第一讲小数巧算二.docx

第一讲小数巧算二.docx

《第一讲小数巧算二.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一讲小数巧算二.docx（38页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第一讲小数巧算二

contents目录

第一讲小数巧算二01页

第二讲生活中的小数07页

第三讲除法我最快13页

第四讲因数与倍数21页

第五讲质数与合数29页

第六讲加乘原理进阶37页

第七讲期中复习

第八讲多边形的面积三45页

第九讲公因数与公倍数53页

第十讲分数比较大小63页

第十一讲乔治的火车71页

第十二讲割补法巧算面积一79页

第十三讲割补法巧算面积二87页

第十四讲鲨鱼的牙齿93页

第十五讲期末复习

第一讲小数巧算二

1、乘法分配律

2、提取公因数

知识精讲

小数的四则混合运算和整数四则混合运算的顺序是相同的，计算时要注意先算乘除法，后算加减法，有括号的要先算括号内的，在小数的四则混合运算中，乘法分配律是常见的一种巧算方法.

例如：

.

例1计算：

（1）1.25×8.88；

（2）2.5×4.4.

练1计算：

（1）2.5×4.88；

（2）12.5×0.82.

例2计算：

（1）7.6×10.1；

（2）4.75×9.9.

练2计算：

（1）2.5×1.02；

（2）12.5×9.8.

知识精讲

当算式中含有共同的因数时，可以逆用乘法分配律，把公因数提取出来，这就是提取公因数.在小数计算中，同样也可以通过提取公因数来简化计算.

例如：

2.7×4.6+2.7×5.4=2.7×（4.6+5.4）=2.7×10=27.

例3计算：

2.4×6.5+2.4×4.3+7.6×10.8.

练3计算：

2.2×3.5+2.2×2.1+5.6×7.8.

例4计算：

（1）3.6×9.9+0.36；

（2）0.47×0.46-4.7×0.045.

练4计算：

（1）8.4×10.1-0.84；

（2）20.18×5.7+201.8×0.43.

挑战极限

计算：

19.94×20.17-19.93×20.18.

第二讲生活中的小数

错中求解

知识精讲

错中求解的这类题型一般是采用倒推的方法，从错误的结果入手分析造成错误的主要原因.在加减法中，利用和与差的变化规律反求加数或者被减数、减数；在乘除法中，利用积与商的变化规律反求出因数或者被除数、除数.

例1小高在计算一道小数加法计算题时，把一个加数的十分位上的6看成了9，另一个加数百分位上的9看成了6，那么错误的答案和正确的答案之间相差多少？

练1萱萱在计算一道小数加法计算题时，把一个加数的百分位上的2看成了5，另一个加数十分位上的1看成了7，那么错误的答案和正确的答案之间相差多少？

例2亮亮在计算一道小数减法计算题的时候，把被减数的十分位上的3看成了5，把减数百分位上的1看成7，那么错误的答案和正确的答案之间相差多少？

练2佳佳在计算一道小数减法计算题的时候，把被减数百分位上的9看成了6，把减数十分位的0看成8，那么错误的答案和正确的答案之间相差多少？

例3墨莫在计算小数乘法算式的时候，把其中的一个因数1.7看成是17，计算的结果比实际的结果大19.89，那么正确的乘积应该是多少？

练3萌萌在计算一道小数乘法算式的时候，把其中的一个因数2.3看成是23，计算的结果比实际的结果大31.05，那么正确的乘积应该是多少？

例4阿呆在写一个两位小数时，不小心把小数点漏了，结果得到的数比原数大72.27，那么这个两位小数是多少？

练4阿瓜读一个一位小数时，不小心漏读了小数点，结果比原来多6.3，那么原来的小数是多少？

挑战极限

买3支铅笔和2支钢笔共用11.45元，如果买2支铅笔和3支钢笔则共用16.8元，那么买1支铅笔和1支钢笔各用多少元？

第三讲除法我最快

1、整除的概念和特殊数的整除特性

2、数字求和法

3、多个数的整除问题

知识精讲

如果整数a除以整数b（

），除得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作

.

如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说6不能整除a.

如果自然数a和b都能被自然数c整除，那么，它们的和“a+b”或差“a-b”也能被c整除.例如：

60能被5整除，40能被5整除，它们的和60+40=100及差60-40=20也能被5整除.

知识精讲

（1）能被2，5整除的数的特性：

个位数字能被2或5整除；

（2）能被4，25整除的数的特性：

末两位能被4或25整除；

（3）能被8，125整除的数的特性：

末三位能被8或125整除.

例1

（1）判断下面6个数的整除性：

23480，34375，97500，5880，7538，6512，哪些数能被4整除？

哪些数能被125整除？

（2）爸爸买了一张写字桌，发票上破了一个洞，上面只剩下“

”，其中方框表示破了的洞.爸爸记得这张写字桌的价格是整数元，并且是8的倍数，请问：

这张写字桌的价格可能是多少元呢？

练1

（1）判断下面6个数的整除性：

3415，7560，3400，45235，5886，7300，哪些数能被8整除？

哪些数能被25整除？

（2）在

的方框内填入数字，使它能被125整除，那么方框内可以填入的数字是多少？

知识精讲

能被3，9整除的数的特性：

各位数字之和能被3或9整除.

以一个三位数为例说明一下：

一个三位数

，可以拆成

，因为“

”是3的倍数，所以只要让“

”是3的倍数就可以，故得出结论：

如果一个数的各位数字之和能被3或9整除，那么这个数就能被3或9整除.

对于一个数位特别多的数来说，用数字求和法比较麻烦，可以直接用“弃三法”或“弃九法”来计算，即可以先抛弃数字3或9的倍数，然后再把剩余的数字求和.

例2

（1）判断下面6个数的整除性：

87563，31209，64653，403659，198954，1112884，些数能被3整除？

哪些数能被9整除？

（2）

是一个四位数，张老师说：

“我在方框内填入1个数字，使得这个四位数能被9整除.”请问：

张老师在方框中填入的数字可能是多少？

练2

（1）判断下面6个数的整除性：

3124，31206，382113，527689101，55554444，12030456，哪些数能被3整除？

哪些数能被9整除？

（2）在52后面添上一个一位数，使得组成的三位数是3的倍数.请问：

添上的这个一位数可能是多少？

知识精讲

我们已经学习了如何利用“整除特征”解决单个数的整除问题.如果涉及多个数的整除问题，我们应该先单独考虑，再找到能同时满足题意的答案，例如：

一个数既能被5整除，又能被3整除，可先看满足被5整除的数的特性，确定尾数，再看能被3整除的数的特性.

若一个数能被45整除，由45=5×9，能被45整除的数，也能被5和9整除，那么只需考虑5和9的整除特征即可.

注意虽然45=3×15，但是在考虑能否被45整除时，不能只考虑被3和15整除，因为15同时满足既是5的倍数，又是3的倍数，但是15不是45的倍数，所以把一个大数分拆成两个数时，这两个数一定要互质.

例3一个六位数

能同时被2、3、5整除.请问：

这个六位数最大是多少？

练3一个五位数

能同时被2、3、5整除.请问：

这个五位数最大是多少？

例4王厂长给72名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上.但是记账的那张纸破了两个洞，上面只剩下“

”，其中方框表示破了的洞.王厂长记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元.请问：

这72名工人的总工资有可能是多少元呢？

练4五位数

能被15整除，请问：

这个五位数最大是多少？

挑战极限

判断1234567891011……484950这个多位数能否被9整除？

第四讲因数与倍数

1、因数与倍数的定义

2、因数个数定理

知识精讲

一、因数与倍数的定义

因数和倍数的定义：

对整数a和

，如果

，我们就称a是b的因数，b是a的倍数.

在算式24=4×6中，24是4和6的倍数，4和6是24的因数，根据定义，我们很容易找到一个数的所有因数，例如对12：

因为12=1×12=2×6=3×4，可知12可以被1、2、3、4、6、12整除，那么它的因数有1、2、3、4、6、12，共6个.

找一个数的因数的方法，可以列乘法算式，从1开始一对一对地找.一个数的因数个数是有限个，最小的因数是1，最大的因数是这个数本身.

找一个数的倍数的方法，用这个数和任意一个自然数（不为0）相乘，所得的乘积就是这个数的倍数.一个数的倍数个数是无限个，最小的倍数就是这个数本身.

从上面“12”的分拆可以看出，因数具有“成对出现”的特征，也就是：

最大因数对应最小因数、第二大因数对应第二小因数等.所以在写一个数的所有因数时，可以逐对写出.另外如果计算较大因数不太方便，可以转而计算与其成对的较小因数.

例1松鼠妈妈摘了36颗松子，现在要把这些松子平均分堆（至少分成2堆），要求每堆不能少于4颗.请问：

共有多少种不同的分法？

练1李师傅要把一根长40米的木材平均锯成小段（至少据成2段），要求每段至少长3米.请问：

共有多少种不同的锯法？

例2334455的第二大因数是多少？

第三大因数是多少？

练2345678的第二大因数是多少？

第三大因数是多少？

知识精讲

二、找因数个数

通过枚举的方法可以逐对写出一个数的所有因数，从而算出它的因数个数.但是对很大的数，例如20120000，用枚举来计算个数便很麻烦，所以我们要采用新的方法计算.

以72为例，首先采用校举可知72共12个因数，分别为1，72；2、36；3、24；4、18；6、12；8、9.因为72的因数能整除72，而72的所有质因数也都能整除72，所以对72进行质因数分解，有：

，那么72的所有因数应当由若干个2与若干个3构成.显然，2有0个到3个共4种选择；3有0个到2个共3种选择，根据乘法原理，72的因数共4×3=12个，见下表（注意

）：

从72的这个例子，我们可以总结出计算因数个数的一个简单做法：

72

因数个数：

等于质因数的指数加1再相乘.

例：

，M的因数个数为：

.

若一个数是质数，那么它只有两个因数，就是1与自身.

一个数的因数具有“可配对”的特点，在练习时大家可以发现，平方数在进行配对时会出现两个重复的数，所以平方数有奇数个因数，根据上面关于因数个数的知识我们可以知道，有奇数个因数的数一定是平方数，有偶数个因数的数一定不是平方数.

例3下列各数分别有多少个因数？

（1）23；

（2）64；（3）75；（4）225.

练3下列各数分别有多少个因数？

（1）18；

（2）47；（3）243；（4）196.

例4在不超过800的正整数中，有多少个数有奇数个因数？

有多少个数有偶数个因数？

练4在不超过400的正整数中，有多少个数有奇数个因数？

有多少个数有偶数个因数？

挑战极限

3600共有多少个因数？

其中有多少个是3的倍数？

有多少个是4的倍数？

有多少个不是6的倍数？

第五讲质数与合数

1、质数与合数的定义

2、分解质因数

知识精讲

一、质数与合数的定义

什么是质数？

每一个数都能写成若干个数相乘的形式，考虑到任何一个数都能写成若干个1乘它本身的形式，所以不考虑1作为乘数的情况：

6=2×3，8=2×4=2×2×2，12=2×6=3×4=2×2×3……这些数都能拆成若干个不为1的数相乘的形式，我们把这样的数称为合数，而像2，3，7……这些不能拆成若干个不为1的数相乘的形式的数，我们称之为质数.如果说得形象一点，质数就是“拆不开”的数，合数就是拆得开的数.

严格说来，质数就是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数.注意，1既不是质数也不是合数.

例1

（1）自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字相差2，这样的自然数有哪些？

（请全部写出）

（2）自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有哪些？

（请全部写出）

练1

（1）有这样的两位质数，个位和十位交换之后还是质数，这样的质数有哪些？

（请全部写出）

（2）用数字2、3和5，可以得到不同的一位数、两位数和三位数，这些数中质数有哪些？

（请全部写出）

例2

（1）两个不同的质数的和是21，那么这两个质数可能是多少？

（请全部写出）

（2）三个互不相同的质数的和是22，那么这三个质数的乘积可能是多少？

（请全部写出）

练2

（1）两个不同的质数的和是28，那么这两个质数的乘积可能是多少？

（请全部写出）

（2）三个互不相同的质数的和是24，那么这三个质数的乘积可能是多少？

（请全部写出）

知识精讲

二、分解质因数

我们知道了质数与合数的概念，每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，比如30=2×3×5.其中质数2、3、5，我们称之为30的质因数，那么这个分拆的过程就叫做分解质因数.同学们请注意：

分解式应该把质因数按从小到大的顺序写好，每个数分解质因数的形式是唯一的.

我们一般使用短除法来分解质因数.如下图所示，我们将30分解质因数，在计算的过程中要善用各种特殊数的整除特性.

100在分解质因数时可以写成：

；280在分解质因数时可以写成

.这种写法更简洁更方便，其中位于质因数右上角，表示质因数个数的数叫作指数，如：

这里280的分解式中5和7的指数都是1，写的时候可以省略.

例3请把下面的数分解质因数：

（1）100；

（2）88；（3）75；（4）360.

练3请把下面的数分解质因数：

（1）40；

（2）63；（3）175；（4）150.

例4甲、乙、丙三人的年龄乘积为84，其中甲、乙的年龄和正好等于丙的年龄，且甲比乙大.请问：

这三人的年龄分别是多少岁？

练4大毛、二毛、三毛这三人去图书馆买书，已知他们买书的本数刚好是3个相邻自然数，且乘积是210.请问：

三人共买了多少本书？

挑战极限

甲、乙两人的年龄和为一个两位质数，这个数的个位数字与十位数字的和是13，甲比乙大13岁，那么乙今年多大？

第六讲加乘原理进阶

1、标数法

2、染色法

知识精讲

如果完成一件事有几类方式，在每一类方式中又有不同的方法，那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数，这就是加法原理.如果完成一件事分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数，这就是乘法原理.

对于加乘原理，要深刻理解它的基本思想和基本原则.

加法原理又叫分类计数原理，在分类时要注意不重不漏.可以用树形图来帮助理解加法原理，树形图的每一次分叉，就是在分类，要计算总的方法数，就是把每一个分枝下的方法数加起来，这便是加法原理；树形图虽然有助于我们解决加法原理问题，但是有时候树形图过于复杂，可操作性差，此时，我们就把树形图加以简化，保留其加法原理核心，用数字来表示其各个分支，我们称之为标数法，标数法是加法原理的重要运用，有利于帮助我们解决较为复杂的加法原理问题.

例1如图所示，鑫鑫想从A地去B地玩，那么有多少条最短路线？

练1如图所示，墨莫要从A地飞到B地，那么有多少条最短路线可以选择？

例2在如图的街道示意图中，只能沿着格线前进，C处因施工不能通行，那么从A到B的最短路线有多少条？

练2“五一”长假就要到了，小新和爸爸决定去动物园玩.如果A点因为施工无法通行，那么聪明的小朋友，你能找出几条从家到动物园的最短路线呢？

知识精讲

乘法原理又叫分步计数原理，在分步时要注意“前不影响后”.染色问题是应用乘法原理最常见的一类题型，染色的时候，要尽量避免“隔”着染，一定不要“跳”着染，而且，第一步要尽量去染“接触最多”的那一部分，这样，才能够使得后面的染色过程尽量避开“前影响后”.

例3如图，用四种颜色对四个部分进行染色，要求相邻部分不同色，那么有多少种不同的染色方法？

练3如果用四种颜色对如图所示的四个区域进行染色，要求相邻部分不同色，那么有多少种不同的染色方法？

例4如图，把A、B、C，D、E这五部分用4种不同的颜色染色，每部分只染一种颜色且相邻的部分不能使用同一种颜色.请问：

这幅图共有多少种不同的染色方法？

练4用3种颜色去涂如图所示的蝴蝶的5个区域，要求每相邻两个区域不同色，那么一共有多少种涂法？

挑战极限

用四种颜色对如图所示的区域进行染色，要求有线段连接的两个圆圈不同色，那么共有多少种不同的染法？

第八讲多边形的面积三

1、三角形反求底高问题

2、梯形底高反求问题

3、特殊图形的面积求法

知识精讲

回顾基本直线形的面积公式：

正方形的面积=边长×边长；长方形的面积=长×宽；

平行四边形的面积=底×高；三角形的面积=底×高÷2；

梯形的面积=（上底+下底）×高÷2.

在三角形中：

（1）反求高：

高=三角形面积×2÷底；

（2）反求底：

底=三角形面积×2÷高.

这种反求的方法，在几何问题中是经常会遇到的.

需要注意的是，反求三角形的底或高时，切记首先三角形面积要“×2”.

例1如图，在平行四边形ABCD中，三角形BEF的面积为44平方厘米，BF长为11厘米，FC长为3厘米.请问：

平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？

练1如图，直角梯形ABCD的上底是6厘米，下底是10厘米，三角形ACD的面积是21平方厘米.请问：

梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

知识精讲

在梯形中：

（1）反求高：

高=梯形的面积×2÷（上底+下底）；

（2）反求上底：

上底=梯形的面积×2÷高-下底；

（3）反求下底：

下底=梯形的面积×2÷高-上底.

需要注意的是，反求梯形的底或高时，切记首先梯形面积要“×2”.

例2如图，梯形ABCD的上底是3厘米，下底是13厘米，梯形ABCD的面积是48平方厘米.请问：

三角形ABE的面积是多少平方厘米？

练2如图，直角梯形ABCD的高是6厘米，下底是12厘米，梯形ABCD的面积是51平方厘米.请问：

三角形ABE的面积是多少平方厘米？

知识精讲

如果只知道正方形的对角线长，不知道边长，该如何求出正方形的面积呢？

如下图，我们把正方形沿对角线剪成两个一样的等腰直角三角形，再拼接成一个大的等腰直角三角形，总面积没有发生改变，由此可以得出正方形面积公式：

正方形面积=对角线的平方÷2.

类似地，只知道等腰直角三角形的斜边长，不知道直角边长，也能求出等腰直角三角形的面积：

等腰直角三角形的面积=斜边的平方÷4.

从图中我们也可以看出，等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，而且斜边上的高还把等腰直角三角形分成了两个一模一样的小等腰直角三角形.

例3两个等腰直角三角形如图所示摆放，恰好拼成一个直角梯形，已知较小的等腰直角三角形斜边长为8厘米.请问：

这个直角梯形的面积是多少平方厘米？

练3如图所示是一个由正方形ABCD和等腰直角三角形BCE组成的梯形，BD长4厘米.请问：

这个梯形的面积是多少平方厘米？

例4四个等腰直角三角形拼成如图所示的平面图形，已知最小的等腰直角三角形斜边长为2厘米.请问：

该图形的面积是多少平方厘米？

练4三个等腰直角三角形拼成如图所示的平面图形，已知最小的等腰直角三角形斜边长为4厘米.请问：

该图形的面积是多少平方厘米？

挑战极限

如图，梯形ABCD的上底AD长5厘米，下底BC长12厘米，腰CD的长为8厘米.过B向CD作出的垂线BE的长为9厘米，那么梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

第九讲公因数与公倍数

1、短除法

2、分解质因数

3、公因数与公倍数的应用

知识精讲

一、短除法

公因数就是几个数公共的因数，其中最大的一个称为最大公因数；公倍数就是几个数公共的倍数，其中最小的一个称为最小公倍数.特别的，1为所有数的公因数.

1、2、3和6都是24和30的公因数，6是最大公因数.可以发现1、2、3和6都是6的因数.

12和18的公倍数有36、72、108、……，36是最小公倍数.可以发现36、72、108及其他公倍数都是36的倍数.

通常，我们把两个数a，b的最大公因数记为（a，b）；a，b的最小公倍数记为

.三个数a，b，c的最大公因数记为（a，b，c）；a，b，c的最小公倍数记为

.如：

14和21的最大公因数是7，记作：

（14，21）=7；14和21的最小公倍数是42，记作：

.15、10、21的最大公因数是1，记作：

（15，10，21）=1；15、10、21的最小公倍数是210，记作：

.

若两个数互质，那么它们的最大公因数就是1，最小公倍数就是它们的乘积；若两个数成倍数关系，那么它们的最大公因数就是较小的那个数，最小公倍数就是较大的那个数.

在现实生活中我们常常关心几个数的最大公因数和最小公倍数，那么我们怎样来求几个数的最大公因数和最小公倍数呢？

除了直接枚举之外，最常用的方法是“短除法"．

例1填空：

（1）16与24共有________个公因数；

（2）（12，18）=________，[12，18]=________；

（3）（15，30）=________，[15，30]=________；

（4）（6，7，8）=________，[6，7，8]=________.

练1填空：

（1）30与50共有________个公因数；

（2）（6，9）=________，[6，9]=________；

（3）（5，8）=________，[5，8]=________；

（4）（4，5，6，7）=________，[4，5，6，7]=________.

知识精讲

二、分解质因数法

分解质因数法比较实用，也利于我们分析数的构成.

例2利用分解质因数法找出下列各组数的最大公因数和最小公倍数.

（1）120和200

（2）25、30和40

练2利用分解质因数法找出下列各组数的最大公因数和最小公倍数.

（1）512和80

（2）32、60、84和256

知识精讲

三、公因数与公倍数的应用

学习了如何求公因数与公倍数，接下来看一下在实际生活中如何运用公因数与公倍数解决问题.

例3老师在班上发水果，一共有78个苹果，95个梨，平均分给班上的学生，最后剩下6个苹果，5个梨，请问：

班里可能有多少名学生？

练3把一块长80厘米，宽64厘米的长方形铁板，剪成面积相等的小正方形而无剩余，小正方形的边长都是整厘米数.请问：

小正方形的边长可能是多少厘米？

例4小高每6天去一趟图书馆，豆豆每4天去一趟图书馆，已知6月1日两人在图书馆遇到了.请问：

下一次两人在图书馆遇到是6月几日？

练4有一个电子钟，每走8分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子钟既响铃又亮灯.请问：

下一次既响铃又亮灯是几点钟？

挑战极限

两个自然数不成倍数关系，它们的最大公因数是18，最小公倍数是216，其中一个数是54.请问：

另一个数是多少？

第十讲分数比较大小

1、通分比大小

2、交叉相乘法

3、分数比较大小的应用

知识精讲

一、通分子、通分母

我们知道分数的意义是：

把“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数.易知：

如果两个分数分母相同，分子越大分数越大.

如果两个分数分子相同，分母越大分数越小.

如果两个分数分子和分母都不同，我们应该怎么比较它们的大小呢？

最常用的方法是利用分数的基本性质把它们化成分母相同或分子相同的分数.

例1

（1）把4个数

，由小到大排列起来；

（2）