二元一次方程解法大全.docx

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二元一次方程解法大全

　1、直接开平方法：

　　直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。

用直接开平方法解形如（x-m）2=n（n≥0）的方程，其解为x=±根号下n+m.

　　例1．解方程

（1）（3x+1）2=7

（2）9x2-24x+16=11

　　分析：

（1）此方程显然用直接开平方法好做，

（2）方程左边是完全平方式（3x-4）2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：

（3x+1）2=7×

　　∴（3x+1）2=5

　　∴3x+1=±（注意不要丢解）

　　∴x=

　　∴原方程的解为x1=,x2=

（2）解：

9x2-24x+16=11

　　∴（3x-4）2=11

　　∴3x-4=±

　　∴x=

　　∴原方程的解为x1=,x2=

　　2．配方法：

用配方法解方程ax2+bx+c=0（a≠0）

　　先将常数c移到方程右边：

ax2+bx=-c

　　将二次项系数化为1：

x2+x=-

　　方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：

x2+x+（）2=-+（）2

　　方程左边成为一个完全平方式：

（x+）2=

　　当b^2-4ac≥0时，x+=±

　　∴x=（这就是求根公式）

　　例2．用配方法解方程3x^2-4x-2=0（注：

X^2是X的平方）

　　解：

将常数项移到方程右边3x^2-4x=2

　　将二次项系数化为1：

x2-x=

　　方程两边都加上一次项系数一半的平方：

x2-x+（）2=+（）2

　　配方：

（x-）2=

　　直接开平方得：

x-=±

　　∴x=

　　∴原方程的解为x1=,x2=.

　　3．公式法：

把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±（b^2-4ac）^（1/2）]/（2a）,（b^2-4ac≥0）就可得到方程的根。

　　例3．用公式法解方程2x2-8x=-5

　　解：

将方程化为一般形式：

2x2-8x+5=0

　　∴a=2,b=-8,c=5

　　b^2-4ac=（-8）2-4×2×5=64-40=24>0

　　∴x=[（-b±（b^2-4ac）^（1/2）]/（2a）

　　∴原方程的解为x1=,x2=.

　　4．因式分解法：

把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

　　例4．用因式分解法解下列方程：

（1）（x+3）（x-6）=-8

（2）2x2+3x=0

　　（3）6x2+5x-50=0（选学）（4）x2-2（+）x+4=0（选学）

（1）解：

（x+3）（x-6）=-8化简整理得

　　x2-3x-10=0（方程左边为二次三项式，右边为零）

　　（x-5）（x+2）=0（方程左边分解因式）

　　∴x-5=0或x+2=0（转化成两个一元一次方程）

　　∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

（2）解：

2x2+3x=0

　　x（2x+3）=0（用提公因式法将方程左边分解因式）

　　∴x=0或2x+3=0（转化成两个一元一次方程）

　　∴x1=0，x2=-是原方程的解。

　　注意：

有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。

　　（3）解：

6x2+5x-50=0

　　（2x-5）（3x+10）=0（十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错）

　　∴2x-5=0或3x+10=0

　　∴x1=,x2=-是原方程的解。

　　（4）解：

x2-2（+）x+4=0（∵4可分解为2·2，∴此题可用因式分解法）

　　（x-2）（x-2）=0

　　∴x1=2,x2=2是原方程的解。

　　小结：

　　一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。

　　直接开平方法是最基本的方法。

　　公式法和配方法是最重要的方法。

公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。

　　配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法

　　解一元二次方程。

但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。

（三种重要的数学方法：

换元法，配方法，待定系数法）。

二元一次方程练习题

一、判断

　　1、是方程组的解…………（）

　　2、方程组的解是方程3x-2y=13的一个解（）

　　3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组（）

　　4、方程组，可以转化为（）

　　5、若（a2-1）x2+（a-1）x+（2a-3）y=0是二元一次方程，则a的值为±1（）

　　6、若x+y=0，且|x|=2，则y的值为2…………（）

　　7、方程组有唯一的解，那么m的值为m≠-5…………（）

　　8、方程组有无数多个解…………（）

　　9、x+y=5且x，y的绝对值都小于5的整数解共有5组…………（）

　　10、方程组的解是方程x+5y=3的解，反过来方程x+5y=3的解也是方程组的解………（）

　　11、若|a+5|=5，a+b=1则………（）

　　12、在方程4x-3y=7里，如果用x的代数式表示y，则（）

　　二、选择：

　　13、任何一个二元一次方程都有（）

　　（A）一个解；（B）两个解；

　　（C）三个解；（D）无数多个解；

　　14、一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6，那么符合条件的两位数的个数有（）

　　（A）5个（B）6个（C）7个（D）8个

　　15、如果的解都是正数，那么a的取值范围是（）

　　（A）a<2；（B）；（C）；（D）；

　　16、关于x、y的方程组的解是方程3x+2y=34的一组解，那么m的值是（）

　　（A）2；（B）-1；（C）1；（D）-2；

　　17、在下列方程中，只有一个解的是（）

　　（A）（B）

　　（C）（D）

　　18、与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无数多个解的方程是（）

　　（A）15x-3y=6（B）4x-y=7（C）10x+2y=4（D）20x-4y=3

　　19、下列方程组中，是二元一次方程组的是（）

　　（A）（B）

　　（C）（D）

　　20、已知方程组有无数多个解，则a、b的值等于（）

　　（A）a=-3,b=-14（B）a=3,b=-7

　　（C）a=-1,b=9（D）a=-3,b=14

　　21、若5x-6y=0，且xy≠0，则的值等于（）

　　（A）（B）（C）1（D）-1

　　22、若x、y均为非负数，则方程6x=-7y的解的情况是（）

　　（A）无解（B）有唯一一个解

　　（C）有无数多个解（D）不能确定

　　23、若|3x+y+5|+|2x-2y-2|=0，则2x2-3xy的值是（）

　　（A）14（B）-4（C）-12（D）12

　　24、已知与都是方程y=kx+b的解，则k与b的值为（）

　　（A），b=-4（B），b=4

　　（C），b=4（D），b=-4

　　三、填空：

　　25、在方程3x+4y=16中，当x=3时，y=________，当y=-2时，x=_______

　　若x、y都是正整数，那么这个方程的解为___________；

　　26、方程2x+3y=10中，当3x-6=0时，y=_________；

　　27、如果，那么用含有y的代数式表示的代数式是_____________；

　　28、若是方程组的解，则；

　　29、方程|a|+|b|=2的自然数解是_____________；

　　30、如果x=1，y=2满足方程，那么a=____________；

　　31、已知方程组有无数多解，则a=______，m=______；

　　32、若方程x-2y+3z=0，且当x=1时，y=2，则z=______；

　　33、若4x+3y+5=0，则3（8y-x）-5（x+6y-2）的值等于_________；

　　34、若x+y=a，x-y=1同时成立，且x、y都是正整数，则a的值为________；

　　35、从方程组中可以知道，x:

z=_______；y:

z=________；

　　36、已知a-3b=2a+b-15=1，则代数式a2-4ab+b2+3的值为__________；

　　四、解方程组

　　37、；38、；

　　39、；40、；

　　41、；42、；

　　43、；44、；

　　45、；46、；

　　五、解答题：

　　47、甲、乙两人在解方程组时，甲看错了①式中的x的系数，解得；乙看错了方程②中的y的系数，解得，若两人的计算都准确无误，请写出这个方程组，并求出此方程组的解；

　　48、使x+4y=|a|成立的x、y的值，满足（2x+y-1）2+|3y-x|=0，又|a|+a=0，求a的值；

　　49、代数式ax2+bx+c中，当x=1时的值是0，在x=2时的值是3，在x=3时的值是28，试求出这个代数式；

　　50、要使下列三个方程组成的方程组有解，求常数a的值。

　　2x+3y=6-6a，3x+7y=6-15a，4x+4y=9a+9

　　51、当a、b满足什么条件时，方程（2b2-18）x=3与方程组都无解；

　　52、a、b、c取什么数值时，x3-ax2+bx+c程（x-1）（x-2）（x-3）恒等

　　53、m取什么整数值时，方程组的解：

（1）是正数；

（2）是正整数并求它的所有正整数解。

　　54、试求方程组的解。

　　六、列方程（组）解应用题

　　55、汽车从甲地到乙地，若每小时行驶45千米，就要延误30分钟到达；若每小时行驶50千米，那就可以提前30分钟到达，求甲、乙两地之间的距离及原计划行驶的时间

　　56、某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68个，扁担40根，问这个班的男女生各有多少人

　　57、甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就可以追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，求两人每秒钟各跑多少米

　　58、甲桶装水49升，乙桶装水56升，如果把乙桶的水倒入甲桶，甲桶装满后，乙桶剩下的水，恰好是乙桶容量的一半，若把甲桶的水倒入乙桶，待乙桶装满后则甲桶剩下的水恰好是甲桶容量的，求这两个水桶的容量。

　　59、甲、乙两人在A地，丙在B地，他们三人同时出发，甲与乙同向而行，丙与甲、乙相向而行，甲每分钟走100米，乙每分钟走110米，丙每分钟走125米，若丙遇到乙后10分钟又遇到甲，求A、B两地之间的距离。

　　60、有两个比50大的两位数，它们的差是10，大数的10倍与小数的5倍的和的是11的倍数，且也是一个两位数，求原来的这两个两位数。

　　【参考答案】

　　一、1、√；2、√；3、×；4、×；5、×；6、×；

　　7、√；8、√；9、×；10、×；11、×；12、×；

　　二、13、D；14、B；15、C；16、A；17、C；18、A；

　　19、C；20、A；21、A；22、B；23、B；24、A；

　　三、25、，8，；26、2；27、；28、a=3，b=1；

　　29、30、；31、3，-432、1；33、20；

　　34、a为大于或等于3的奇数；35、4:

3，7:

936、0；

　　四、37、；38、；39、；40、；

　　41、；42、；43、；44、；

　　45、；46、；

　　五、47、，；48、a=-149、11x2-30x+19；

　　50、；51、，b=±352、a=6,b=11,c=-6；

　　53、

（1）m是大于-4的整数，

（2）m=-3，-2，0，，，；

　　54、或；

　　六、55、A、B距离为450千米，原计划行驶小时；

　　56、设女生x人，男生y人，

　　57、设甲速x米/秒，乙速y米/秒

　　58、甲的容量为63升，乙水桶的容量为84升；

　　59、A、B两地之间的距离为52875米；

　　60、所求的两位数为52和62。

　　二元一次方程组练习题100道（卷二）

　　一、选择题：

　　1．下列方程中，是二元一次方程的是（）

　　A．3x－2y=4zB．6xy+9=0C．+4y=6D．4x=

　　2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）

　　A．

　　3．二元一次方程5a－11b=21（）

　　A．有且只有一解B．有无数解C．无解D．有且只有两解

　　4．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（）

　　A．

　　5．若│x－2│+（3y+2）2=0，则的值是（）

　　A．－1B．－2C．－3D．

　　6．方程组的解与x与y的值相等，则k等于（）

　　7．下列各式，属于二元一次方程的个数有（）

　　①xy+2x－y=7；②4x+1=x－y；③+y=5；④x=y；⑤x2－y2=2

　　⑥6x－2y⑦x+y+z=1⑧y（y－1）=2y2－y2+x

　　A．1B．2C．3D．4

　　8．某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（）

　　A．

　　二、填空题

　　9．已知方程2x+3y－4=0，用含x的代数式表示y为：

y=_______；用含y的代数式表示x为：

x=________．

　　10．在二元一次方程－x+3y=2中，当x=4时，y=_______；当y=－1时，x=______．

　　11．若x3m－3－2yn－1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______．

　　12．已知是方程x－ky=1的解，那么k=_______．

　　13．已知│x－1│+（2y+1）2=0，且2x－ky=4，则k=_____．

　　14．二元一次方程x+y=5的正整数解有______________．

　　15．以为解的一个二元一次方程是_________．

　　16．已知的解，则m=_______，n=______．

　　三、解答题

　　17．当y=－3时，二元一次方程3x+5y=－3和3y－2ax=a+2（关于x，y的方程）有相同的解，求a的值．

　　18．如果（a－2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，则a，b满足什么条件

　　19．二元一次方程组的解x，y的值相等，求k．

　　20．已知x，y是有理数，且（│x│－1）2+（2y+1）2=0，则x－y的值是多少

　　21．已知方程x+3y=5，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为．

　　22．根据题意列出方程组：

（1）明明到邮局买元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚

（2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼

　　23．方程组的解是否满足2x－y=8满足2x－y=8的一对x，y的值是否是方程组的解

　　24．（开放题）是否存在整数m，使关于x的方程2x+9=2－（m－2）x在整数范围内有解，你能找到几个m的值你能求出相应的x的解吗

　　答案：

　　一、选择题

　　1．D解析：

掌握判断二元一次方程的三个必需条件：

①含有两个未知数；②含有未知数的项的次数是1；③等式两边都是整式．

　　2．A解析：

二元一次方程组的三个必需条件：

①含有两个未知数，②每个含未知数的项次数为1；③每个方程都是整式方程．

　　3．B解析：

不加限制条件时，一个二元一次方程有无数个解．

　　4．C解析：

用排除法，逐个代入验证．

　　5．C解析：

利用非负数的性质．

　　6．B

　　7．C解析：

根据二元一次方程的定义来判定，含有两个未知数且未知数的次数不超过1次的整式方程叫二元一次方程，注意⑧整理后是二元一次方程．

　　8．B

　　二、填空题

　　9．10．－10

　　11．，2解析：

令3m－3=1，n－1=1，∴m=，n=2．

　　12．－1解析：

把代入方程x－ky=1中，得－2－3k=1，∴k=－1．

　　13．4解析：

由已知得x－1=0，2y+1=0，

　　∴x=1，y=－，把代入方程2x－ky=4中，2+k=4，∴k=1．

　　14．解：

　　解析：

∵x+y=5，∴y=5－x，又∵x，y均为正整数，

　　∴x为小于5的正整数．当x=1时，y=4；当x=2时，y=3；

　　当x=3，y=2；当x=4时，y=1．

　　∴x+y=5的正整数解为

　　15．x+y=12解析：

以x与y的数量关系组建方程，如2x+y=17，2x－y=3等，

　　此题答案不唯一．

　　16．14解析：

将中进行求解．

　　三、解答题

　　17．解：

∵y=－3时，3x+5y=－3，∴3x+5×（－3）=－3，∴x=4，

　　∵方程3x+5y=－3和3x－2ax=a+2有相同的解，

　　∴3×（－3）－2a×4=a+2，∴a=－．

　　18．解：

∵（a－2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，

　　∴a－2≠0，b+1≠0，∴a≠2，b≠－1

　　解析：

此题中，若要满足含有两个未知数，需使未知数的系数不为0．

　　（若系数为0，则该项就是0）

　　19．解：

由题意可知x=y，∴4x+3y=7可化为4x+3x=7，

　　∴x=1，y=1．将x=1，y=1代入kx+（k－1）y=3中得k+k－1=3，

　　∴k=2解析：

由两个未知数的特殊关系，可将一个未知数用含另一个未知数的代数式代替，化“二元”为“一元”，从而求得两未知数的值．

　　20．解：

由（│x│－1）2+（2y+1）2=0，可得│x│－1=0且2y+1=0，∴x=±1，y=－．

　　当x=1，y=－时，x－y=1+=；

　　当x=－1，y=－时，x－y=－1+=－．

　　解析：

任何有理数的平方都是非负数，且题中两非负数之和为0，

　　则这两非负数（│x│－1）2与（2y+1）2都等于0，从而得到│x│－1=0，2y+1=0．

　　21．解：

经验算是方程x+3y=5的解，再写一个方程，如x－y=3．

　　22．

（1）解：

设0．8元的邮票买了x枚，2元的邮票买了y枚，根据题意得．

（2）解：

设有x只鸡，y个笼，根据题意得．

　　23．解：

满足，不一定．

　　解析：

∵的解既是方程x+y=25的解，也满足2x－y=8，

　　∴方程组的解一定满足其中的任一个方程，但方程2x－y=8的解有无数组，

　　如x=10，y=12，不满足方程组．

　　24．解：

存在，四组．∵原方程可变形为－mx=7，

　　∴当m=1时，x=－7；m=－1时，x=7；m=7时，x=－1；m=－7时x=1．

二元一次方程应用题

题型一：

配套问题

　　1．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套

　　题型二：

年龄问题

　　2．甲对乙说：

“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁”．乙对甲说：

“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁”．请你算一算，甲、乙现在各多少岁

　　题型三：

百分比问题

　　3．有甲乙两种铜和银的合金，甲种合金含银25%，乙种合金含银%，现在要熔制含银30%的合金100千克，甲、乙两种合金各应取多少

　　题型四：

数字问题

　　4．有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，如果把这两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数.

　　题型五：

古算术问题

　　5．巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧。

364只碗，看看用尽不差争。

三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹。

请问先生明算者，算来寺内几多僧。

诗句的意思是：

寺内有三百六十四只碗，如果三个和尚共吃一碗饭，四个和尚共吃一碗羹，刚好够用，寺内共有和尚多少个

　　题型六：

行程问题

　　6．甲乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机从两地同时出发相向而行，1小时20分后相遇。

相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机，这时汽车、拖拉机从开始到现在各自行驶了多少千米

　　题型七：

工程问题

　　7．某城市为了缓解缺水状况，实施了一项饮水工程，就是把200千米以外的的一条大河的水引到城市中来，把这个工程交给了甲乙两个施工队，工期为50天，甲、乙两队合作了30天后，乙队因另有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修了千米，10天后乙队回来，为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队也比原来多修千米，结果如期完成。

问甲乙两队原计划每天各修多少千米

　　题型八：

方案决策问题

　　8．已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元，我市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由。

　　9．某地生产的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨．该公司加工厂的生产能力是：

如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行．受季节等条件限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕．为此，公司研制了三种加工方案：

方案一：

将蔬菜全部进行粗加工．方案二：

尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售．方案三：

将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好用15天完成．你认为选择哪种方案获利最多为什么