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力力学学作业：

作业：

习题二：

1、7、13习题三：

习题三：

9第三章第三章力学定理和守恒定律力学定理和守恒定律3.1动量和冲量，动量定理动量和冲量，动量定理3.2质点组的动量定理和动量守恒定律质点组的动量定理和动量守恒定律3.3质点的角动量质点的角动量3.4角动量定理和角动量守恒定律角动量定理和角动量守恒定律目录：

3.1动量和冲量动量和冲量动量定理动量定理1、动量（描述质点运动状态，矢量）、动量（描述质点运动状态，矢量）大小大小：

mv方向：

速度的方向方向：

速度的方向单位：

单位：

kgm/s量纲：

量纲：

MLT12、冲量冲量（力的作用对时间的积累，矢量）（力的作用对时间的积累，矢量）大小：

大小：

方向：

速度变化的方向方向：

速度变化的方向单位：

单位：

Ns量纲：

量纲：

MLT1定义：

定义：

3、动量定理：

（将力的作用过程与效果、动量定理：

（将力的作用过程与效果动动量变化量变化联系在一起）联系在一起）质点所受合外力的冲量，等于该质点动量质点所受合外力的冲量，等于该质点动量的增量的增量。

这个结论称为质点的这个结论称为质点的动量定理动量定理。

注意：

动量为状态量，冲量为过程量。

F为恒力时，可以得出为恒力时，可以得出IFtF作用时间很短时，可用力的平均值来代替。

作用时间很短时，可用力的平均值来代替。

动量定理可写成分量式，即：

动量定理的本质是牛顿第二定律的另一种写动量定理的本质是牛顿第二定律的另一种写法，它更适合于处理冲击、碰撞、爆炸一类法，它更适合于处理冲击、碰撞、爆炸一类的力学问题。

的力学问题。

例例1、质量为、质量为2.5g的乒乓球以的乒乓球以10m/s的速率飞来，被板推的速率飞来，被板推挡后，又以挡后，又以20m/s的速率飞的速率飞出。

设两速度在垂直于板面出。

设两速度在垂直于板面的同一平面内，且它们与板的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别为面法线的夹角分别为45o和和30o，求：

（求：

（1）乒乓球得到）乒乓球得到的冲量；（的冲量；

（2）若撞击时间）若撞击时间为为0.01s，求板施于球的平均求板施于球的平均冲力的大小和方向。

冲力的大小和方向。

45o30onv2v145o30onv2v1Oxy解：

取挡板和球为研究对象，解：

取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力由于作用时间很短，忽略重力影响。

设挡板对球的冲力为影响。

设挡板对球的冲力为则有：

则有：

取坐标系，将上式投影，有：

为为I与与x方向的夹角。

方向的夹角。

同样为平均冲力与同样为平均冲力与x轴方向的夹角。

轴方向的夹角。

例例2、一质量均匀分布一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上，触到水平桌面上，如如果把绳的上端放开果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。

试绳将落在桌面上。

试证明：

在绳下落的过证明：

在绳下落的过程中，任意时刻作用程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重已落到桌面上的绳重量的三倍。

量的三倍。

ox证明：

取如图坐标，设证明：

取如图坐标，设t时刻时刻已有已有x长的柔绳落至桌面，随长的柔绳落至桌面，随后的后的dt时间内将有质量为时间内将有质量为dx（Mdx/L）的柔绳以的柔绳以dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率为：

的动量变化率为：

一维运动可用一维运动可用标量标量ox为为绳子的绳子的线密度线密度根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：

根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：

柔绳对桌面的冲力柔绳对桌面的冲力FF即：

即：

而已落到桌面上的柔绳的重量为而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L所以所以F总总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg3.2质点组的动量定理、动量守恒定律质点组的动量定理、动量守恒定律1、质点组的动量定理、质点组的动量定理质点系（内力、外力）质点系（内力、外力）两个质点的系统两个质点的系统n个质点的系统个质点的系统以以F和和P表示系统的表示系统的合外力合外力和总动量，上式和总动量，上式可写为：

可写为：

质点组的动量定理：

积分形式积分形式微分形式微分形式由于内力总是成对出现的，所以矢量和为零。

由于内力总是成对出现的，所以矢量和为零。

所以：

质点组质点组总动量总动量的增量的增量等于合等于合外力的外力的冲量冲量2、动量守恒定律、动量守恒定律一个质点组所受的合外力为零时，这一一个质点组所受的合外力为零时，这一质点组的总动量就保持不变质点组的总动量就保持不变-质点组质点组的动量定律的动量定律质点组动量定理质点组动量定理注意：

注意：

1、系统动量守恒，但每个质点的动量可能、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。

变化。

2、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，往往可忽略外力。

的过程中，往往可忽略外力。

3、动量守恒可在某一方向上成立。

、动量守恒可在某一方向上成立。

4、定律中的速度应是对同一惯性系的速度，、定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动量和应是同一时刻的动量之和。

动量和应是同一时刻的动量之和。

5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。

、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。

6、动量守恒定律只适用于惯性系。

、动量守恒定律只适用于惯性系。

例例3、如图所示，光滑水平面上有大小相同的、如图所示，光滑水平面上有大小相同的A、B两球，质量分别为两球，质量分别为m1、m2。

开始时开始时B球静止，球静止，A球沿两球连心线方向以速度球沿两球连心线方向以速度v0向向B球运动并发生碰撞。

已知两球在形变恢复球运动并发生碰撞。

已知两球在形变恢复阶段的相互作用冲量是其在形变压缩阶段阶段的相互作用冲量是其在形变压缩阶段相互作用冲量的相互作用冲量的k（k1）倍，求倍，求:

ABv01）两球形变最大时的各球速度两球形变最大时的各球速度v1、v2;2）碰撞后各球的球速碰撞后各球的球速v1、v2；3）分析分析k值对碰撞的影响。

值对碰撞的影响。

P46解：

对于解：

对于A球，球，得到：

得到：

根据动量守恒定理，有根据动量守恒定理，有对于对于B球同样可以得到球同样可以得到形变最大时形变最大时ABv0求解上述方程可得：

求解上述方程可得：

讨论讨论:

0k1-k恢复系恢复系数数

（1）k=1时，完全弹性碰撞时，完全弹性碰撞

（2）k=0时，完全非弹性碰撞时，完全非弹性碰撞（3）0k1时，非完全弹性碰撞时，非完全弹性碰撞例例4、一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点、一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点h19.6m处炸裂成质量相等的两块。

其中一块在处炸裂成质量相等的两块。

其中一块在爆炸后爆炸后1秒钟落到爆炸点正下方的地面上，设此秒钟落到爆炸点正下方的地面上，设此处与发射点的距离处与发射点的距离S11000米米,试试求求另一块的落另一块的落地距离。

（空气阻力不计，地距离。

（空气阻力不计，g=9.8m/s2）解：

知第一块方向竖直向下解：

知第一块方向竖直向下v2yhxv1爆炸中系统动量守恒爆炸中系统动量守恒v2yhxv1第二块作斜抛运动第二块作斜抛运动落地时，落地时，y2=0所以所以t2=4st21s（舍去）舍去）x2=5000mmv1/2mv2/2mvxv2yhxv13.3质点的角动量质点的角动量大小：

大小：

Lrmvsin方向：

方向：

右手螺旋定则判定右手螺旋定则判定单位：

单位：

kgm2/s量纲：

量纲：

ML2T-1注意：

作圆周运动的注意：

作圆周运动的质点的角动量质点的角动量Lmrv为为位矢与速度位矢与速度或动量间的夹角或动量间的夹角morPLPLro注意：

注意：

根据角动量的定义，角动量是一个矢量，角根据角动量的定义，角动量是一个矢量，角动量的计算与参考点动量的计算与参考点（定点定点）的选择密切相关。

的选择密切相关。

在在特定的坐标系下，它可以用分量的形式表示特定的坐标系下，它可以用分量的形式表示出来，如在直角坐标系中：

出来，如在直角坐标系中：

而：

例例1、一质量为一质量为m的质点沿着一条空间曲线的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标下的矢径为：

运动，该曲线在直角坐标下的矢径为：

其中其中a、b、皆为常数，求该质点对原点皆为常数，求该质点对原点的角动量。

的角动量。

O解：

已知解：

已知注意：

注意：

O角动量定义：

角动量定义：

3.4角动量定理和角动量守恒定律角动量定理和角动量守恒定律1、角动量定理、角动量定理令：

令：

为合外力对同一固定点的力矩为合外力对同一固定点的力矩大小：

大小：

MrFsin（为矢径与力之间的夹为矢径与力之间的夹角角）morFM方向：

右手螺旋定则方向：

右手螺旋定则单位：

单位：

mN量纲：

量纲：

ML2T-2质点角动量定理质点角动量定理：

质点所受的合外力矩等于它质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。

的角动量对时间的变化率。

2、角动量守恒定律、角动量守恒定律rLv如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则此点对该固定点的角动量矢量保持不变。

则此点对该固定点的角动量矢量保持不变。

注意：

1、这也是自然界普遍适用的一条基本、这也是自然界普遍适用的一条基本规律。

规律。

2、M00，可以是可以是r=0,0,也可以是也可以是F=0,=0,还还可能是可能是r与与F同向或反向，例如有心力情况。

同向或反向，例如有心力情况。

例例2、如图所示，有一圆锥摆，、如图所示，有一圆锥摆，摆球质量为摆球质量为m，速度为速度为v，摆球摆球的圆轨迹的半径为的圆轨迹的半径为R，摆线与摆线与垂直方向间的夹角为垂直方向间的夹角为。

试求。

试求

（1）此刻摆相对悬点）此刻摆相对悬点A和圆心和圆心O的角动量的角动量LA和和L0；

（2）绳子作绳子作用于摆球的张力用于摆球的张力T对对O点的力矩点的力矩Mt及摆球所受重力对及摆球所受重力对A点的力点的力矩矩Mmg。

（P.51）ArAL0LAmOr0mgTArAL0LAmOr0mgT解解：

（1）大小为：

大小为：

方向方向：

垂直于垂直于构成的平面构成的平面大小：

大小：

Rmv方向：

竖直向上方向：

竖直向上

（2）大小：

大小：

方向：

竖直纸面向里方向：

竖直纸面向里大小：

大小：

方向：

竖直纸面向外方向：

竖直纸面向外TmgYXL03、质点组角动量守恒定律、质点组角动量守恒定律对于由对于由n个质点组成的质点组，如果第个质点组成的质点组，如果第i个质点个质点对惯性系中同一个定点对惯性系中同一个定点O的角动量为：

的角动量为：

整个质点组的总角动量可以表示为：

ij对任意一个质点，遵从角动量定理：

对任意一个质点，遵从角动量定理：

对于整个质点组，有：

可以证明：

所以所以质点组合外力矩质点组合外力矩质点组合角动量质点组合角动量质点组角动量定理质点组角动量定理-质点组所受的合外力质点组所受的合外力矩矩等于质点组总角动量对时间的变化率等于质点组总角动量对时间的变化率如果：

如果：

则则质点组的角动量恒定不变质点组的角动量恒定不变-质点组角动量守恒质点组角动量守恒

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