最新勾股定理练习题整理及答案解析.docx

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最新勾股定理练习题整理及答案解析

勾股定理

一、 勾股定理及证明

1.勾股定理基础

2.简单的计算

3.几何图形中的计算

4.勾股定理的几何证明

二、 勾股定理的逆定理

三、 勾股定理的应用

一、 勾股定理及证明

1.勾股定理基础

1.【易】（初二数学下期末复习）在 Rt△ ABC 中， ∠C = 90 ︒ ， a 、 b 、 c 分别表示 ∠ A 、

∠ B 、 ∠C 的对边，则下列各式中，不正确的是（）

A． a 2 + b2 = c2B． c 2 - a 2 = b 2C． a = c2 - b2D． a 2 - b2 = c2

【答案】D

（

2.【易】 2010 实验初二上期中）下列说法正确的是（）

A．若 a 、 b 、 c 是 △ ABC 的三边，则 a2 + b2 = c2

B．若 a 、 b 、 c 是 Rt △ ABC 的三边，则 a2 + b2 = c2

C．若 a 、 b 、 c 是 Rt △ ABC 的三边， ∠C = 90 ︒ ，则 a2 + b2 = c2

D．若 a 、 b 、 c 是 Rt △ ABC 的三边， ∠A = 90︒ ，则 a2 + b2 = c2

【答案】C

3.【易】（沈阳）在下列说法中正确的是（）

A．在 Rt△ ABC 中， AB 2 + BC 2 = AC 2

B．在 Rt△ ABC 中，若 a = 3 ， b = 4 ，则 c = 5

C．在 Rt△ ABC 中，两直角边长都为 15，则斜边长为15 2

D．在直角三角形中，若斜边长为 10，则可求出两直角边的长

【答案】C

4.【易】（2010 年北京西城外期中）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的

三角形是（）

A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形

【答案】B

1

5.【易】（深圳中学初二上期中）把直角三角形的两直角边同时扩大到原来4 倍，则其斜

边扩大到原来的（）倍，所得的三角形仍为直角三角形

A． 2B． 4C． 8D．16

【答案】B

6.【易】直角三角形的两直角边同时扩大为原来的 2 倍，其斜边扩大到原来的（）

A． 2 倍B． 3 倍C． 4 倍D． 5 倍

【答案】A

（

7.【易】 人大附中 2013 年第二学期期中初二年级数学练习）某校办工厂要制作一些等腰

三角形的模具，工人师傅对四个模具的尺寸按照底长、腰长和底边上高的顺序进行了记

录，其中记录有错误的是（）

A．10，26，24B．16，10，6C．30，17，8D．24，13，5

【答案】A

8.【易】（2013 年理工分校第二学期初二数学期中练习）在 Rt △ ABC 中， ∠C = 90 ︒ ，周长

为 60，斜边与一条直角边之比为13 :

 5 ，则这个三角形三边长分别是（）

A．5、4、3B．13、12、5C．10、8、6D．26、24、10

【答案】D

（

9.【易】 2013 年理工分校第二学期初二数学期中练习）小明想知道学校旗杆的高，他发

现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当它把绳子的下端拉开 5m 后，发现下端刚好接触地

面，则旗杆的高为（）

A．8mB．10mC．12mD．14m

【答案】C

【解析】解：

由题意得， AB 为旗杆的高， AC = AB + 1 ， BC = 5 米．

已知 AB ⊥ BC ，根据勾股定理得 AB =AC 2 - BC 2 =

（AB + 1）2 - 25

解得 AB = 12 米

10. 【易】美丽的人造平面珊瑚礁图案．图中的三角形都是直角三角形，图中的四边形都是

正方形．如果图中所有的正方形的面积之和是 980cm2．问：

最大的正方形的边长是

_______．

2

【答案】14cm

图中所有正方形的面积之和等于 5 倍的最大的正方形的面积，980÷5=196cm 2

11. 【易】 2013 年第二学期五十七中初二年级数学学科期中试卷）

已知 x - 2 + y - 3 2 = 0 ，如果以 x ， y 的长为直角边作一个直角三角形，那么这个直

角三角形的斜边长为（）

A． 5B．5C． 7D． 15

【答案】C

12. 【易】（2013 年理工分校第二学期初二数学期中练习）如图，在四边形 ABCD 中，

AB = BC = 2 ， CD = 3 ， AD = 1 ，且 ∠ABC = 90︒ ，试求 ∠A 的度数．

D

A

BC

【答案】连结 AC ，

D

A

BC

在 Rt △ ABC 中， ∠B = 90︒ ， AB = BC = 2 ，

∴ ∠BAC = 45︒ ， AC 2 = AB 2 + BC 2 = 8 ，

∴ AC 2 + AD2 = CD 2 ，∴ ∠CAD = 90︒ ，

∴ ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 135 ︒

3

（

13. 【易】 2013 年第二学期八年级数学学科期中统练试卷）如图所示的一块地，已知

AD = 4m ， CD = 3m ， AD ⊥ DC ， AB = 13m ， BC = 12m ，求这块地的面积．

C

A

D

B

【答案】 24

【解析】连接 AC

C

AD

B

在 △ ACD 中， ∠D = 90︒ ， AD = 4m ， CD = 3m ，

∴ AC = 5 ， AB 2 = AC 2 + BC 2 ，

∴ ∠ACB = 90︒ ，

11

∴ S =

22

14. 【易】看下列两组勾股数

⑴ abc⑵abc

345435

512136810

7242581517

94041102426

116061123537

………………

从以上的勾股数的表中，你发现了什么规律？

11

22

11

44

15. 【中】（江苏省竞赛题）对如下的 3 个命题:

命题 1：

边长为连续整数的直角三角形是存在的．

命题 2：

边长为连续整数的锐角三角形是存在的．

命题 3：

边长为连续整数的钝角三角形是存在的．

4

正确命题的个数为（）．

A．0B．1C．2D．3

【答案】D

3，4，5；4，5，6；2，3，4 的三角形显然存在，且分别为直角、锐角、钝角

三角形．

16. 【中】（3,4,5）是一组最简单的勾股数，由此提出下列问题

⑴ 三边长为连续整数的直角三角形有多少个？

⑵ 三边长为连续整数的钝角三角形存在吗？

如果存在，有多少个？

⑶ 三边长为连续整数的锐角三角形存在吗？

如果存在，有多少个？

【答案】三边长为连续整数的直角三角形是存在的，并且只有一个；三边长为连续整数

的钝角三角形也只有一个，它的三边长为 2,3,4；三边长为连续整数的锐角三

角形有无数个.

17. 【中】在锐角三角形中，已知某两边 a = 1，b = 3 ，那么第三边的变化范围是（

．

）

A． 2 < c < 4B． 2＜ c≤3C． 2＜c＜ 10D． 8＜c＜ 10

⎧ x > 3 -1⎧12 + x2 > 32

【答案】D 设第三边长为 x ,则 ⎨且 ⎨

⎩1 + 3 > x ，⎪12 + 32 > x2.

18. 【中】（绵阳市中考题）若 a 、b 、c 是直角三角形的三条边长，斜边 c 上的高的长是 h ，

c

给出下列结论：

①以 a2 ，b2 ， 2 的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以

a ， b ， c 的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以 a + b ，c + h ，h 的长为边的

111

abh

中所有正确结论的序号为______.

【答案】②③④（ a + b ）2 = a + b + 2 ab > c ， 即 a + b > c

2.简单的计算

19. 【易】一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为__________

【答案】6，8，10

（

20. 【易】 2012 昆山一模）一个直角三角形的两边长分别为 4 与 5，则第三边长为（）

A．3B． 41C． 41 或 3D．不确定

【答案】C

21. 【易】在 Rt △ ABC 中， ∠C = 90 ︒ ，若 a = 11 ， c = 61 ，则 b = （）

A． 63B． 60C． 48D． 58

5

【答案】B

22. 【易】若直角三角形中，有两边长是12 和 5 ，则第三边长的平方为（）

A．168B．169 或 119C．13 或15D．15

【答案】B

（

23. 【易】2013 年黔西南州）一直角三角形的两边长分别为 3 和 4．则第三边的长为（）

A．5B． 7C． 5D．5 或 7

【答案】D

（

24. 【易】 2010 年北京月坛期中）在 △ ABC 中，∠C = 90 ︒ ，若 AC = 3 ， BC = 5 ，则 AB =

（）

A． 34

【答案】A

B． 4              C． 20           D．都不对

25. 【易】已知，三角形的三边长为 6 ，8 ，10 ，则这个三角形最长边上的高是（

）

A．10B． 8C． 2.4D． 4.8

【答案】D

（

26. 【易】2010 年北京文汇期中）在 △ ABC 中，AB = 15 ，AC = 20 ，BC 边上的高 AD = 12 ，

则 BC 的长为（）

A． 25B． 7C． 25 或 7D．不能确定

【答案】C

27. 【易】在 △ ABC 中，AB = 12 cm ，BC = 16 cm ，AC = 20cm ， 则 △ ABC 的面积是（）

A． 96cm2

B．120cm2         C．160cm2         D． 200cm2

【答案】A

（

28. 【易】 2013 年乐亭县一模）已知直角三角形的两直角边的长恰好是方程 x2 - 5x + 6 = 0

的两根，则此直角三角形的斜边长为（）

A． 3

B． 3               C． 13           D． 5

【答案】C

29. 【易】（安徽省中考题）如图，在△ ABC 中， AB = AC = 5 ，BC = 6 ， 点 M 为 BC 的中

点， MN ⊥ AC 于点 N ，则 MN 等于（）．

6

A． 6

5

B．

9

5                   C．

12

5               D．

16

5

【答案】C

（

30. 【易】 北京市西城区 2013 学年度第二学期期末试卷八年级数学）如图，每个小正方形

的边长为 1， △ABC 的三个顶点 A ， B ， C 在格点上，那么三边 a ， b ， c 的大小关系

是（）

C

b

a

Ac

B

A． a < c < b

B． a < b < c

C． c < b < a

D． c < a < b

【答案】D

（

31. 【易】 2013 山东滨州中考）在 △ ABC 中，∠ C = 90 ︒ ， AB = 7 ， BC = 5 ，则边 AC 的

长为______________．

【答案】 2 6

（

32. 【易】 2010 年北京四中期中）如果直角三角形的三边长为10 、 6 、 x ，则最短边上的

高为____________．

【答案】 8 或 10

（

33. 【易】 北京西城外国语学校 2011 初二数学期中）三角形三条边长分别为 8 ，15 ，17 ，

那么最短边上的高是_______________．

【答案】15

（

34. 【易】 初二数学下期末复习）若正方形的面积为18cm 2，则正方形对角线长为______ cm 。

【答案】 6

（

35. 【易】 2011 深圳中学初二上期末）直角三角形的两直角边的长分别是5 和12 ，则斜边

上的高为__________．

【答案】 60

13

36. 【易】如图，已知 CD 是 Rt △ ABC 的斜边上的高，其中 AD = 9cm ，BD = 4cm ，那么 CD

等于______ cm ．

7

A

C

D   B

【答案】 6

37. 【易】在 Rt△ ABC 中， ∠C = 90°， a = 5 ， b = 12 ，则 c = ______．

【答案】13

（

38. 【易】 初二上期中模拟）在 Rt △ ABC 中，∠C = 90 ︒ ，其中 a = 6 ，b = 8 ，则 c = ______．

【答案】10

（

39. 【易】 2010 年北京七中期中）已知直角三角形的两直角边长分别为3cm 和 5cm ，则第

三边长为______

【答案】 34cm

40. 【易】求图中直角三角形中未知的长度：

 b = ______．

b

9

15

【答案】12

41. 【易】（巴中市二○一三年高中阶段教育学校招生考试数学试卷）若直角三角形两直角

边长分别为 a、b ，且满足 a2 - 6a + 9 + b - 4 = 0 ，则该直角三角形的斜边长为

______________

【答案】 5

42. 【中】（初二数学下期末复习）一直角三角形的一直角边长为6 ，斜边长比另一直角边

长大 2 ，则斜边的长为（）

A． 4B． 8C．10D．12

【答案】C

（

43. 【中】 初二下期末综合练习（三））已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800cm2，

则斜边长为（）

A． 80 cmB． 30 cmC． 90 cmD．120 cm

【答案】B

44. 【中】（初二上期中模拟）已知直角三角形 ABC 中， ∠C = 90 ︒ ， AC = 6 ， BC = 8 ，现

将 △ ABC 绕点 B 旋转 90 ︒ ，得 △ DBE ，其中 A 的对应点为 E ，则 AE 的长为（）

8

A． 20

B．10 2          C． 20 2          D．10

【答案】B

45. 【中】一直角三角形的两边长是 3 和 5 ，则第三边边长的平方是______．

【答案】 34 或 16

（

46. 【中】 2010 年北京文汇期中）三角形的两边长分别为3 和 5 ，要使这个三角形是直角

三角形，则第三条边长是______．

【答案】 34 或 4

（

47. 【中】 北京市第三十五中学 2011 学年度第二学期期中初二）若直角三角形的两边长分

别为 6cm 和 8cm ，则第三边长为____________．

【答案】10 或 2 7

（

48. 【中】 2010 年北京五中期中）有一个直角三角形的两边为 4 、 5 ，要使三角形为直角

三角形，则第三边等于______．

【答案】 3或 41

（

49. 【中】 2010 年北京鲁迅期中）若一个直角三角形的两边长分别为12 和 5 ，则此三角形

的第三边长为______．

【答案】13 或 119

50. 【中】（初二下期末综合复习）已知直角三角形的两边长 x 、 y 满足

x2 - 4 +y2 - 5 y + 6 = 0 ，则第三边长为______

【答案】 2 2 或 13 或 5

51. 【中】在 △ ABC 中， AB = 15 ， AC = 13 ，高 AD = 12 ，则三角形的周长是______．

【答案】 32 或 42

52. 【中】已知直角三角形的三边长为 6 、 8 、 x ，则以 x 为边的正方形的面积为______．

【答案】 28 或 100

（

53. 【中】 2013 年清华附中初二第二学期期中试卷数学）

如图，在 △ ABC 中， CE 平分 ∠ACB ， CF 平分 ∠ACD ，且 EF ∥ BC 交 AC 于 M ，若

CM = 5 ，则 CE 2 + CF 2 = ______________．

9

A

E

M

F

B

C

D

【答案】100

54. 【中】（初二周测）在 Rt△ ABC 中， ∠C = 90︒ ， AB + BC + AC = 24cm ， AB = 10cm ，

则 S

∆ABC

为（   ）

A．12cm 2

B．16cm 2          C． 20cm2          D． 24cm2

【答案】D

（

55. 【中】 2010 年北京七中期中）在 Rt △ ABC ， ∠C = 90 ︒

⑴已知 a :

 b = 3:

 4 ， c = 10 ，求 a ，b 的值

⑵已知 b = 6 ， ∠A = 45︒ ，求 a ，c 长度

【答案】⑴∵ Rt △ ABC ， ∠C = 90 ︒

设 a = 3k ，b = 4k

∴ c = a2 + b2 = 5k = 10

∴ k = 2

∴ a = 6 ，b = 8

⑵ Rt △ ABC ， ∠C = 90 ︒ ， ∠A = 45︒

∴ ∠B = ∠A = 45 ︒

∴ a = b = 6 ，c = 6 2

（

56. 【中】 2012 年全国初中数学联赛题）已知直角三角形的边长均为整数，周长为 30，求

它的斜边长.

【答案】设直角三角形三边长分别为 a 、b 、c （ a ≤ b < c ）,则 a + b + c = 30 ，

由 a ≤ b < c 得 30 = a + b + c < 3c ，∴ c > 10 ,

由 a + b > c 得 30 = a + b + c > 2c ，∴ c < 15 ,

∵ c 为整数，∴11≤ c ≤14.

∵ a2 + b2 = c2 ，把 c = 30 - a - b 代入并化简得 ab - 30（a + b） + 450 = 0 .

∴ （30 - a ）（30 - b） = 450 = 2 ⨯ 32 ⨯ 52 .

⎧30 - a = 52

⎪⎩30 - b = 2 ⨯ 32 ，

⎧a = 5

⎩

10

57. 【中】已知：

线段 m 、 n （m > n）

求作：

线段 l ，使得 l 2 = m2 + n2 （保留作图痕迹，不要求写作法和证明，但应在图中标

示各线段的长并写明结论）

m

n

【答案】作法，以线段n 一端点为圆心，以m 长为半径作圆，仍过此端点作关于线段n

的垂线，与圆交于两点，任意连接一点与线段 n 的另一端点即为所求

l

m

n

3.几何图形中的计算

58. 【易】如图，一块直角三角形的纸片，两直角边 AC = 6cm ，BC = 8cm ，现将直角边 AC

沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 等于（）

A． 2cmB． 3cmC． 4cmD． 5cm

【答案】B

59. 【易】（2013 年绥化市初中毕业学业考试数学试卷）如图，在 Rt △ ABC 中， ∠C = 90 ︒ ，

AC = 3 ， BC = 1 ， D 在 AC 上，将 △ ADB 沿直线 BD 翻折后，点 A 落在点 E 处，如

果 AD ⊥ ED ，那么 △ ABE 的面积是（）

11

B

CD

E

A．1B．3

3 + 3

1 + 2 3

4

【答案】A

60. 【易】如图，△ ABC 中，∠B = 90︒ ，两直角边 AB = 7 ，BC = 24 ，三角形内有一点 P 到

各边的距离相等，则这个距离是（）

A．1B． 3C． 4D． 5

【答案】B

（

61. 【易】 第 18 届江苏省竞赛题）如图，梯子 AB 斜靠在墙面上， AC ⊥ BC ， AC = BC ，

当梯子的顶端 A 沿 AC 方向下滑 x 米时，梯子 B 沿 CB 方向滑动 y 米，则 x 与 y 的大小

关系是（）

A. x = yB. x > yC. x < yD.不确定

A

B

C

【答案】选 B，设 AC = BC = a 米，由勾股定理得 a2 + a2 = （a - x）2 + （a + y）2 ，

化简得 2a（x - y） = x2 + y2 > 0 ，x > y .

62. 【易】（2013 年理工分校第二学期初二数学期中练习）如图，一个机器人从 A 点出发，

拐了几个直角的弯后到达 B 点位置，根据图中的数据，点 A 和点 B 的直线距离是

________________．

12

1

B

4

3

2

A

10

【答案】10

】

63. 【易（2013 年资阳）如图，点 E 在正方形 ABCD 内，满足 ∠AEB = 90︒ ，AE = 6， BE = 8 ，

则阴影部分的面积是（）

A． 48B． 60C． 76D． 80

【答案】C

64. 【易】（房山区 2012 学年度第一学期终结性检测试卷）图 1 中的字母 B 所代表的正方

形的面积是（）

25

B

169

A．12B．13C．144D．194

【答案】C

65. 【易】（2012 年泰安市中考题

如图，在ABC 中，∠ ABC = 45 °，CD ⊥ AB 于 D 点，

BE ⊥ AC 于 E 点，F 为 BC 中点，BE 与 DF 、DC 分别交于点 G 、H ， ∠ABE = ∠CBE

13

⑴ 求证：

 BH = AC;

⑵ 求证:

 BG 2 - GE 2 = EA2 ．

【答案】⑴ 证明△ DBH ≌△ DCA ．

⑵ EC = EA ，BG = CG ， 代换即可．

（

66. 【易】 北京三帆中学 2012 初二数学第二学期期中）直角三角形纸片的两直角边长分别

为 6 ， 8 ，现将 △ ABC 如图那样折叠，使点 A 与 B 重合，折痕为 DE ，则 CE :

 BE 的值

为（）

C

E

B

A

D

A．

25

7

7 7                  1

B．                C．                D．

3 25