学年高中数学第2章推理与证明222反证法学案新人教B版选修22.docx
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学年高中数学第2章推理与证明222反证法学案新人教B版选修22
2．2.2 反证法
1.了解反证法的基本思想． 2.理解反证法的证明思路． 3.会用反证法证明数学问题．
反证法
（1）定义
由证明p⇒q转向证明：
﹁q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定﹁q为假，推出q为真的方法叫做反证法．
（2）应用反证法证明数学命题的一般步骤
①分清命题的条件和结论；
②做出与命题结论相矛盾的假定；
③由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；
④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）反证法属于间接证明问题的方法．（ ）
（2）反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是演绎推理．（ ）
（3）反证法的实质是否定结论导出矛盾．（ ）
答案：
（1）√
（2）× （3）√
2．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（ ）
①结论的否定，即假设；
②原命题的条件；
③公理、定理、定义等；
④原命题的结论．
A．①② B．①②④
C．①②③D．②③
答案：
C
3．命题“△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”的结论的否定应该是（ ）
A．a＜bB．a≤b
C．a＝bD．a≥b
答案：
B
用反证法证明否定性命题
如图，设SA、SB是圆锥的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点．
求证：
AC与平面SOB不垂直．
[证明] 假设AC⊥平面SOB，
因为直线SO在平面SOB内，
所以AC⊥SO.
又SO⊥底面，所以SO⊥AB.
因为AB∩AC＝A，所以SO⊥平面SAB.
故平面SAB∥底面．
这与已知条件矛盾，所以假设不成立．
即AC与平面SOB不垂直．
（1）用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．
（2）用反证法证明数学命题的步骤
1.已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：
a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
证明：
假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.
因为ad－bc＝1，
所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，
即（a＋b）2＋（c＋d）2＋（a－d）2＋（b＋c）2＝0.
所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，
则a＝b＝c＝d＝0，
这与已知条件ad－bc＝1矛盾，故假设不成立．
所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
2．已知三个正数a，b，c，若a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，求证：
a，b，c不成等差数列．
证明：
假设a，b，c构成等差数列，
则有2b＝a＋c，
即4b2＝a2＋c2＋2ac，
又a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，
且a，b，c为正数，
所以b4＝a2c2且a，b，c互不相等，
即b2＝ac，
因此4ac＝a2＋c2＋2ac，
所以（a－c）2＝0，
从而a＝c＝b，这与a，b，c互不相等矛盾．
故a，b，c不成等差数列．
用反证法证明唯一性命
求证：
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
[证明] 已知：
点P在直线a外．
求证：
过点P与直线a平行的直线有且只有一条．
证明如下：
因为点P在直线a外，
所以点P和直线a确定一个平面，
设该平面为α，在平面α内，过点P作直线b，
使得b∥a，则过点P有一条直线与a平行．
假设过点P还有一条直线c与a平行，
因为a∥b，a∥c，
所以b∥c，这与b、c相交于点P矛盾，故假设不成立．
即过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．
已知a≠0，证明方程ax＝b有且只有一个根．
证明：
由于a≠0，因此方程至少有一个根x＝
，如果方程不止一个根，不妨设x1，x2是它的两个不同的根，即
ax1＝b， ①
ax2＝b. ②
①－②得a（x1－x2）＝0.
因为x1≠x2，所以x1－x2≠0，所以应有a＝0，这与已知矛盾，故假设不成立．
所以，当a≠0时，方程ax＝b有且只有一个根．
用反证法证明“至多”“至少”命题
设f（x）＝x2＋bx＋c，x∈[－1，1]，证明：
当b＜－2时，f（x）在其定义域内至少存在一个x，使|f（x）|≥
成立．
[证明] 假设不存在x∈[－1，1]使|f（x）|≥
成立，
则对任意x∈[－1，1]都有－
＜f（x）＜
成立．
当b＜－2时，x＝－
＞1，
所以f（x）在[－1，1]上是单调递减函数，
所以
⇒b＞－
，与b＜－2矛盾．
故假设不成立，因此当b＜－2时，f（x）在其定义域内至少存在一个x，
使|f（x）|≥
成立．
（1）对于结论中含有“至多”“至少”等词语的命题，若直接从条件推证，解题方向不明确，过程不可推测，不易证明，则可考虑用反证法证明．
（2）注意“至少有一个”“至多有一个”“都是”的否定形式分别为“一个也没有”“至少有两个”“不都是”．
设a＞0，b＞0，且a＋b＝
＋
，求证：
a2＋a＜2与b2＋b＜2至多有一个成立．
证明：
因为a＋b＝
＋
＝
，
因为a＞0，b＞0，
所以ab＝1.
假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，
则由a2＋a＜2及a＞0得0＜a＜1；同理0＜b＜1，
从而ab＜1，这与ab＝1矛盾，故a2＋a＜2与b2＋b＜2至多有一个成立．
1．解题、证题时要向着“正难则反”的思路进行思考．
2．反证法中的矛盾
（1）与假设矛盾，与已知矛盾．
（2）与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾．
（3）与公认的简单事实矛盾．
使用反证法必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．
1．反证法是（ ）
A．从结论的反面出发，推出矛盾的证法
B．对其否命题的证明
C．对其逆命题的证明
D．分析法的证明方法
解析：
选A.反证法是先否定结论，在此基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．
2．用反证法证明命题“设a、b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：
选A.“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故选A.
3．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0（a，b为实数）”时，应假设__________．
解析：
a，b全为0的否定是a，b不全为0.
答案：
a，b不全为0（a，b为实数）
4．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是__________．
解析：
至少有两个的否定是至多有一个．
答案：
存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
[A 基础达标]
1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是（ ）
A．有两个内角是钝角
B．有三个内角是钝角
C．至少有两个内角是钝角
D．没有一个内角是钝角
解析：
选C.“最多有一个”的反设是“至少有两个”．
2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为（ ）
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
解析：
选C.假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.
3．否定结论“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，正确的反设为（ ）
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c都是偶数
C．a、b、c中至少有两个偶数
D．a、b、c都是奇数或至少有两个偶数
解析：
选D.自然数a、b、c中奇数、偶数的可能情况有：
全为奇数，恰有一个偶数，恰有两个偶数，全为偶数．剔出结论即为反设．
4．设x>0，则方程x＋
＝2sinx的根的情况是（ ）
A．有实根 B．无实根
C．恰有一实根D．无法确定
解析：
选B.x>0时，x＋
≥2，而2sinx≤2，但此二式中“＝”不可能同时取得，所以x＋
＝2sinx无实根．
5．设x，y，z都是正实数，a＝x＋
，b＝y＋
，c＝z＋
，则a，b，c三个数（ ）
A．至少有一个不大于2B．都小于2
C．至少有一个不小于2D．都大于2
解析：
选C.若a，b，c都小于2，则a＋b＋c＜6①，而a＋b＋c＝x＋
＋y＋
＋z＋
≥6②，显然①，②矛盾，所以C正确．
6．在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB＞∠APC，求证：
∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时的假设为________________．
解析：
反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP＜∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP.
答案：
∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP
7．用反证法证明命题：
“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立．
②所以一个三角形中不能有两个直角．
③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确顺序的排列为________．
解析：
反证法的步骤是：
先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，得到命题是正确的．
答案：
③①②
8．已知x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时假设应为________．
解析：
“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故假设应为“x，y均不大于1”（或x≤1且y≤1）．
答案：
x，y均不大于1”（或x≤1且y≤1）
9．若下列方程：
x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋（a－1）x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围．
解：
设三个方程均无实数根，则有
解得
即－
＜a＜－1，所以当a≥－1或a≤－
时，三个方程至少有一个方程有实根．
10．证明：
对于直线l：
y＝kx＋1.不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：
3x2－y2＝1的交点A、B关于直线y＝ax（a为常数）对称．
证明：
假设存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称，设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有
（1）直线l：
y＝kx＋1与直线y＝ax垂直；
（2）点A、B在直线l：
y＝kx＋1上；（3）直线AB的中点
在直线y＝ax上，
所以
由
得（3－k2）x2－2kx－2＝0.④
由②③得a（x1＋x2）＝k（x1＋x2）＋2,⑤
由④知x1＋x2＝
，代入⑤整理得ak＝3.这与①矛盾．
所以假设不成立，故不存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称．
[B 能力提升]
11．设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2.
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________（填序号）．
解析：
若a＝
，b＝
，则a＋b＝1，但a＜1，b＜1，故①不能推出．若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出．若a＝－2，b＝1，则a2＋b2＞2，故④不能推出．对于③，即a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1.
反证法：
假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.
答案：
③
12．若a、b、c、d都是有理数，
、
都是无理数，且a＋
＝b＋
，则a与b，c与d之间的数量关系为__________，________．
解析：
假设a≠b，令a＝b＋m（m是不等于零的有理数），于是b＋m＋
＝b＋
，所以m＋
＝
，两边平方整理得
＝
.
左边是无理数，右边是有理数，矛盾，因此a＝b，从而c＝d.
答案：
a＝b c＝d
13．已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象与x轴有两个不同的交点．若f（c）＝0，且0＜x＜c时f（x）＞0.
（1）证明：
是函数f（x）的一个零点；
（2）试用反证法证明：
＞c.
证明：
（1）因为f（x）的图象与x轴有两个不同的交点，
所以f（x）＝0有两个不等实根x1，x2.
因为f（c）＝0，
所以x1＝c是f（x）＝0的一个根，又因为x1x2＝
.
所以x2＝
，
所以
是f（x）＝0的另一个根，即
是函数f（x）的一个零点．
（2）由第一问知
≠c，故假设
＜c，
易知
＞0，由题知当0＜x＜c时，f（x）＞0，
所以f
＞0与f
＝0矛盾，
所以
＞c.
14．（选做题）设{an}是公比为q的等比数列．
（1）推导{an}的前n项和公式；
（2）设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
解：
（1）设{an}的前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②
由①－②得，（1－q）Sn＝a1－a1qn，
所以Sn＝
，
综上所述，Sn＝
（2）证明：
假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋，
（ak＋1＋1）2＝（ak＋1）（ak＋2＋1），
a
＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，
a
q2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，
因为a1≠0，
所以2qk＝qk－1＋qk＋1.
因为q≠0，所以q2－2q＋1＝0，
所以q＝1，这与已知矛盾．
所以假设不成立，故数列{an＋1}不是等比数列．
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