高考原创押题卷三数学理试题.docx

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高考原创押题卷三数学理试题

2017年高考原创押题卷（三）

数学（理科）

时间：

120分钟　　　满分：

150分

第Ⅰ卷（选择题　共60分）

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合M＝{y|y＝x}，N＝{x|x2＋y2＝1}，则M∩N＝（　　）

A.B.

C.D．[－1，1]

2．若定义运算＝ad－bc，则满足＝－2的复数z是（　　）

A．1－iB．1＋iC．－1＋iD．－1－i

3．下列函数中，既是奇函数又零点个数最多的是（　　）

A．y＝－x3－1，x∈RB．y＝x＋，x∈R，且x≠0

C．y＝－x3－x，x∈RD．y＝－x3（x2－1），x∈R，且x≠0

图31

4．如图31所示，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底边各边长均为2，且侧棱AA1⊥平面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，则该三棱柱的侧视图的面积为（　　）

A.B．2C.D．2

5．对一个做直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据：

观测次第i

1

2

3

4

5

6

7

8

观测数据ai

40

41

43

43

44

46

47

48

在上述数据的统计分析中，一部分计算见如图32所示的程序框图（其中a是这8个观测数据的平均数），则输出S的值是（　　）

图32

A．7B．9C．11D．13

6．如果n为正奇数，那么7n＋C·7n－1＋…＋C·7被3除所得的余数为（　　）

A．0B．1C．2D．不确定

7．在平面直角坐标系内，区域M满足区域N满足则向区域M内投一点，落在区域N内的概率是（　　）

A.B.C．2－D．2－

8．已知空间四面体ABCD的体积是V，点O是该四面体内的一点，且满足＋（－1）＋sinα＋cosα＝0，其中变量α∈，则下列判断正确的是（　　）

A．VOACD的最大值为VB．VOABD和VOABC的最大值均为

C．VOABD＋VOABC的最大值为VD．VOBCD的最大值为V

9．已知方程（m－1）x2＋（3－m）y2＝（m－1）（3－m）表示焦距为8的双曲线，则m的值为（　　）

A．－30B．10C．－6或10D．－30或34

10．如果sin3θ＋sinθ≥cos3θ＋cosθ，且θ∈（0，2π），那么角θ的取值范围是（　　）

A.B.C.D.

11．已知点A在抛物线C：

x2＝2py（p>0）的准线l上，过点A向抛物线C引切线AT，切点为T，点P是抛物线C上的动点，则点P到直线l和直线AT的距离之和的最小值是（　　）

A.B.C.D.或

12．已知函数f（x）＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝（　　）

A．－2B．2C．－4D．4

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．数学家陶哲轩与林格合作证明了一个有关素数的结论：

存在任意长度的素数等差数列．例如：

数列3，5，7是包含有3个素数的公差为2的等差数列，则公差为6的素数等差数列中最小的素数是________．

14．当θ为任意角时，动直线xcosθ＋ysinθ＝1所围成区域的面积是________．

15．有同一排的电影票6张，3个教师和3个学生入座，要求师生相间，则不同的坐法种数是________．

16．设△ABC的内角A，B，C满足sinA（sinB＋sinC）＝sinBsinC，则sinA的最大值是________．

三、解答题：

本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.

（1）求数列{an}的通项公式及其前n项和；

（2）设bn＝，求证：

数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．

18．（本小题满分12分）某中学在每年的11月份都会举行“文化艺术节”，且在开幕式当天举办大型的文艺表演，同时邀请36名不同社团的社长进行才艺展示，其中有的社长是高中学生，的社长是初中学生，高中学生社长中有是高一学生，初中学生社长中有是初二学生．

（1）若校园电视台记者随机采访3名社长，求恰有1名是高一学生且至少有1名是初中学生的概率；

（2）若校园电视台记者随机采访3名初中学生社长，设初二学生人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．

19．（本小题满分12分）如图33，在直三棱柱A1B1C1ABC中，AC＝BC＝CC1＝2，且AC⊥BC，M是AB1与A1B的交点，N是线段B1C1的中点．

（1）求证：

MN⊥平面A1BC；

（2）求平面AA1B与平面A1BC所成锐二面角的正弦值．

图33

20.（本小题满分12分）已知平面内定点F（1，0），定直线l：

x＝4，P为平面内一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且||＝2||.

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）若过点F且与坐标轴不垂直的直线，交动点P的轨迹于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点R，试判断是否为定值．

21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝（2－a）（x－1）－2lnx，g（x）＝xe1－x，其中a∈R，e为自然对数的底数．

（1）若函数f（x）在上无零点，求a的最小值；

（2）若对任意给定的x0∈，在上总存在两个不同的xi（i＝1，2），使得f（xi）＝g（x0）成立，求a的取值范围．

请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．

22．（本小题满分10分）选修44：

坐标系与参数方程

已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α＝.

（1）写出直线l的参数方程；

（2）设l与曲线C：

（θ为参数）相交于A，B两点，求点P到A，B两点的距离之积．

23．（本小题满分10分）选修45：

不等式选讲

（1）设a和b是实数，求证：

|a－b|＋|a＋b|≥2|a|；

（2）若对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|（|x－1|＋|x－2|）恒成立，试求实数x的取值范围．

参考答案·数学（理科）

2017年高考原创押题卷（三）

1．D　[解析]因为M＝{y|y＝x}＝R，N＝{x|x2＋y2＝1}＝[－1，1]，所以M∩N＝[－1，1]．

2．C　[解析]依题意，得z＝－2，即（1＋i）（1－i）z＝－2，得z＝－1＋i.

3．D　[解析]显然，函数y＝－x3（x2－1）在∪上是奇函数，且零点有2个．

4．B　[解析]因为侧视图是一个矩形，两邻边的长分别为2和，所以其面积为2.

5．A　[解析]该程序框图的功能是输出这8个数据的方差，因为这8个数据的平均数a＝40＋＝44，所以，方差为＝7，故输出S的值为7.

6．B　[解析]原式＝（1＋7）n－1＝（9－1）n－1＝C·9n－C·9n－1＋…＋C·9·（－1）n－1＋（－1）n－1＝9M－2＝3（3M－1）＋1，其中M∈N*，所以余数为1.

7．A　[解析]因为区域M的面积是π，区域N的面积为sinxdx＝－cosx＝2，所以，所求概率是.

8．C　[解析]由＋（－1）＋sinα＋cosα＝0，得＝＋＋.VOACD＝V≥V，A错；VOABD＝V<（－1）V，VOABC＝V<（－1）V，B错；VOABD＋VOABC＝V＝V≤V，C正确；同理可求，VOBCD＝V≥V，D错．故选C.

9．C　[解析]依题意，双曲线的方程为＋＝1.当双曲线的焦点在x轴上时，得－＝1（m<1），由焦距为8，得（3－m）＋（1－m）＝16，m＝－6；当双曲线的焦点在y轴上时，得－＝1（m>3），由焦距为8，得（m－1）＋（m－3）＝16，m＝10.

10．B　[解析]注意到不等式sin3θ＋sinθ≥cos3θ＋cosθ的结构，构造函数f（x）＝x3＋x.显然f（x）是R上的增函数，所以由不等式f（sinθ）≥f（cosθ），得sinθ≥cosθ，又由θ∈，得≤θ≤.

11．D　[解析]依题意，易知p＝2，抛物线C的焦点为F（0，1），设切点T.y′＝x，以点T为切点的抛物线的切线方程为y－t2＝（x－t），将代入，整理得t2－3t－4＝0，解得t＝－1或t＝4，即切点坐标为或（4，4），即直线AT的方程为2x＋4y＋1＝0或2x－y－4＝0.过点F作直线AT的垂线FH，设垂足为H，当点P为线段FH与抛物线C的交点时，所求距离之和最小．因此，点P到直线l和直线AT的距离之和的最小值为＝或＝，故选D.

12．B　[解析]令g（x）＝f（x）－1＝，则g（x）有最大值M－1和最小值m－1.易知g（x）在R上为奇函数，于是M－1＋m－1＝0，即M＋m＝2.

13．5　[解析]易知满足题意的最小素数是5.

14．π　[解析]因为动直线xcosθ＋ysinθ＝1是单位圆x2＋y2＝1上任意一点（cosθ，sinθ）处的切线，所以动直线xcosθ＋ysinθ＝1所围成区域的面积为单位圆x2＋y2＝1的面积，即π.

15．72　[解析]先排3个学生有A种排法，再将2个教师插入中间两空，有A种排法，最后将剩下的1个教师安排在两边有A种排法，故不同排法的种数是AAA＝72.

16.　[解析]由题意及正弦定理，得ab＋ac＝bc，所以a＝≤＝，即≤.由余弦定理，得cosA＝≥＝1－≥1－＝，所以sinA＝≤＝.

17．解：

（1）设公差为d，由已知得

∴d＝2，2分

故an＝2n－1＋，Sn＝n（n＋）.6分

（2）证明：

由

（1）得bn＝＝n＋.

假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br（p，q，r∈N*，且互不相等）成等比数列，8分

则b＝bpbr，即（q＋）2＝（p＋）（r＋），

∴（q2－pr）＋（2q－p－r）＝0，∵p，q，r∈N*，

∴∴＝pr，即（p－r）2＝0，

∴p＝r，与p≠r矛盾，

∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．

12分

18．解：

（1）由题意得，高中学生社长有27名，其中高一学生有9名；初中学生社长有9名，其中初二学生有6名．设事件A为“采访的3名社长中，恰有1名是高一学生且至少有1名是初中学生”，

则P（A）＝＋＝.6分

（2）X的可能取值为0，1，2，3，则

P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，

P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，9分

所以X的分布列为

X

0

1

2

3

P

E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.

12分

19．解：

（1）证明：

以C为原点，分别以CC1，CB，CA所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则

A1（2，0，2），B1（2，2，0）,B（0，2，0），C1（2，0，0），

∴M（1，1，1），N（2，1，0），

∴＝（－2，2，－2），＝（0，2，0），＝（1，0，－1），3分

∴·＝－2×1＋0×2－2×＝0，

·＝0×1＋0×2＋0×＝0，

∴MN⊥A1B，MN⊥CB.又∵A1B∩CB＝B，

∴MN⊥平面A1BC.6分

（2）过C点作CH⊥AB于H点，∵平面ABC⊥平面ABB1A1，∴CH⊥平面A1BA,

故平面A1BA的一个法向量为＝（0，1，1）．

由

（1）知平面A1BC的一个法向量为＝（1，0，－1）.8分

设θ为所求两平面所成锐二面角，则

cosθ＝＝＝＝，又θ∈，

∴sinθ＝＝.11分

故平面AA1B与平面A1BC所成锐二面角的正弦值为.12分

20．解：

（1）设P（x，y），则Q（4，y），∵||＝2||，

∴2＝42，∴（4－x）2＝4[（1－x）2＋y2]，

化简整理，得＋＝1.4分

（2）依题意，可设直线AB的方程为y＝k（x－1）（k≠0），5分

联立消去y，得

（3＋4k2）x2－8k2x＋4k2－12＝0，6分

设A（x1，y1），B（x2，y2），则

x1＋x2＝，x1x2＝.8分

设AB的中点为D（x0，y0），则

x0＝＝，y0＝k（x0－1）＝.

∴线段AB的垂直平分线的方程为

y－＝－，

令y＝0，得xR＝，∴|FR|＝1－＝.10分

∵|AB|＝|x1－x2|＝·＝，

∴＝为定值.12分

21．解：

（1）因为f（x）<0在区间上恒成立不可能，

所以要使函数f（x）在上无零点，

只要对任意的x∈，f（x）>0恒成立，

即对任意的x∈，a>2－恒成立．

2分

令l（x）＝2－，x∈，

则l′（x）＝－＝，x∈，

再令m（x）＝2lnx＋－2，x∈，

则m′（x）＝－＋＝<0，

故m（x）在上为减函数，于是m（x）>m＝2－2ln2>0，

从而l′（x）>0，所以l（x）在上为增函数，

所以l（x）

所以要使a>2－在上恒成立，只要a∈[2－4ln2，＋∞），

综上，若函数f（x）在上无零点，则a的最小值为2－4ln2.5分

（2）g′（x）＝e1－x－xe1－x＝（1－x）e1－x.当x∈（0，1）时，g′（x）>0，函数g（x）单调递增；

当x∈（1，e]时，g′（x）<0，函数g（x）单调递减．又因为g（0）＝0，g

（1）＝1，g（e）＝e·e1－e>0，

所以函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1].6分

易知当a＝2时，不合题意．

当a≠2时，f′（x）＝2－a－＝＝，

当x＝时，f′（x）＝0.

由题意得，f（x）在上不单调，

故0<

此时，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：

f′（x）

－

0

＋

f（x）

极小值

又因为当x→0时，f（x）→＋∞，

f＝a－2ln，f（e）＝（2－a）（e－1）－2，

所以，若对任意给定的x0∈，在上总存在两个不同的xi（i＝1，2），

使得f（xi）＝g（x0）成立，则a满足

即9分

令h（a）＝a－2ln，a∈，

则h′（a）＝1－2[ln2－ln（2－a）]′＝1－＝，令h′（a）＝0，得a＝0，

故当a∈（－∞，0）时，h′（a）>0，函数h（a）单调递增；

当a∈时，h′（a）<0，函数h（a）单调递减．

所以，对任意a∈，有h（a）≤h（0）＝0，

即②式对任意a∈恒成立．

由③式解得a≤2－④.11分

综合①④可知，当a∈－∞，2－时，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i＝1，2），使f（xi）＝g（x0）成立.12分

22．解：

（1）直线l的参数方程为

（t为参数），即（t为参数）.4分

（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将曲线C的参数方程（θ为参数）化为普通方程得＋＝1，5分

把代入＋＝1，

得4＋9＝36，

即21t2＋4（4＋9）t－92＝0，所以t1t2＝－，

9分

则点P到A，B两点的距离之积为.10分

23．解：

（1）证明：

利用绝对值不等式，得

|a＋b|＋|a－b|≥|a＋b＋a－b|＝2|a|，

当且仅当（a＋b）（a－b）≥0时取等号.4分

（2）由题知|x－1|＋|x－2|≤恒成立，即|x－1|＋|x－2|不大于的最小值．

由

（1）知的最小值等于2，

所以x的取值范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解.7分

当x≤1时，1－x＋2－x≤2，即x≥，此时≤x≤1；

当1

当x>2时，x－1＋x－2≤2，即x≤，此时2