浙江金兰教育合作组织高一第1学期期中考试数学试题及参考答案解析.docx
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浙江金兰教育合作组织高一第1学期期中考试数学试题及参考答案解析
浙江金兰教育合作组织2019－2020年度第一学期高一数学期中考试试卷
一、选择题（本大题共10小题）
1.已知集合A＝{1,2,3},B＝{x|x2＜9},则A∩B＝（）
A.1,2,B.1,
C.D.
2.幂函数f（x）＝k•xα的图象过点,则k＋α＝（ ）
A.B.1C.D.2
3.若a＝20.3,b＝logπ3,c＝log40.3,则（ ）
A.B.C.D.
4.函数的零点所在的区间是（ ）
A.B.C.D.
5.函数y＝的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
6.已知函数,则等于（ ）
A.B.0C.1D.2
7.已知f（x）是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f（x）＝x2－3x.则方程f（x）－x＋3＝0的解集（ ）
A.1,B.1,
C.1,D.
8.若函数f（x）＝log2（x2－ax－3a）在区间（－∞,－2]上是减函数,则实数a的取值范围是（ ）
A.B.
C.,D.
9.已知函数f（x）＝ex－1,g（x）＝－x2＋4x－3,若存在f（a）＝g（b）,则实数b的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
10.已知函数f（x）＝x2－2（a＋2）x＋a2,g（x）＝－x2＋2（a－2）x－a2＋8.设H1（x）＝max{f（x）,g（x）},H2（x）＝min{f（x）,g（x）}（max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值）,记H1（x）的最小值为A,H2（x）的最大值为B,则A－B＝（ ）
A.16B.C.D.
二、填空题（本大题共7小题,共36.0分）
11.已知全集R,集合A＝{x|y＝ln（1－x）},B＝{x|2x（x－2）＜1},则A∪B＝______,A∩（∁RB）＝______.
12.函数的定义域为______,值域为______.
13.已知函数,则f（f（－2））＝______；若f（x）＝2,则实数x的值是______.
14.已知函数是奇函数,则实数m的值是______；若函数f（x）在区间[－1,a－2]上满足对任意x1≠x2,都有成立,则实数a的取值范围是______.
15.计算：
＝______.
16.已知函数f（x）＝若存在x1,x2,当0≤x1＜x2＜2时,f（x1）＝f（x2）,则x1f（x2）的取值范围是______.
17.已知奇函数f（x）＝（a－x）|x|,常数a∈R,且关于x的不等式mx2＋m＞f[f（x）]对所有的x∈[－2,2]恒成立,则实数m的取值范围是______.
三、解答题（本大题共5小题,共74.0分）
18.已知全集为R,设集合A＝{x|（x＋2）（x－5）≤0},,C＝{x|a＋1≤x≤2a－1}.
（1）求A∩B,（∁RA）∪B；
（2）若C⊆（A∩B）,求实数a的取值范围.
19.已知函数.
（1）求f（x）的定义域；
（2）当x∈（1,＋∞）,
①求证：
f（x）在区间（1,＋∞）上是减函数；
②求使关系式f（2＋m）＞f（2m－1）成立的实数m的取值范围.
20.经市场调查,某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t（天）的函数,且销售量近似地满足f（t）＝－2t＋200（1≤t≤50,t∈N）.前30天价格为g（t）＝t＋30（1≤t≤30,t∈N）,后20天价格为g（t）＝45（31≤t≤50,t∈N）.
（1）写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；
（2）求日销售额S的最大值.
21.已知函数f（x）＝x2＋ax＋a＋1.
（1）若函数f（x）存在两个零点x1,x2,满足x1＜1＜x2＜3,求实数a的取值范围；
（2）若关于x的方程f（2x）＝0有实数根,求实数a的取值范围.
22.已知函数f（x）＝x2－2ax＋5.
（1）若f（x）的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值；
（2）若a≤1,求函数y＝|f（x）|在[0,1]上的最大值.
答案和解析
1.【参考答案】D
【试题分析】
本题考查交集的求法,是基础题,解题时注意交集定义的合理运用.
先求出集合A和B,由此利用交集的定义能求出A∩B的值.
【试题答案】
解：
∵集合A＝{1,2,3},B＝{x|x2＜9}＝{x|－3＜x＜3},
∴A∩B＝{1,2}.
故选D.
2.【参考答案】C
【试题分析】解：
∵函数f（x）＝k•xα是幂函数,
∴k＝1,
∵幂函数f（x）＝xα的图象过点,
∴（）α＝,得α＝,
则k＋α＝1＋＝.
故选：
C.
由函数f（x）＝k•xα是幂函数,根据幂函数的定义可知,其系数k＝1,再将点的坐标代入可得α值,从而得到幂函数的解析式.
本题考查幂函数的性质及其应用,解题时要认真审题,注意熟练掌握基本概念.
3.【参考答案】B
【试题分析】解：
a＝20.3＞1,b＝logπ3∈（0,1）,c＝log40.3＜0,
则a＞b＞c.
故选：
B.
利用对数函数的单调性即可得出.
本题考查了对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
4.【参考答案】C
【试题分析】解：
∵函数（x＞0）,
∴y′＝＋1＋＞0,
∴函数y＝lnx＋x－－2在定义域（0,＋∞）上是单调增函数；
又x＝2时,y＝ln2＋2－－2＝ln2－＜0,
x＝e时,y＝lne＋e－－2＝＋e－－2＞0,
因此函数的零点在（2,e）内.
故选：
C.
先判断函数y是定义域上的增函数,再利用根的存在性定理,即可得出结论.
本题主要考查了函数的零点问题,将零点问题转化为交点问题,是解决本题的关键.
5.【参考答案】A
【试题分析】
本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考查其余的性质.
欲判断图象大致图象,可从函数的定义域{x|x≠0}方面考虑,还可从函数的单调性（在函数当x＞0时函数为减函数）方面进行考虑即可.
【试题答案】
解：
函数有意义,需使ex－e－x≠0,
其定义域为{x|x≠0},排除C,D,
又因为,
所以当x＞0时函数为减函数,故选A
故选：
A.
6.【参考答案】D
【试题分析】解：
根据题意,函数,则f（－x）＝,
则f（－x）＋f（x）＝ln1＋2＝2,
则有f（lg2）＋f（lg）＝f（lg2）＋f（－lg2）＝2,
故选：
D.
根据题意,由函数的解析式求出f（－x）,进而可得f（－x）＋f（x）＝2,据此可得f（lg2）＋f（lg）的值,即可得答案.
本题考查函数的奇偶性的性质以及应用,涉及对数的计算,属于基础题.
7.【参考答案】A
【试题分析】解：
若x＜0,则－x＞0,
∵定义在R上的奇函数f（x）,当x≥0时,f（x）＝x2－3x.
∴当x＜0时,f（－x）＝x2＋3x＝－f（x）.
则当x＜0时,f（x）＝－x2－3x.
若x≥0,由f（x）－x＋3＝0得x2－4x＋3＝0,则x＝1或x＝3,
若x＜0,由f（x）－x＋3＝0得－x2－4＋3＝0,
则x2＋4x－3＝0,则x＝＝－2±,
∵x＜0,∴x＝－2－,
综上方程f（x）－x＋3＝0的解集为{－2－,1,3}；
故选：
A
根据函数奇偶性的性质求出当x＜0时的解析式,解方程即可.
本题主要考查方程根的求解,根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键.注意要进行分类讨论.
8.【参考答案】D
【试题分析】解：
令t＝x2－ax－3a＝－－3a,则由题意可得函数f（x）＝log2t,
函数t在区间（－∞,－2]上是减函数且t＞0恒成立.
∴,求得－4≤a＜4,
故选：
D.
令t＝x2－ax－3a,则得函数f（x）＝log2t,由条件利用复合函数的单调性、二次函数、对数函数的性质可得,由此求得a的范围.
本题主要考查复合函数的单调性、二次函数、对数函数的性质,属于中档题.
9.【参考答案】D
【试题分析】解：
由题可知f（x）＝ex－1＞－1,g（x）＝－x2＋4x－3＝－（x－2）2＋1≤1,
若有f（a）＝g（b）,则g（b）∈（－1,1],
即－b2＋4b－3＞－1,即b2－4b＋2＜0,
解得.
所以实数b的取值范围为
故选：
D.
确定两个函数的值域,根据f（a）＝g（b）,可得g（b）∈（－1,1],即可求得实数b的取值范围.
本题考查函数的值域,考查解不等式,同时考查学生分析解决问题的能力.
10.【参考答案】B
【试题分析】解：
取a＝－2,则f（x）＝x2＋4,g（x）＝－x2－8x＋4.画出它们的图象,如图所示.
则H1（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标,H2（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标,
由
解得或,
∴A＝4,B＝20,A－B＝－16.
故选：
B.
本选择题宜采用特殊值法.取a＝－2,则f（x）＝x2＋4,g（x）＝－x2－8x＋4.画出它们的图象,如图所示.从而得出H1（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标,H2（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标,再将两函数图象对应的方程组成方程组,求解即得.
本题主要考查了二次函数的图象与性质、函数最值的应用等,考查了数形结合的思想,属于中档题.
11.【参考答案】{x|x＜2} {x|x≤0}
【试题分析】解：
集合A＝{x|y＝ln（1－x）}＝{x|1－x＞0}＝{x|x＜1},
B＝{x|2x（x－2）＜1}＝{x|x（x－2）＜0}＝{x|0＜x＜2},
则A∪B＝{x|x＜2},
∁RB＝{x|x≤0或x≥2},
所以A∩（∁RB）＝{x|x≤0}.
故答案为：
{x|x＜2}；{x|x≤0}.
化简集合A、B,根据并集和补集与交集的定义,计算即可.
本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题.
12.【参考答案】（－2,1] [－log23,＋∞）
【试题分析】解：
由题意可得,,
解可得,－2＜x≤1,
故定义域为（－2,1],
∵在（－2,1]上单调递减,
∴f
（1）≤f（x）,
∴f（x）≥－log23.
故答案为：
（－2,1],[－log23,＋∞）.
由题意可得,,解不等式即可求解定义域；由在（－2,1]上单调递减,可求函数的值域.
本题主要考查了函数的定义域及值域的求解,求解值域的关键是单调性的应用.
13.【参考答案】2 1或－4
【试题分析】解：
∵函数,
∴f（－2）＝log22＝1,
f（f（－2））＝f
（1）＝2,
f（x）＝2,
当x≥0时,f（x）＝2x＝2,解得x＝1,
当x＜0时,f（x）＝log2（－x）＝2,解得x＝－4.
∴实数x的值是1或－4.
故答案为：
1或－4.
推导出f（－2）＝log22＝1,从而f（f（－2））＝f
（1）,由此能求出结果；由f（x）＝2,当x≥0时,f（x）＝2x＝2,当x＜0时,f（x）＝log2（－x）＝2,由此能求出实数x的值.
本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
14.【参考答案】2 1＜a≤3
【试题分析】解：
f（x）为奇函数,则f（－x）＝－f（x）；
所以f（－1）＝1－m＝－（－1＋2）＝－1,则m＝2；
函数f（x）在区间[－1,a－2]上满足对任意x1≠x2,都有成立；
则函数f（x）在[－1,2]上为增函数；
又函数f（x）的增区间为[－1,1]；则[－1,1]⊆[－1,a－2],得1＜a≤3；
故答案为：
2,1＜a≤3；
f（x）为奇函数,有,可计算出m的值为2,；函数f（x）在区间[－1,a－2]上满足对任意x1≠x2,都有成立,即函数f（x）在[－1,2]上为增函数,
由函数f（x）在[－1,1],则[－1,1]⊆[－1,a－2],得＜a≤3；
考查函数奇偶性求参数,分段函数的单调性,根据函数单调性求参数的值,属于基础题.
15.【参考答案】1
【试题分析】解：
：
＝－1＋lg4,
＝－1,
＝1.
故答案为：
1.
结合指数与对数的运算性质即可直接求解.
本题主要考查了指数与对数的运算性质的简单应用,属于基础试题.
16.【参考答案】[,）
【试题分析】
本题主要考查了利用一元二次函数的单调性求函数的值域,较难.解题的关键是根据函数的图象得出x1的取值范围,进而转化为y＝＋在x1的取值范围上的值域,即为所求,先作出函数图象,然后根据图象可得,要使存在x1,x2,当0≤x1＜x2＜2时,f（x1）＝f（x2）,则必有0≤x1＜且x＋在[0,）的最小值大于等于2x－1在[,2）的最小值,从而得出x1的取值范围,然后再根据x1f（x2）＝x1f（x1）＝＋,即问题转化为求y＝＋在x1的取值范围上的值域.
【试题答案】
解：
作出函数的图象：
∵存在x1,x2,当0≤x1＜x2＜2时,f（x1）＝f（x2）
∴0≤x1＜
∵x＋在[0,）上的最小值为；2x－1在[,2）的最小值为
∴x1＋≥,x1≥
∴≤x1＜
∵f（x1）＝x1＋,f（x1）＝f（x2）
∴x1f（x2）＝x1f（x1）＝＋
令y＝＋（≤x1＜）
∴y＝＋为开口向上,对称轴为x＝－的抛物线
∴y＝＋在区间[,）上递增
∴当x＝时y＝
当x＝时y＝
∴y∈[,）
即x1f（x2）的取值范围为[,）
故答案为[,）.
17.【参考答案】（,＋∞）
【试题分析】解：
∵f（x）是奇函数,∴f（－1）＝－f
（1）,
即（a＋1）•1＝－（a－1）•1,∴a＝0,
∴f（x）＝－x|x|,f[f（x）]＝x3|x|,
∴mx2＋m＞f[f（x）]＝x3|x|,
即对所有的x∈[－2,2]恒成立.
∵x∈[－2,2],∴x2＋1∈[1,5]；
∴＝＝≤,
∴；
∴实数m的取值范围为（,＋∞）.
故答案为：
（,＋∞）.
由f（x）为奇函数求出a＝0,再求出f[f（x）]＝x3|x|,然后由关于x的不等式mx2＋m＞f[f（x）]对所有的x∈[－2,2]恒成立,可得对所有的x∈[－2,2]恒成立,进一步求出m的范围.
本题考查了函数的奇偶性,基本不等式和函数恒成立问题,考查了转化思想和计算能力,属中档题.
18.【参考答案】解：
（1）集合A＝{x|（x＋2）（x－5）≤0}＝{x|－2≤x≤5},
＝{x|－2≥0}＝{x|≤0}＝{x|3＜x≤6},
所以A∩B＝{x|3＜x≤5},
∁RA＝{x|x＜－2或x＞5},
则（∁RA）∪B＝{x|x＜－2或x＞3}；
（2）若C⊆（A∩B）,则
当C＝∅时,a＋1＞2a－1,解得a＜2；
当C≠∅时,由,解得2＜a≤3；
综上知,实数a的取值范围是a＜2或2＜a≤3.
【试题分析】
（1）化简集合A、B,根据交集、补集和并集的定义计算即可；
（2）当C⊆（A∩B）时,讨论C＝∅和C≠∅时,分别求出对应a的取值范围.
本题考查了集合的化简与运算问题,也考查了运算与推理能力,是基础题.
19.【参考答案】解：
（1）由＞0,得x＜－1或者x＞1,
即函数的定义域为（－∞,－1）∪（1,＋∞）.
（2）①证明：
设1＜x1＜x2,
f（x1）－f（x2）＝（）
＝＝,
因为1＜x1＜x2,所以x2－x1＞0,
所以x1x2－1＋（x2－x1）＞x1x2－1－（x2－x1）＞0,
所以,
所以f（x₁）＞f（x₂）,
故f（x）在（1,＋∞）上是减函数.
②由
（1）知函数f（x）在（1,＋∞）上是减函数,
由f（2＋m）＞f（2m－1）,
得1＜2＋m＜2m－1,得m＞3.
【试题分析】
（1）由＞0,得x＜－1或者x＞1,解出即可；
（2）①设1＜x1＜x2,f（x1）－f（x2）＝（）＝＝,判断正负得出结论；
②由
（1）知函数f（x）在（1,＋∞）上是减函数,由f（2＋m）＞f（2m－1）得出m.
考查函数求定义域,判断函数单调性,单调性的应用,中档题.
20.【参考答案】解：
（1）当1≤t≤30时,由题知f（t）•g（t）＝（－2t＋200）•（）＝－t2＋40t＋6000,
当31≤t≤50时,由题知f（t）•g（t）＝45（－2t＋200）＝－90t＋9000,
所以日销售额S与时间t的函数关系为S＝；
（2）当1≤t≤30,t∈N时,S＝－（t－20）2＋6400,当t＝20时,Smax＝6400元；
当31≤t≤50,t∈N时,S＝－90t＋9000是减函数,当t＝31时,Smax＝6210元.
∵6210＜6400,
则S的最大值为6400元.
【试题分析】
（1）根据销售额等于销售量乘以售价得S与t的函数关系式,此关系式为分段函数；
（2）求出分段函数的最值即可.
考查学生根据实际问题选择函数类型的能力.理解函数的最值及其几何意义的能力.
21.【参考答案】解
（1）函数f（x）存在两个零点x1,x2,满足x1＜1＜x2＜3,
∴,即,解得；
（2）设t＝2x（t＞0）,则原方程可化为t2＋at＋a＋1＝0（*）,
原方程有实根,即方程（*）有正根,令g（t）＝t2＋at＋a＋1,
①若方程（*）有两个正实根t1,t2,
则,解得；
②若方程（*）有一个正实根和一个负实根（负实根不符合题意,舍去）,
则g（0）＝a＋1＜0,解得a＜－1；
③若方程（*）有一个正实根和一个零根,
则g（0）＝0且－,解得a＝－1；
综上所求：
实数a的取值范围为（－∞,2－2].
【试题分析】
（1）根据函数的零点存在区间,利用零点存在定理,列出不等式组,即可求出实数a的取值范围.
（2）利用换元法把原方程转化为一元二次方程,分3种情况讨论方程根的正负,利用根与系数的关系列出不等式组,求出实数a的取值范围.
考查了二次函数的图象和性质,考查了一元二次方程根的分布,做题时注意对根的正负分情况讨论,是中档题.
22.【参考答案】解：
（1）函数f（x）＝x2－2ax＋5＝（x－a）2＋5－a2,且a＞1,
∴f（x）在[1,a]上是减函数,又定义域和值域均是[1,a],
∴,即,解得a＝2.
（2）①当a≤0时,函数y＝|f（x）|在[0,1]上单调递增,
故ymax＝f
（1）＝6－2a,
②当0＜a≤1时,此时△＝4a2－5＜0,且f（x）图象开口向上,对称轴在（0,1）内,
故ymax＝max{f（0）,f
（1）}＝max{5,6－2a}＝,
综上所求：
ymax＝.
【试题分析】
（1）利用二次函数的图象,求出二次函数的最值,列出不等式组,即可解出a的值.
（2）对对称轴的位置分类讨论,结合二次函数的图象,求出函数的最大值.
考查了二次函数的图象和性质,考查了利用二次函数图象求最值的方法,是基础题.
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