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数学建模论文饮酒驾车模型
饮酒驾车模型
摘要
交通事故是目前危害人类生命的第一杀手,而酒后驾车已经成为引发交通事故的重要原因之一,并日益凸现为社会问题,因此必须加强有效防控,以保障交通安全和秩序.
长期以来,我国酒后驾车现象一直处于较快增长的态势,由酒后驾车引发的交通事故屡见不鲜,酒后驾车成为备受社会关注的热点问题.本文主要讨论了在两种饮酒方式下血液中酒精含量如何变化的问题.通过建立了胃、肠和体液里酒精浓度的微分方程，综合分析了饮酒量、饮酒方式和饮酒者质量三个因素对安全驾车的影响.
针对饮酒方式的不同，本文将饮酒过程分成快速饮酒、某时间段内匀速饮酒和多次饮酒三种形式来讨论.并分别建立了快速饮酒、匀速饮酒和多次饮酒系统动力学模型，并运用非线性最小二乘法进行数据拟合得到相关参数,从而得到了血液中酒精含量与时间的函数关系（见图二）。
并结合模型Ⅰ，运用MATLAB工具得到了快速饮用三瓶啤酒时的违规时间分布（见图三）.进而推广到快速饮用不同量的啤酒的违规时间分布图（见图四）.最后对相关问题进行了解答,结果表明,模型是合理和有效的.另外，本文在模型分析中具体的解释了大李所遇到的问题（详见模型分析）.并给想喝一点酒的司机在驾车方面提出了相应的建议和指导.
关键词最小二乘法房室模型动力学模型matlab软件拟合曲线
6.3估计血液中酒精含量在何时最高................................................................................................13
6.4天天喝酒，能否开车....................................................................................................................14
6.5给司机的忠告................................................................................................................................15
七、模型评价.................................................................................................................................................16
八、模型推广.................................................................................................................................................17
九、参考文献.................................................................................................................................................17
十、附录..........................................................................................................................................................17
一、问题重述
据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例.
针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）.
大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
并进一步分析快速或匀速饮3瓶啤酒在多长时间内驾车就会违反新标准，估计血液中的酒精含量在什么时间最高，如果某人天天喝酒，是否还能开车等问题.并根据所做出的结果，结合新国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告.
二、问题分析
根据生物学知识可得，酒精进入机体后，同药物一样，作用于机体而影响某些器官组织的功能；另一方面酒精在机体的影响下，可以发生一系列的运动和体内过程：
自用药部位被吸收进入血液循环；然后分布于各器官组织、组织间隙或细胞内；有部分酒精则在血浆、组织中与蛋白质结合；或在各组织（主要是肝脏）发生化学反应而被代谢；最后，酒精可通过各种途径离开机体（排泄）；即吸收、分布、代谢和排泄过程。
它们可归纳为两大方面：
一是酒精在体内位置的变化，即酒精的转运，如吸收、分布、排泄；二是酒精的化学结构的改变，即酒精的转化亦即狭义的代谢。
由于转运和转化以致形成酒精在体内的量或浓度（血浆内、组织内）的变化，而且这一变化可随时间推移而发生动态变化.
另外，根据生物学知识还知道酒精主要由胃、肠吸收，随后进入血液并随血液输送至体内各组织器官内，最后在肝脏中进行代谢.在此，可将胃、肠简化为吸收室，将肝脏简化为分解室。
然而，酒精进入人体后，经一段时间进入血液，当在血液中达最高浓度时，随后便开始消除，把酒精在体内的代谢过程看为进与出的过程，这样便会使问题得到简化.但不同的饮酒方式对血液中酒精浓度的变化有不同的影响，所以，要从不同的饮酒方式进行考虑，从而设置相应的变量，建立模型.
三、模型假设
为了建立饮酒与安全驾车问题的数学模型，做出以下假设：
（1）确定是否饮酒驾车或醉酒驾车以新的国家标准为界（国家标准《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》规定：
车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／100毫升，小于80毫克／100毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克／100毫升为醉酒驾车）.
（2）酒精进入人体后经胃、肠吸收进入体液（含血液），然后随血液循环至肝脏分解.
（3）酒精在血液和其他体液中的含量相等，体液密度是常数.
（4）每个人的胃、肠吸收酒精速率和肝脏分解酒精的速率是常数.
（5）酒精从胃、肠渗透入血液的速率和酒精在肝脏中分解的速率都与酒精质量浓度成正比.
（6）酒精进入人体内所占体积可忽略不计.
（7）在短时间内喝酒不计喝酒时间，在较长一段时间内喝酒被视为在这段时间内以恒定的速率连续喝酒的过程.
（8）体液占人体质量的68%，血液占人体质量的7%.
（9）忽略如下因素：
口腔黏膜对酒精的吸收，通过呼吸、出汗、尿液排出的酒精，其他药物对酒精的影响等.
（10）人的吸收速度与代谢速率是恒定的且体重为定值70kg.
（11）在整体过程中没有摄入任何影响代谢的药类物质和剧烈性运动.
（12）大李用完晚餐在七点左右.
四、符号说明
本文所用到的符号如下表：
表一
序号
符号
说明
吸收室中酒精浓度
血液中酒精浓度
血液中酒精浓度的增加速率与
的比例系数
血液中酒精浓度的减少速率与
的比例系数
吸收室中酒精浓度的减少速率与
的比例系数
人体的质量
体液体积
进入人体的酒精质量
喝的啤酒瓶数
时间
多次饮酒的周期
多次饮酒时，每次饮酒的量
慢速饮酒所需时间
五、模型建立与求解
根据已知知识可得，酒精主要由胃、肠吸收，随后进入血液并随血液输送至体内各组织器官内，最后在肝脏中进行代谢.现将胃、肠简化为吸收室，将肝脏简化为分解室，忽略干扰因素，可得酒精的吸收和输送流程示意图（图一）：
图一：
酒精的吸收和输送流程示意图
图一中的
（mg/（100mL））和
（mg/（100mL））分别表示t时刻酒精在吸收室和血液中的浓度.
5.1快速饮酒模型
在该模型中，假设酒是在短时间内喝下去的.在此方式下，吸收室中酒精质量浓度的变化率和
成正比关系，比例系数为
，可得微分方程：
血液中酒精质量浓度的变化率为
，
于是可得微分方程：
综上所述，得到快速饮酒的微分方程模型：
对模型进行求解得：
通过Matlab软件对数据进行拟合，求的：
根据假设，得知：
为体液密度（mg/（100mL））,且为一常数。
从相关的资料中可以得知：
酒精的密度为0.8毫克／毫升，啤酒中酒精占3．3％到5％，可以取4．15％为计算标准，每瓶啤酒650毫升．可以得到某人喝下一瓶啤酒时，总的酒精量为650×4．15％×0．8=2158．0毫克.
，得
，
将上面的数据带入后的到新的方程组：
由上式可以得出，在短时间内喝酒的方式下，血液中的酒精质量浓度与喝入的酒精量m成正比，与人体质量M成反比，并随时间t变化.
根据已知数据和求得的函数，使用Matlab软件进行拟合，绘制出在短时间内喝下两瓶酒后，人体血液中酒精浓度随时间的变化关系图（如图二）：
/mg/100ml
图二：
血液中酒精随时间的变化关系t/h
从图像中可以判断出：
在饮酒后0-9.5小时内为饮酒驾车；在饮酒后9.5以后则为正常情况.
5.2慢速饮酒模型
在该模型中，假设酒是在较长一段时间
内喝下去的.在此方式下分析如下:
5.2.10≤t≤
（喝酒持续时间），
吸收室中酒精质量浓度的变化率仍与酒精进入吸收室的速率有关.根据假设，酒精进入吸收室的速率为
吸收室中酒精质量浓度的变化率由
和
组成.
可得微分方程：
血液中酒精质量浓度的变化率仍由
和−
组成，
因此的微分方程：
综上所述，得到慢速饮酒的微分方程模型：
对模型进行求解得：
将已经求得的数据带入上式后的到新的方程组：
5.2.2t≥
时（喝完酒后）
吸收室中酒精质量浓度的变化率和
成正比关系，比例系数为
，可得微分方程：
血液中酒精质量浓度的变化率为
于是可得微分方程：
综上所述，得到快速饮酒的微分方程模型：
对模型进行求解得：
将已经求
的数据带入上式后的到新的方程组
由上面
（1）式和
（2）式可以看出，在用慢速喝酒的方式下，血液中的酒精质量浓度与喝入的酒精量m成正比，与人体质量M和喝酒所用时间
成反比，并随着时间t变化.
在此，根据已知的数据和上面求得的函数，使用Matlab软件绘制出在两个小时内匀速的喝下三瓶酒后，人体内酒精浓度随时间的变化图（如图三）：
图三：
两小时匀速饮酒后血液中酒精含量随时间变化图
从图像中可得：
在饮酒后2—4.5小时内为醉酒驾车；在饮酒后4.5---12小时为饮酒驾车.
5.3多次饮酒模型
在此模型中，假设多次饮酒的周期为
，每次饮酒量均相同为
.在每个周期内，吸收室中酒精质量浓度的变化率和
成正比关系，比例系数为
，可得微分方程：
血液中酒精质量浓度的变化率为
于是可得微分方程：
对于每个周期，
的变化率和
的变化率均满足以上的微分方程.
综上所述，得到多次饮酒的微分方程模型：
对模型进行求解得：
其中
和
是解微分方程中的参数.
在所求得的结果中：
（1）当n=1时
（2）当n>1时
解出通解中的参数为：
图四：
多次饮酒血液中酒精浓度示意图
由图四可得：
在多次饮酒过程中，每个饮酒周期结束时，体内酒精浓度下降，而在下一个饮酒周期开始时，血液中酒精浓度呈上升趋势，这是由于吸收室中酒精浓度突然上升造成的.
六、模型分析
根据本文所建立的模型，下面将会分析并说明实际中遇到的一些问题;
6.1解释题目中大李遇到的问题
用5.1快速饮酒模型进行解释：
从中午12点到下午6点，
T=6时，
=1451.598371mg/（100mL）
由于在下午6点未测出酒精含量超标，则
<20mg/（100mL），由此可以估计大李的质量m>67.697kg.之后，设大李再次饮酒的时间为晚上
时刻.由于此时大李的吸收室和血液中含有残留的酒精.所以，当t
时，大李喝酒满足的微分方程为：
将已经求
的数据带入上式后得：
根据上式可得
，与大李在凌晨2点被测出饮酒驾车完全符合.
6.2喝了三瓶酒或半斤低度白酒后多久才能驾车
（1）快速饮酒状况下：
由5.1的模型可知：
已知喝了三瓶酒，则n=3，所以有：
设在
时刻刚好违反标准，之后，人体血液中酒精浓度先上升后下降.在
时刻，刚好符合标准:
由于刚饮完酒从
到
时刻，司机不会去驾车，并且
很小，故在
时间内，司机违反标准，得到的数据结果如下（见表二）
表二：
快速饮酒时司机质量与恢复安全驾车时间关系表
M/kg
50
60
70
80
90
100
13.6225
12.7179
11.8987
10.7688
10.5339
9.8639
由表可以看出，在短时间内喝相同量的酒的情况下，质量越大的人，恢复驾车的时间越短，血液中酒精的浓度相对越低.
（2）慢速饮酒状况下：
由5.2的模型（假设在两个小时内喝完）可知：
设在
时刻刚好违反标准，之后，人体血液中酒精浓度先上升后下降。
在
时刻，刚好符合标准:
由于刚饮完酒从
到
时刻，司机不会去驾车，并且
很小，故在
时间内，司机违反标准，取m为50,60,70,80,90,100，得到的,结果如下（见表三）：
表三：
慢速饮酒的司机身体质量与恢复驾车时间关系表
M/kg
50
60
70
80
90
100
13.6225
12.7179
11.8987
10.7688
10.5339
9.8639
观察表三，发现其与表一揭示的规律完全吻合.另外，通过比较可得到新的结论：
喝酒时间越长，恢复驾车的时间越短.请司机朋友们不要误以为喝酒越快，恢复驾车的时间就越短.
6.3估计血液中酒精含量在何时最高
（1）快速饮酒状况下：
由5.1的模型可知：
由图一可知，在
一定时，
的变化趋势是先上升后下降.
根据数学知识，求
：
并令
，即可求出
，血液中酒精的含量在
时刻最高.
取n=3,M分别为50,60,70,80,90,100得表四：
表四：
快速饮酒时司机身体质量与血液中酒精最高含量关系表
m/kg
50
60
70
80
90
100
1.30693
1.30693
1.30693
1.30693
1.30693
1.30693
171.152
142.627
122.252
106.97
95.0845
85.5761
从表四中可以看出，在短时间内喝入等量酒的情况下，质量越大的人，血液中酒精质量浓度越低，最大浓度也相对越低.不同质量的人的血液中酒精质量浓度达到最大值都是在
.说明在快速饮酒方式下，血液中酒精质量浓度达到最大值的时间是由体内酒精质量浓度决定的.
（2）慢速饮酒状况下：
由5.2的模型（假设在两个小时内喝完）可知：
采用上述同样的方法，当n=3,M为50,60,70,80,90,100，得表五：
表五：
慢速饮酒时质量与血液中酒精最高含量关系表
m/kg
50
60
70
80
90
100
2.37026
2.37026
2.37026
2.37026
2.37026
2.37026
150.702
125.585
107.645
94.189
83.7235
75.3512
由表四和表五比较得出：
喝酒时间越长，血液中酒精的质量浓度的最小值越小，达到最大值所用时间越长.
6.4天天喝酒，能否开车
在此，假设每天都在同一时间饮酒.考虑到问题的普遍性，假设喝酒人的身体质量为M=70kg。
在
=1h内喝了n瓶啤酒，且每天只喝一次.
根据5.2可得：
显然，恢复驾车的等待时间t与n有关，恢复驾车时，分别取n=0.5,1,1.5,2,2.5,3得到n取不同值时，血液中酒精浓度的变化曲线由图五给出，恢复驾车的所需时间由表五给出.
表六：
不同饮酒量与血液中酒精浓度变化关系表
n/瓶
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t/h
0
4.57604
6.22196
7.4386
8.41165
9.22552
图五：
不同饮酒量与血液中酒精浓度变化关系图
从图五中可以看出，在t=14h时，血液中酒精含量已经很低（≤7.30166mg/mL），对第2天同一时刻喝酒基本没有影响，这说明驾车人可以每天都喝酒.从表五中可以看出，喝半瓶啤酒不影响开车，如果喝酒5h后需要开车，只能喝1瓶，10h后开车，则可以喝3瓶.这对于司机具有非常现实的指导意义.
6.5给司机的忠告
致广大的司机朋友们的一封信
司机朋友们适量饮酒可以促进血液循环，对身体有一定的好处，但是过量饮酒则会不仅对身体造成危害，还给社会带来不安全隐患.所以对于喜欢饮酒的司机朋友们，饮酒量和时间关系控制是驾车必不可少的条件，让体内的酒精浓度在符合国家标准情况下安全驾驶.
随着社会的进步，经济的发展，人们的生活条件也越来越富裕.不仅追求生活质量的提高，而且越来越关注身体的健康和保养.酒是餐桌上必不可少的一件物品.它与人们的日常生活息息相关.人在饮酒之后，酒对人脑的作用与人体血液中酒精浓度有着密切的关系，它将影响人体思想、行为，少喝固然能促进消化，有益身心健康.但是，多喝的后果是不堪设想的：
伤及他人，对人体大脑造成伤害，更可怕的是在交通事故中它所扮演的恶性角色。
据统计，酒后驾车发生事故的比率为没有饮酒情况下的16倍，几率高达27％.由此可以看出，合理饮酒至关重要.
在此，给想要饮酒驾车的司机提出一些建议和忠告：
（1）为了自身的健康，要安全饮酒。
安全性饮纯酒量每日为50ml以内，有害量是每日100ml，危险量是每日150ml以上.
（2）如果司机想每天即饮酒又驾车，而又不违规，请司机一定要记住每天涉入的酒精量不要超过20000毫克.
（3）一次性饮酒的酒精量越大，到达标时的时间会越长，所以司机等待时间的长短应根据饮酒量的多少而定。
比如说一次饮一瓶啤酒，大约6个小时后酒精含量就可达标；一次性喝2瓶啤酒，大概要等9.5小时后才能达标；而一次性喝3瓶啤酒，则大概要等12小时后才能达标.
（4）连续饮酒次数越多，每次间隔时间应越长.以司机大李为例，第一次饮啤酒一瓶，过六个小时达标，但第二次饮同样多的酒，同样再过六个，酒精含量增加到27毫克/百毫升，要使第二次饮酒后，不超标，则至少应在7.5小时后再驾车.
当然，司机为了自身及他人的生命安全，应该尽量少饮酒，并在饮酒后较短的时间内，尽量避免驾车.在现代生活中，生活节奏日益紧张，想得到一份精神的解脱和轻松，小酌一杯，倒也无妨.切记凡是要有个度.
七、模型评价
本文建立的模型具有以下三个优点和四个不足的地方.
7.1模型的优点
（1）.本模型从三种情况分别建立模型，模型稳定性高，适用性强。
模型简单明了，易于理解，给实际生活带来便利.
（2）.运用MATLAB软件，准确求解，在运用MATLAB进行数据拟合时，得到了较理想化的曲线。
在表示喝三瓶啤酒的人什么时候是饮酒驾车，什么时候是醉酒驾车时，运用MATLAB准确的做出了函数据图像，使结果一目了然.
（3）.本模型计算步骤清晰，从问题出发，分析了应该考虑的各种情况，建立了一般的数学模型，并进行实例验证，从而证明我们建立的数学模型可以较好的解决实际问题，可靠性较高.
7.2模型的缺点
（1）.由于模型参数仅是依靠题中给出的一组数据拟合求解得出，可能有偏差.
（2）.模型为使计算简便，使所得的结果更理想化，忽略了一些次要的因素.如：
酒进入身体后随着血液流动，人体对酒精的吸收率是随时间变化的，而本模型是在吸收率恒定的情况下，进行求解的.对于这些问题，由于时间关系本模型还未能更好的研究，有待以后的改进和完善.
（3）.在建立模型中忽略了很多会影响酒精浓度的因素，比如没有考虑到每个人自身的体质酒精在体内散发速度也不同，所以解答出的结果具有普遍性，对某些司机可能不适用.
（4）.如果采用三室模型数据会更加精确.
八、模型推广
第一，由于在上述模型中没有考虑到一次性饮酒过量而致人死亡的情况.可以根据人体承受酒精浓度的上限来确定一次性饮酒不能超过的量.
第二，可以考虑离散时间点的酒精在人体的叠加情况，这样可以根据人体承受酒精浓度的上限来确定饮酒频度的上限来指出人们饮酒的时间间隔来确保生命健康.
第三，为了确保司机开车安全，根据国家相关部门规定的司机人体酒精含量，建立离散点上人体浓度模型和在一次饮酒量相同的情况下，给出司机饮酒最短间隔.
第四，在上述基础上，按照酒精对司机开车的上限和对人体生命健康的上限，建立离散时间点上不定量的统计模型.使得横向时间上的人体酒精含量叠加和纵向人体酒精含量的上限一起约束.为司机和百姓的饮酒提供可靠.
九、参考文献
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[4]王琦，《MATLAB基础与应用实例集粹》，北京，人民邮电出版社出版发行，2007.11
[5]姜世宏，《MATLAB语言与数学实验》，北京，科学出版社，2007.3
十、附录
附录一：
体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下：
时间（小时）
0.25
0.5
0.75
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
酒精含量
30
68
75
82
82
77
68
68
58
51
50
41
时间（小时）
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
酒精含量
38
35
28
25
18
15
12
10
7
7
4
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