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综合活动课记录

第6讲找规律

（二）

这一讲主要介绍如何发现和寻找图形、数表的变化规律。

例1观察下列图形的变化规律，并按照这个规律将第四个图形补充完整。

分析与解：

观察前三个图，从左至右，黑点数依次为4，3，2个，并且每个图形依次按逆时针方向旋转90°，所以第四个图如右图所示。

　观察图形的变化，主要从各图形的形状、方向、数量、大小及各组成部分的相对位置入手，从中找出变化规律。

例2在下列各组图形中寻找规律，并按此规律在“？

”处填上合适的数：

解：

（1）观察前两个图形中的数可知，大圆圈内的数等于三个小圆圈内的数的乘积的一半，故

第三个图形中的“？

”=5×3×8÷2=60；

第四个图形中的“？

”=（21×2）÷3÷2=7。

（2）观察前两个图形中的已知数，发现有

10=8+5-3，8=7+4-3，即三角形里面的数的和减去三角形外面的数就是中间小圆圈内的数。

故第三个图形中的“？

”=12+1-5=8；

第四个图形中的“？

”=7+1-5=3。

例3寻找规律填数：

　解：

（1）考察上、下两数的差。

32-16=16，31-15=16，33-17=16，可知，上面那个“？

”=35-16=19，下面那个“？

”=18+16=34。

（2）从左至右，一上一下地看，由1，3，5，？

，9，?

知，12下面的“？

”

=7；一下一上看，由6，8，10，12，？

，?

知，9下面的“？

”=14。

例4寻找规律在空格内填数：

解：

（1）因为前两图中的三个数满足：

256=4×64，72=6×12，

　　所以，第三图中空格应填12×15=180；第四图中空格应填169÷13=13。

第五图中空格应填224÷7=32。

（2）图中下面一行的数都是上一行对应数的3倍，故43下面应填43×

3=129；87上面应填87÷3=29。

例5在下列表格中寻找规律，并求出“？

”：

　　解：

（1）观察每行中两边的数与中间的数的关系，发现3+8=11，4+2=6，所以，？

=5+7=12。

（2）观察每列中三数的关系，发现1+3×2=7，7+2×2=11，所以，？

=4+5

×2=14。

例6寻找规律填数：

（1）

1=1=1×1

1+3=4=2×2

1+3+5=9=3×3

1+3+5+7=16=4×4

1+3+5+7+9=25=5×5

1+3+5+7+9+11=？

1+3+5+7+9+11+13=？

（2）解：

（1）观察其规律知

1+3+5+7+9+11=6×6=36；

1+3+5+7+9+11+13=7×7=49。

（2）观察其规律知：

123456×9=1111104；

1234567×9＝11111103；

12345678×9=111111102；

123456789×9=1111111101。

　　观察比较图形、图表、数列的变化，并能从图形、数量间的关系中发现规律，这种能力对于同学们今后的学习将大有益处

练习6

寻找规律填数：

6.下图中第50个图形是△还是○？

○△○○○△○○○△○?

7.142857×1=142857

142857×2=285714

142857×3=428571

142857×4=571428

142857×5=？

142857×6=？

8.81=9×9

882=98×9

8883=987×9

88884=9876×9

888885=98765×9

？

=987654×9

88888887=？

9.1+2+1=4

1+2+3+2+1=9

1+2+3+4+3+2+1=16

1+2+3+4+5+4+3+2+1=25

1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=？

第7讲加减法应用题

　用数学方法解决人们生活和工作中的实际问题就产生了通常所说的“应用题”。

　　应用题由已知的“条件”和未知的“问题”两部分构成，而且给出的已知条件应能保证求出未知的问题。

这一讲主要介绍利用加、减法解答的简单应用题。

例1小玲家养了46只鸭子，24只鸡，养的鸡和鹅的总只数比养的鸭多

5只。

小玲家养了多少只鹅？

解：

将已知条件表示为下图：

表示为算式是：

24+？

=46+5。

由此可求得养鹅（46+5）-24=27（只）。

答：

养鹅27只。

若例1中鸡和鹅的总数比鸭少5只（其它不变），则已知条件可表示为下图，

表示为算式是：

24+？

+5=46。

由此可求得养鹅

46-5-24=17（只）。

　　例2一个筐里装着52个苹果，另一个筐里装着一些梨。

如果从梨筐里取走18个梨，那么梨就比苹果少12个。

原来梨筐里有多少个梨？

分析：

根据已知条件，将各种数量关系表示为下图。

有几种思考方法：

（1）根据取走18个梨后，梨比苹果少12个，先求出梨筐里现有梨52-

12=40（个），再求出原有梨

（52-12）+18=58（个）。

（2）根据取走18个梨后梨比苹果少12个，我们设想“少取12个”梨，则现有的梨和苹果一样多，都是52个。

这样就可先求出原有梨比苹果多18-12

＝6（个），再求出原有梨

52+（18-12）=58（个）。

　　（3）根据取走18个梨后梨比苹果少12个，我们设想不取走梨，只在苹果筐里加入18个苹果，这时有苹果

　　　　　　　　　　　52+18=70（个）。

这样一来，现有苹果就比原来的梨多了12个（见下图）。

由此可求出原有

梨（52+18）-12=58（个）。

由上面三种不同角度的分析，得到如下三种解法。

解法1：

（52-12）+18=58（个）。

解法2：

52+（18-12）=58（个）。

解法3：

（52+18）-12=58（个）。

答：

原来梨筐中有58个梨。

　　例3某校三年级一班为欢迎“手拉手”小朋友们的到来，买了若干糖果。

已知水果糖比小白兔软糖多15块，巧克力糖比水果糖多28块。

又知巧克力糖的块数恰好是小白兔软糖块数的2倍。

三年级一班共买了多少块糖果？

分析与解：

只要求出某一种糖的块数，就可以根据已知条件得到其它两种糖的块数，总共买多少就可求出。

先求出哪一种糖的块数最简便呢？

我们先把已知条件表示为下图。

由上图可求出，小白兔软糖块数=15+28=43（块），水果糖块数=43+15=58（块），巧克力糖块数=43×2=86（块）。

糖果总数=43+58+86=187（块）。

答:

共买了187块糖果。

例4一口枯井深230厘米，一只蜗牛要从井底爬到井口处。

它每天白天

向上爬110厘米，而夜晚却要向下滑70厘米。

这只蜗牛哪一个白天才能爬出井口？

分析与解：

因蜗牛最后一个白天要向上爬110厘米，井深230厘米减去

这110厘米后（等于120厘米），就是蜗牛前几天一共要向上爬的路程。

因为蜗牛白天向上爬110厘米，而夜晚又向下滑70厘米，所以它每天向

上爬110-70=40（厘米）。

　　由于120÷40=3，所以，120厘米是蜗牛前3天一共爬的。

故第4个白天蜗牛才能爬到井口。

　　若将例4中枯井深改为240厘米，其它数字不变，这只蜗牛在哪个白天才能爬出井口？

（第5个白天）

练习7

　1.甲、乙、丙三人原各有桃子若干个。

甲给乙2个，乙给丙3个，丙又给甲5个后，三人都有桃子9个。

甲、乙、丙三人原来各有桃子多少个？

　　2.三座桥，第一座长287米，第二座比第一座长85米，第三座比第一座与第二座的总长短142米。

第三座桥长多少米？

3.

（1）幼儿园小班有巧克力糖40块，还有一些奶糖。

分给小朋友奶糖24

块后，奶糖就比巧克力糖少了10块。

原有奶糖多少块？

（2）幼儿园中班有巧克力糖48块，还有一些奶糖。

分给小朋友奶糖26块后，奶糖就只比巧克力糖多18块。

原有奶糖多少块？

　　4.一桶柴油连桶称重120千克，用去一半柴油后，连桶称还重65千克。

这桶里有多少千克柴油？

空桶重多少？

　　5.一只蜗牛从一个枯水井底面向井口处爬，白天向上爬110厘米，而夜晚向下滑40厘米，第5天白天结束时，蜗牛到达井口处。

这个枯水井有多深？

若第5天白天爬到井口处，这口井至少有多少厘米深？

（厘米以下的长度

不计）

　　6.在一条直线上，A点在B点的左边20毫米处，C点在D点左边50毫米处，D点在B点右边40毫米处。

写出这四点从左到右的次序。

　　7.

（1）五个不同的数的和为172，这些数中最小的数为32，最大的数可以是多少？

（2）六个不同的数的和为356，这些数中，最大的是68，最小的数可以是多少？

第8讲乘除法应用题

本讲向同学们介绍如何利用乘、除法解答简单应用题。

用乘、除法解应用题，首先要明确下面几个关系，然后根据应用题中的已知条件，利用这些数量关系求解。

被乘数×乘数=乘积，相同数×个数=总数，小数×倍数=大数，被除数÷除数=商，被除数÷商=除数，被除数÷除数=（不完全）商?

?

余数。

　　例1学校开运动会，三年级有86人报名参加单项比赛，其他年级参加单项比赛的人数是三年级的4倍少5人。

全校参加单项比赛的人数有多少人？

分析：

先求出其他年级参赛人数，

　　　　　　　　　　86×4-5＝339（人），再加上三年级参赛人数，就可求出全校参赛人数。

解：

（86×4-5）＋86＝425（人）。

答：

全校参赛425人。

本题中全校参赛人数也可以看成是三年级参赛人数的5倍少5人，所以

可列式为

86×5-5＝425（人）。

　　例2有5只猴子，其中2只各摘了7个桃子，另外3只各摘了12个桃子。

把所有摘下的桃子平均分给这5只猴子，每只猴子能分到多少个桃子？

解：

共摘桃子7×2＋12×3＝50（个），

平均每只猴可分50÷5＝10（个）。

综合算式（7×2＋12×3）÷5＝10（个）。

答：

每只猴子能分到10个桃。

　　例3小白兔上山采摘了许多蘑菇。

它把这些蘑菇先平均分成4堆，3堆送给它的小朋友，自己留一堆。

后来它又把留下的这一堆平均分成3堆，两堆送给别的小白兔，一堆自己吃。

自己吃的这一堆有5个。

它共采摘了多少个蘑菇？

分析：

我们从后向前分析。

当分成3堆时，共有5×3＝15（个），这是分

成4堆时每一堆的个数。

所以，分成4堆时，共有15×4＝60（个）。

解：

（5×3）×4＝15×4=60（个）。

答：

共摘了60个蘑菇。

　　例4小雨到奶奶家。

如果来回都乘车，那么路上要用20分钟。

如果去时乘车，回来时步行，那么一共要用50分钟。

小雨步行回来用多少时间？

分析：

来回都乘车用20分，所以乘车单程所用的时间是20÷2=10（分）。

去时乘车回来时步行共用50分，减掉去时乘车用的10分，回来时步行用了

50-10＝40（分）。

解：

50-20÷2=40（分）。

答：

步行回来用40分钟。

　　例5师徒二人加工同样的机器零件。

师傅加工的个数是徒弟的4倍，其个数比徒弟多54个。

师徒二人这天各加工了多少个零件？

　　分析：

如下图所示，把徒弟加工的个数看成“1份”，师傅加工的就是“4份”，因而师傅比徒弟多（4-1）份。

由上图可求得1份为54÷（4-

1）=18（个），由此可求出师徒二人各加工了多少个零件。

解：

徒弟加工了54÷（4-1）=18（个），师傅加工了18×4＝72（个）。

答：

徒弟加工了18个，师傅加工了72个。

解这类题的关键是分析出“54”是如何多出来的，即弄明白用“倍数-1”

来除它，所得的数代表什么。

　　例6工厂装配四轮推车，1个车身要配4个车轮。

现在有40个车身，70个车轮。

问：

装配出多少辆四轮推车后，剩下的车身和车轮的数量相等？

　　分析：

1个车身配4个车轮，即每装配出一辆四轮推车，用的车轮数比车身数多4-1=3（个）。

现在车轮比车身多70-40＝30（个），要把这30个车轮“消耗掉”，需装配30÷3＝10（辆）四轮车。

解：

（70-40）÷（4-1）＝10（辆）。

答：

需装配出10辆四轮推车。

练习8

1.某项工作3人做需要3个星期又3天，中间无休息日，那么，1人单独做这项工作需要多少天？

2.贺林家养鸡的只数是鹅的只数的6倍，鸭比鹅多8只，鸭有15只。

贺

林家养了多少只鸡？

　　3.小敏买了一本书和一包糖。

买一本书用了3元6角，买糖用的钱数是买书所用钱数的5倍。

她带去的50元钱还剩多少？

4.小峰去老师家看望老师。

如果往返都骑自行车，那么在路上要用1时

20分。

如果去时骑自行车，回来时步行，那么一共要用2时30分。

小峰步行回来用多少时间？

5.4元钱能买西瓜8千克，10元钱能买多少西瓜？

　　6.小兰有24本书，小玲有18本书。

小兰要给小玲几本书，两人的书才一样多？

7.小红与小光买拼音本。

小红买了12本，小光买了8本。

小红比小光多

用2元4角钱。

每本多少钱？

　　8.甲、乙两辆汽车分别从同一车站出发，沿相反方向开去，3时共行360千米。

甲的速度是乙的速度的2倍。

甲、乙的速度各是多少？

　　9.甲、乙两个粮库共存粮150吨。

甲库运出40吨，乙库运入10吨，这时甲库存粮是乙库存粮的2倍。

甲、乙粮库原来存粮各多少？

第9讲平均数

　把一个（总）数平均分成几个相等的数，相等的数的数值就叫做这个（总）数的平均数。

例如，24平均分成四个数：

6，6，6，6，数6就叫做24分成四份的平均数。

又如，24平均分成六个数：

4，4，4，4，4，4，数4就叫做

24分成六份的平均数。

由此可见，平均数是相对于“总数”和分成的“份数”而言的。

知道了

被均分的“总数”和均分的“份数”，就可以求出平均数：

总数÷份数=平均数。

　　“平均数”这个数学概念在我们的日常生活和工作中经常用到。

例如，某次考试全班同学的“平均成绩”，几件货物的“平均重量”，某辆汽车行驶某段路程的“平均速度”等等，都是我们经常碰到的求平均数的问题。

根据求平均数的一般公式可以得到它们的计算方法：

全班同学的总成绩÷全班同学人数=平均成绩，几件货物的总重量÷货物件数=平均重量，一辆汽车行驶的路程÷所用的时间=平均速度。

　　我们在上一讲的例2中，已经接触到求平均数的应用题，下面再举一些例子来说明有关平均数应用问题的解法。

例1一小组六个同学在某次数学考试中，分别为98分、87分、93分、

86分、88分、94分。

他们的平均成绩是多少？

解：

总成绩=98＋87＋93＋86＋88＋94＝546（分）。

这个小组有6个同学，平均成绩是

546÷6＝91（分）。

答：

平均成绩是91分。

　　例2把40千克苹果和80千克梨装在6个筐内（可以混装），使每个筐装的重量一样。

每筐应装多少千克？

解：

苹果和梨的总重量为

　40＋80＝120（千克）。

因要装成6筐，所以，每筐平均应装

120÷6＝20（千克）。

答：

每筐应装20千克。

例3小明家先后买了两批小猪，养到今年10月。

第一批的3头每头重

66千克，第二批的5头每头重42千克。

小明家养的猪平均多重？

解：

两批猪的总重量为

66×3＋42×5＝408（千克）。

两批猪的头数为3＋5＝8（头），故平均每头猪重

　　　　　　　　　　408÷8＝51（千克）。

答：

平均每头猪重51千克。

注意，在上例中不能这样来求每头猪的平均重量：

　　　　　　　　　（66＋42）÷2＝54（千克）。

上式求出的是两批猪的“平均重量的平均数”，而不是（3＋5＝）8头猪

的平均重量。

这是刚接触平均数的同学最容易犯的错误！

　　例4一个学生为了培养自己的数学解题能力，除了认真读一些书外，还规定自己每周（一周为7天）平均每天做4道数学竞赛训练题。

星期一至星期

三每天做3道，星期四不做，星期五、六两天共做了13道。

那么，星期日要做几道题才能达到自己规定的要求？

　　分析：

要先求出每周规定做的题目总数，然后求出星期一至星期六已做的题目数。

两者相减就是星期日要完成的题目数。

每周要完成的题目总数是4×7=28（道）。

星期一至星期六已做题目3×3

＋13＝22（道），所以，星期日要完成28-22＝6（道）。

解：

4×7-（3×3＋13）＝6（道）。

答：

星期日要做6道题。

例5三年级二班共有42名同学，全班平均身高为132厘米，其中女生

有18人，平均身高为136厘米。

问：

男生平均身高是多少？

解：

全班身高的总数为

132×42＝5544（厘米），

女生身高总数为

136×18＝2448（厘米），

男生有42-18＝24（人），身高总数为

5544-2448＝3096（厘米），男生平均身高为

3096÷24＝129（厘米）。

综合列式：

　　（132×42-136×18）÷（42-18）＝129（厘米）。

答：

男生平均身高为129厘米。

例6小敏期末考试，数学92分，语文90分，英语成绩比这三门的平均

成绩高4分。

问：

英语得了多少分？

　　分析：

英语比平均成绩高的这4分，是“补”给了数学和语文，所以三门功课的平均成绩为

（92＋90＋4）÷2＝93（分），

由此可求出英语成绩。

解：

（92＋92＋4）÷2＋4＝97（分）。

答：

英语得了97分。

练习9

1.一班有40个学生，二班有42个学生，三班有45个学生。

开学后又转学来了11个学生。

怎样分才能使每班学生人数相等？

2.小岗计划4天做15道数学题，结果多做了9道。

平均每天做了多少道？

　　3.一小组同学体检量身高时发现其中2人的身高是123厘米，另外4人的身高均为132厘米。

这个小组同学的平均身高是多少？

　　4.小梅做跳绳练习，第一次跳了67下，第二次跳了76下。

她要想三次平均成绩达到80下，第三次至少要跳多少下？

　　5.一农机站有960千克的柴油。

用了6天，还剩240千克。

照此用法，剩下的柴油还可用几天？

　　6.小浩为培养自己的阅读能力，自己规定这一个月（30天）要读完共288页的彩图世界童话名著《伊索寓言》。

头9天平均每天读了8页，第二个9天平均每天读了10页，第三个9天平均每天读了11页。

最后三天平均每天需要读几页才能达到自己规定的要求？

　　　7.五个同学期末考试的数学成绩平均94分，而其中有三个同学的平均成绩为92分，另两个同学的平均成绩是多少？

　　8.小亮学游泳，第一次游了25米，第二次游的距离比两次游的平均距离多8米。

小亮第二次游了多少米？

　　9.篮球队中四名队员的平均身高是182厘米，另一名队员的身高比这五队员的平均身高矮8厘米，这名队员的身高是多少？

　　第10讲植树问题

　绿化工程是造福子孙后代的大事。

确定在一定条件下栽树、种花的棵数是最简单、最基本的“植树问题”。

还有许多应用题可以化为“植树问题”来解，或借助解“植树问题”的思考方法来解。

先介绍四类最简单、最基本的植树问题。

为使其更直观，我们用图示法来说明。

树用点来表示，植树的沿线用线

来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。

显然，只有下面四种情形：

（1）非封闭线的两端都有“点”时，“点数”＝“段数”＋1。

（2）非封闭线只有一端有“点”时，“点数”=“段数”。

（3）非封闭线的两端都没有“点”时，“点数”＝“段数”-1。

（4）封闭线上，“点数”=“段数”。

最简单、最基本的植树问题只有这四类情形。

　　例如，一条河堤长420米，从头到尾每隔3米栽一棵树，要栽多少棵树？

这是第

（1）种情形，所以要栽树420÷3＋1＝141（棵）。

又如，肖林家门口到公路边有一条小路，长40米。

肖林要在小路一旁每

隔2米栽一棵树，一共要栽多少棵树？

由于门的一端不能栽树，公路边要栽树，所以，属于第

（2）种情形，要栽树40÷2＝20（棵）。

　　再如，两座楼房之间相距30米，每隔2米栽一棵树，一直行能栽多少棵树？

因紧挨楼房的墙根不能栽树，所以，属于第（3）种情形，能栽树30÷2-

1＝14（棵）。

　　再例如，一个圆形水池的围台圈长60米。

如果在此台圈上每隔3米放一盆花，那么一共能放多少盆花？

这属于第（4）种情形，共能放花60÷3＝

20（盆）。

许多应用题都可以借助或归结为上述植树问题求解。

　　例1在一段路边每隔50米埋设一根路灯杆，包括这段路两端埋设的路灯杆，共埋设了10根。

这段路长多少米？

解：

这是第

（1）种情形，所以，“段数”＝10－1＝9。

这段路长为50×

（10-1）＝450（米）。

答：

这段路长450米。

　　例2小明要到高层建筑的11层，他走到5层用了100秒，照此速度计算，他还需走多少秒？

　　分析：

因为1层不用走楼梯，走到5层走了4段楼梯，由此可求出走每段楼梯用100÷（5－1）＝25（秒）。

走到11层要走10段楼梯，还要走6段楼梯，所以还需

25×6＝150（秒）。

解：

［100÷（5-1）］×（11-5）＝150（秒）。

答：

还需150秒。

　　例3一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共30辆，每辆车长4米，前后每辆车相隔5米。

这列车队共排列了多长？

如果车队每秒行驶2米，那么这列车队要通过535米长的检阅场地，需要多少时间？

解：

车队间隔共有

　　　　　　　　　　　30-1＝29（个），每个间隔5米，所以，间隔的总长为

（30-1）×5＝145（米），而车身的总长为30×4＝120（米），故这列车队的总长为

（30-1）×5+30×4＝265（米）。

　　由于车队要行265＋535＝800（米），且每秒行2米，所以，车队通过检阅场地需要

（265＋535）÷2＝400（秒）＝6分40秒。

答：

这列车队共长265米，通过检阅场地需要6分40秒。

例4下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形。

它的长度是多少？

十个这样的铁环连在一起有多长？

　解：

如上图所示。

关键是求出重叠的“环扣”数（每个长6毫米）。

根据植树问题的第（3）种情形知，五个连在一起的“环扣”数为5