．

7．偶函数f（x）在（－∞,0）内是减函数，若f（－1）＜f（2a－1），则实数a的取值范围是______．

8．已知函数y＝f（x）（x∈R且x≠0），对任意非零实数x1，x2恒有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），试判断函数f（x）的奇偶性．

9．如果奇函数f（x）在区间[2,7]上是增函数，且最大值为10，最小值为6，那么f（x）在[－7，－2]上是增函数还是减函数？

求函数f（x）在[－7，－2]上的最大值和最小值．

10．已知函数y＝f（x）是奇函数，在（0,＋∞）内是减函数，且f（x）＜0．试问F（x）＝

在（－∞,0）内是增函数还是减函数？

并证明你的结论．

参考答案

跟踪练习一

1．D．f（x）是奇函数，则f（－x）＝－f（x），将各个选项中的f（－x）用－f（x）去替代，可知f（x）·f（－x）＝f（x）·[－f（x）]＝－f2（x）≤0．

2．A．因为x∈R，故函数F（x）的定义域关于原点对称，又F（－x）＝f（－x）－f（x）＝－[f（x）－f（－x）]＝－F（x），故知F（x）一定是奇函数．

跟踪练习二

1．a＝

，b＝0．由f（x）是偶函数可知，①定义域关于原点对称；②f（－x）＝f（x）恒成立．由2a＝－（a－1）且2a＞a－1，可知a＝

，由f（－x）＝f（x）恒成立，可得2bx＝0恒成立，∴b＝0．

2．解：

（1）函数的定义域为[－1,2]，不关于原点成中心对称，故知其既不是奇函数，也不是偶函数；

（2）函数的定义域{1}，不关于原点对称，∴该函数也是非奇非偶函数；

（3）函数的定义域为{－1,1}，－1、1关于原点成中心对称，同时又有f（－x）＝f（x），故（3）为偶函数；

（4）函数的定义域为{－1,1}，因为f（－1）＝0，f

（1）＝0，函数f（x）不仅满足f（－x）＝f（x），也满足f（－x）＝－f（x），故知此函数既是奇函数又是偶函数．

注：

函数的定义域不一定是区间的形式，也可以是一些孤立的点构成的集合，只要关于原点对称，就可由定义判断奇偶性．

跟踪练习三

1．C．由f（x）＝（x＋1）（x－a）＝x2＋（1－a）x－a，可得f（x）－f（－x）＝2（1－a）x，因为函数f（x）为偶函数，故f（x）－f（－x）＝0恒成立，故1－a＝0，∴a＝1．

2．A．因为g（x）的定义域为x≠0，关于原点对称，且g（－x）＋g（x）＝1＋

＋（1＋

）＝2＋

＋

＝2＋

＝2－2＝0，即g（－x）＝－g（x），∴g（x）是奇函数．

3．解：

注意到函数g（x）＝ax6－bx4＋cx2－1为偶函数，由g（x）－g（－x）＝0可解．

∵f（x）＝ax6－bx4＋cx2＋x－1①　　　∴f（－x）＝ax6－bx4＋cx2－x－1②

①－②，得f（x）－f（－x）＝2x，令x＝5，得f（5）－f（－5）＝2×5，又f（－5）＝11，∴f（5）＝21．

4．解：

由已知函数是奇函数可联想到，f（－x）＝－f（x）恒成立，即f（－x）＋f（x）＝0恒成立。

如此，有2（m2＋m－2）x2＋2（n－2）＝0恒成立．

，由题设可知m＋2≠0，解得

．

∴g（x）＝x＋x2．

此函数的定义域为x∈R，但g（－x）－g（x）＝－2x，g（－x）＋g（x）＝2x2，均不恒等于0，故g（－x）≠g（x），g（－x）≠－g（x），故g（x）既不是奇函数，又不是偶函数。

注：

该题隐含着条件m≠－2，若不注意，则会导至解的情况增多，同时出现错误的判断．

跟踪练习四

1．C．由奇函数的图象关于原点对称，可以观察出．

2．C　∵x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），且对定义域内每一个x，都有f（－x）＝－

＋x＝－f（x），∴该函数f（x）＝

－x是奇函数，其图象关于坐标原点对称．

3．（－3,0）∪（0,3）∵f（x）为奇函数，∴x·[f（x）－f（－x）]＝2x·f（x）＜0．又f（x）在定义域上的图象如题图，∴取值范围为（－3,0）∪（0,3）．

4．最大值9．注意到g（x）＝f（x）－2＝ax3＋bx为奇函数，且在（－∞,0）上有最小值－7，在（0,＋∞）上最大值7，故f（x）－2≤7，f（x）＝ax3＋bx＋2在（0,＋∞）上最大值为9．

跟踪练习五

1．C　∵f（x）是奇函数，∴f（－2）＝－f

（2）＝－（22－3）＝－1.

2．B．当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）＝（－x）（1＋x），又f（x）奇，∴－f（x）＝（－x）（1＋x），∴f（x）＝x（1＋x）．

3．D．用－x代换x,得f（－x）－g（－x）＝e－x,即f（x）＋g（x）＝－e－x，解得f（x）＝

，g（x）＝－

，而f（x）单调递增且大于等于0，g（0）＝－1．

跟踪练习六

1．B　∵f（x）是偶函数，∴f