直线与椭圆怎么联立.docx
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直线与椭圆怎么联立
1.直线与椭圆怎么联立
2.圆的诸多性质
3.参数方程
4.点差法
5.极点极线
6.仿射
7.极坐标应用
1.直线与椭圆怎么联立
答:
设y=kx+b,韦达定理
1.为了防止把b看成6,一般设y=kx+m
2.定点(0,m)在y轴上,设直线为y=kx+m。
定点(n,0)在x轴上,设直线为x=ky+n。
称仿斜截式。
2.圆的诸多性质--一方面也是为仿射做铺垫
切割线定理
相交弦定理
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。
第二定义
扇形的面积底乘高除以二(弧长乘半径除以二)
Apollonius圆
平面内到两个定点的距离之比为常数k(k≠1)的点的轨迹是圆,这个圆就是阿波罗圆。
已知:
定点M(c,0),N(-c,0),P(x,y)
求证:
平面内到两个定点M,N的距离之比为常数k(k≠1)的点P的轨迹是圆
证明:
d1=√[(x-c)²+y²]
d2=√[(x+c)²+y²]
d1/d2=√[(x-c)²+y²]/√[(x+c)²+y²]=k
通分后化简得(k²-1)x²+(k²-1)y²+(k²+1)x+(k²-1)c²=0
约分x²+y²+(k²+1)/(k²-1)x+c²=0
此形式为圆的一般方程。
3.参数方程怎么搞
参数方程一般联立时切勿使用
4.点差法
5.极点极线
定义:
对于二次曲线C:
Ax²+By²+Cx+Dy+E=0和一点P(x0,y0)
其中A²+B²≠0,P不在曲线的中心和渐近线上
用x0*x代x²,yo*y代y²,(x0+x)/2代x,(yo+y)/2代y,得到一条直线方程
则称点P和直线l是关于曲线C的一对极点和极线
即点P是直线l关于曲线C的极点,直线l是点P关于曲线C的极线。
特殊的,焦点和准线是曲线的一对特殊的极点和极线。
其实,圆与椭圆的切线与渐切线就是特殊的极线,如图
椭圆类似,即
极点极线的性质:
一般的有如下性质(焦点所在区域为曲线内部)
①若P在曲线上,则P的极线是曲线的切线
②若P在曲线内,则P的极线与以P为中点弦平行(仅是斜率相等)
③若P在曲线外,则P的极线是过P做曲线的两条切线的切点的连线。
如图:
注:
②的用处就是快速求出中点弦的斜率,比点差法求快。
但正规告示应使用点差法。
④极点与极线的对偶性
已知P和极线L是关于曲线的极点极线,则L上任一点Pn对应的继续Ln必过点P,
反之亦然,任意过点P的直线Ln对应的极点Pn必在直线L上。
如图
⑤过点P作曲线C的两条割线L1、L2,L1交曲线C于AB,L2交曲线C于MN,则直线AM、BN的交点T,直线AN、BM的交点S必都落在点P关于曲线C的极线L上。
⑥点P是曲线C的极点,他对应的极线为L,则有
Ⅰ.若C为椭圆或双曲线,O是C的中心,直线OP交C与R,交L于Q,则OP*OQ=OR²即OP/OR=OR/OQ
椭圆如图
Ⅱ.若曲线为抛物线,过点P作对称轴的平行线交C于R,交L于Q,则PR=QR
如图
椭圆方程是x²/3+y²=1
N是极点,性质⑤,代入极点5x/3+0y=1则x=3/5
故定点是(3/5,0)
6.仿射
圆里面内接四边形最大面积是正方形,三角形最大面积是正三角形
所以,椭圆里内接四边形面积就是拉过之后的面积
拉过之后比例不变,即AC:
BC=AC:
BC
a=2,b=1
在圆里面,斜率为1的时候,PA²+PB²=AB²=2
所以,在椭圆里斜率是1/2,定值是1²+2²=5
7.极坐标
过焦点就用极坐标
其中e表示离心率,p表示焦点到准线的距离。
如果e<1,曲线为椭圆,
如果e=1,曲线为抛物线,
如果e>1,则表示双曲线。