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15．已知圆O：
x2＋y2＝1与x轴负半轴的交点为A，P为直线3x＋4y－a＝0上一点，过P作圆O的切线，切点为T，若|PA|＝2|PT|，则a的最大值为________．
答案
解析 易知A（－1,0），设P（x，y），由|PA|＝2|PT|，可得（x＋1）2＋y2＝4（x2＋y2－1），化简得2＋y2＝，可转化为直线3x＋4y－a＝0与圆2＋y2＝有公共点，所以d＝≤，解得－≤a≤.故a的最大值为.
16．已知函数f（x）＝－2x2＋lnx（a>0），若函数f（x）在[1,2]上为单调函数，则a的取值范围是____________．
答案 ∪[1，＋∞）
解析 f′（x）＝－4x＋，
若函数f（x）在[1,2]上为单调函数，
即f′（x）＝－4x＋≥0或f′（x）＝－4x＋≤0
在[1,2]上恒成立，
即≥4x－或≤4x－在[1,2]上恒成立．
令h（x）＝4x－，则h（x）在[1,2]上单调递增，
所以≥h
（2）或≤h
（1），
即≥或≤3，
又a＞0，所以0＜a≤或a≥1.
三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足b2＋c2＝bc＋a2.
（1）求角A的大小；
（2）若等差数列{an}的公差不为零，a1cosA＝1，且a2，a4，a8成等比数列，求的前n项和Sn.
解
（1）∵b2＋c2＝bc＋a2，
∴cosA＝＝＝，
又A∈（0，π），∴A＝.
（2）设{an}的公差为d，由已知得a1＝＝2，且a＝a2a8，
∴（2＋3d）2＝（2＋d）（2＋7d）．又d不为零，∴d＝2，
∴an＝2n，
∴＝＝－，
∴Sn＝＋＋…＋
＝1－＝.
18．（12分）为选拔选手参加“全市高中数学竞赛”，某中学举行了一次“数学竞赛”活动，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60），[90,100]的数据）．
（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；
（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“全市高中数学竞赛”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率．
解
（1）由题意可知，样本容量n＝＝50，
y＝＝0.004，x＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030.
（2）由题意可知，分数在[80,90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90,100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2.抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：
（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．
其中2名同学的分数都不在[90,100]内的情况有10种，分别为：
（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a3，a4），（a3，a5），（a4，a5）．
∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率P＝1－＝.
19．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB＝2AD＝2，PD＝BD＝AD，且PD⊥底面ABCD.
（1）证明：
BC⊥平面PBD；
（2）若Q为PC的中点，求三棱锥A－PBQ的体积．
（1）证明 ∵AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD，
∵AD∥BC，∴BC⊥BD.
又∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC.
∵PD∩BD＝D，PD，BD⊂平面PBD，
∴BC⊥平面PBD.
（2）解 三棱锥A－PBQ的体积VA－PBQ与三棱锥A－QBC的体积相等，
而VA－QBC＝VQ－ABC＝VP－ABC＝VP－ABCD＝××1××＝.
∴三棱锥A－PBQ的体积VA－PBQ＝.
20．（12分）已知椭圆C1：
＋＝1（a>b>0）和椭圆C2：
＋y2＝1的离心率相同，且点（，1）在椭圆C1上．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设P为椭圆C2上一点，过点P作直线交椭圆C1于A，C两点，且P恰为弦AC的中点，则当点P变化时，试问△AOC的面积是否为常数，若是，请求出此常数，若不是，请说明理由．
解
（1）由题知，＋＝1，且＝，即a2＝4，b2＝2，
椭圆C1的方程为＋＝1.
（2）是． ①当直线AC的斜率不存在时，必有P（±，0），此时|AC|＝2，S△AOC＝.
②当直线AC的斜率存在时，设其斜率为k，点P（x0，y0），则AC：
y－y0＝k（x－x0），直线AC与椭圆C1联立，得（1＋2k2）x2＋4k（y0－kx0）x＋2（y0－kx0）2－4＝0，设A（x1，y1），C（x2，y2），
则x0＝＝－，即x0＝－2ky0，
又x＋2y＝2，∴y＝，
S△AOC＝××·
＝
＝
＝|y0|＝.
综上，△AOC的面积为常数.
21．（12分）已知函数f（x）＝lnx＋ax，a∈R.
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）的两个零点为x1，x2，且≥e2，求证：
（x1－x2）f′（x1＋x2）>.
（1）解 函数f（x）＝lnx＋ax，a∈R的定义域为{x|x>0}，f′（x）＝＋a，
①当a≥0时，f′（x）>0，∴f（x）在（0，＋∞）上单调递增；
②当a<0时，令f′（x）＝＋a>0,0令f′（x）＝＋a<0，x>－，∴f（x）在上单调递减．
（2）证明 ∵lnx1＋ax1＝0，lnx2＋ax2＝0，
∴lnx2－lnx1＝a（x1－x2），
（x1－x2）f′（x1＋x2）＝（x1－x2）·＝＋a（x1－x2）
＝＋ln＝＋ln，
令＝t（t≥e2），令φ（t）＝＋lnt，则φ′（t）＝>0，
∴φ（t）在[e2，＋∞）上单调递增，φ（t）≥φ（e2）＝1＋>1＋＝.
请在第22～23题中任选一题作答．
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l的参数方程是（t为参数，0≤α<π）．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于两点A，B，且线段AB的中点为M（2,2），求α.
解
（1）曲线C：
ρ＝，即ρsin2θ＝4cosθ，
于是有ρ2sin2θ＝4ρcosθ，
化为直角坐标方程为y2＝4x.
（2）方法一 ⇒（2＋tsinα）2＝4（2＋tcosα），
即t2sin2α＋（4sinα－4cosα）t－4＝0.
由AB的中点为M（2,2），得t1＋t2＝0，有4sinα－4cosα＝0，所以k＝tanα＝1，
由0≤α<π得α＝.
方法二 设A（x1，y1），B（x2，y2），则
⇒（y1＋y2）（y1－y2）＝4（x1－x2），
∵y1＋y2＝4，∴k＝tanα＝＝1，
由0≤α<π得α＝.
方法三 设A，B（y1则由M（2,2）是AB的中点，得
⇒
∵y1∴k＝tanα＝1，由0≤α<π得α＝.
方法四 依题意设直线l：
y－2＝k（x－2），与y2＝4x联立得y－2＝k，
即ky2－4y－8k＋8＝0.
由y1＋y2＝＝4，得k＝tanα＝1，
因为0≤α<π，所以α＝.
23．（10分）已知函数f（x）＝m－|x＋4|（m>0），且f（x－2）≥0的解集为[－3，－1]．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c都是正实数，且＋＋＝m，求证：
a＋2b＋3c≥9.
（1）解 依题意f（x－2）＝m－|x＋2|≥0，即|x＋2|≤m⇔－m－2≤x≤－2＋m，
∴m＝1.
（2）证明 ∵＋＋＝1（a，b，c>0），
∴a＋2b＋3c＝（a＋2b＋3c）
＝3＋＋＋≥9，
当且仅当a＝2b＝3c，即a＝3，b＝，c＝1时取等号．
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