数模论文交通网络.docx
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数模论文交通网络
摘要
市区的一些交通要道和重要部位需要设置交巡警服务平台。
考虑到警务资源是有限的，因此本文针对城市交巡警服务平台管辖范围的分配、不同任务下服务平台的调度、服务平台的设置、罪犯围堵等问题，在分析相关数据的基础上,分别建立了优化模型。
问题一：
（1）在服务台位置确定的情况下，首先通过Floyd算法找出任意两点之间的最短路径，然后对每个路口而言，找出距离路口最近服务平台，确立服务平台初步的管辖范围，考虑到平台之间的工作量差距较大，因此以各平台工作量方差最小为目标。
通过Matlab编程得到最终结果见表2。
（2）要实现对13个要道的快速封锁，本文以所用时间最小为目标，引入0-1变量，建立起该问题的0-1规划模型，并借助数学软件Lingo进行求解，得出需要8.015in可以实现快速封锁。
（3）为了解决出警时间过长与工作量不均衡的问题，结合实际情况，本文将出警时间小于3min设为约束条件，将工作量均衡（各平台发案率方差最小）作为目标函数，将该问题抽象为0-1规划模型。
求解结果表明，在增加5个巡警服务台的情况下，使平台的工作量的不均衡度（发案率的方差）降为3.02。
五个平台的位置分别为：
28，33，38，48，91。
问题二
（1）该问题属于评价问题，分别以各区中平均每个交巡警服务平台的发案率、各区域的土地面积及各区域的人口数量三项因素作为指标，建立变异系数—层次分析法，求得各因素的权重，进而求出各区域的总值，与期望总值进行比较，若高出期望总值，则认为该区域交巡警服务平台分配不合理。
最终得出D、E、F服务平台的分配不合理，分别需要增设7、5、3个服务平台。
（2）本文确定将封堵区间尽量小作为目标，实行一次性的有效封锁，通过最佳围堵的算法（见图2）编程，得出调度全市服务平台警力资源的最佳围堵方案，见表
关键字：
Floyd算法Lingo软件0-1规划变异系数—层次分析法资源调配
1.问题重述
警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。
为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。
每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。
由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。
试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：
问题一：
（1）附件1和附件2给出了该市中心城区A的交通网络和现有的20个交巡警服务平台的设置情况示意图以及相关的数据信息。
请为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为60km/h）到达事发地。
（2）对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。
实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。
（3）根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。
问题二：
（1）针对全市（主城六区A，B，C，D，E，F）的具体情况，按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案（参见附件）的合理性。
如果有明显不合理，请给出解决方案。
（2）如果该市地点P（第32个节点）处发生了重大刑事案件，在案发3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。
为了快速搜捕嫌疑犯，请给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。
2.模型假设与符号说明
2.1模型的假设
1.假设每个巡警服务台的职能和警力配备基本相同；
2.假设每个路口只由一个巡警服务台进行管辖；
3.假设在重大案件发生时，每个平台都有能够封锁一个路口的能力；
4.假设巡警都按最短路径到达各案发路口；
5.假设每个路段道路畅通，可以双向行驶，没有堵车现象；
6.假设每辆巡警车和犯罪嫌疑人的车行驶车速均为60km/h；
7.假设相邻两节点间的道路为直线；
8.假设犯罪嫌疑人向远离案发区的方向逃跑。
2.2符号说明
（1）
：
为巡警服务台j到达路口i的最短距离；
（2）
；
（3）
（4）
：
表示路口i的案发率；
（5）
：
表示各个平台工作量数据的方差；
3.问题分析
定义：
盲点：
交警平台三分钟之内不能到达的节点
三分钟覆盖率：
交警平台三分钟能到达的节点占全部节点的百分比
平均案发率：
总发案率与平台总数的比值
问题一：
（1）：
现有某城市城区A的交通网络，其中包括路口92个，服务平台20个的设置情况及相关数据，为各个服务平台分配管辖范围，使其在管辖范围内出现突发事件时，交巡警能在最短时间，尽量在3分钟内到达事发地。
由于此问题中只要求出警时间尽量短而没有提到工作量，而出警时间可以量化为从交巡警平台到达辖区内各个路口的路程：
警车时速60km/h，地图比例为1:
100000，即1mm对应100米，那么可将要求的出警时间3分钟，转化为行驶距离3km,使用地图比例尺换算成地图上的距离为30mm（以下可将时间与距离进行等价代换）。
然后根据最短路径原则，每个路口都应由最接近它的平台管辖，最后以工作量均衡为目标，调整各个区域的管辖范围。
（2）：
对于重大突发事件，在一个平台的警力能封锁一个路口的前提下，20个交巡警服务平台要以最快速度封锁13个进出该区的路口，必须使得所花费的时间最短。
因此本文将问题转化为：
从20个服务平台中选出13个服务平台对13条交通要道进行封锁，且这13个平台所用的时间要最小的规划指派问题。
（3）：
根据现有交巡警服务平台的分布情况，由问题一第一问可知，存在总体工作量不均衡以及个别平台出警时间大于3min的情况，为此考虑增加2至5个平台，来处理该问题。
首要条件必须满足出警时间小于3min的限制，其次尽可能地均衡各平台的工作量。
这里我们根据所给数据计算出每个服务平台管辖范围的案发率，以此作为其工作量，然后根据工作量的大小在调整各个服务平台的管辖范围。
问题二：
（1）该问题属于评价问题，解决此类问题我们一般采用层次分析法建立起一套评价体系，对该系统进行评价。
一般情况下，一个区域的交巡警服务平台的分配应与这个区域中平均每个交巡警平台处理的发案率、该区域的面积以及该区域的人口数量有关。
区域中平均每个交巡警平台处理的发案率、区域的面积以及该区域的人口数值越大，该区域就应分配更多的交巡警服务平台。
（2）对于围堵方案的确定，需要考虑两个原则：
1）总的封堵时间要小；2）封堵范围要尽量小。
但是，考虑到封堵时间小可能会产生封锁区间较大，未必能快速搜捕嫌疑犯。
所以本文确定将封堵区间尽量小作为目标，进而调度全市交巡警服务平台警力资源的确定最佳围堵方案。
4.模型的建立与求解
4.1问题一：
（1）服务平台管辖范围的确定
4.1.1模型建立：
为了使每个平台到到各自管辖的路口的时间尽量小于3分钟，需要建立优化模型，找到使得每个平台到各自管辖路口的时间（或距离）的最大值最小的方案。
下面通过0-1规划模型对该问题建模。
决策变量：
约束条件：
表示每个平台至少管辖一个路口；
表示每个路口只由一个巡警服务台进行管辖；
表示从路口i到服务台j的最短路径长度；
目标函数：
要满足每个平台到各自管辖路口距离的最大值
最小。
综上所述，给出该问题的0-1规划模型：
4.1.2模型求解：
´
（1）最短路径矩阵
的建立
考虑到巡逻服务台均在路口上，所以根据对问题的分析，利用Floyd算法编程并将附件2中各路口的坐标导入程序，计算出各个路口的之间最短路程。
得到92个路口之间的最短距离构成矩阵
。
（2）服务台与各个路口的距离矩阵
从上述最短路径矩阵
中抽出路口（除去含有服务台的路口）与服务台组成的矩阵
，然后对每个路口，找出距离它最近的服务台。
经过进一步计算发现，有些路口依然不能满足3min之内到达的条件（这些路口以下简称盲点），这些路口有28、29、38、39、61、92（表1[]中表示此类路口）。
得到初步结果如下表：
表1：
A区初步服务平台管辖范围
平台
管辖路口
工作总量
1
1，67，68，69，71，73，74、，75，76，78
10.3
2
2，40,，43，4，70，72，[39]
9.7
3
3，54，55，65，66
5.6
4
4，57，60，62，63，64
6.6
5
5，49，53，50，51，52，56，58，59
9.7
6
6
2.5
7
7，30，32，47，48，[61]
9.6
8
8，33，46
5
9
9，31，34，35，45
8.2
10
10
1.6
11
11，26，27
4.6
12
12，25
4
13
13,21,22,23,24
8.5
14
14
2.5
15
15，[28]，[29]
4.8
16
16，36，37，[38]
5
17
41，17，42
5.3
18
18，80，81，82，83
6.1
19
19，77，79
3.4
20
86，20，84，85，87，88，89，90，91，[92]
11.5
（3）调整均衡各个平台的工作量。
由表1可以看出：
各交巡警服务平台管辖范围并不均衡，个别差别太大，而且考虑到某些路口可以被不同的服务平台在3min之内到达，所以根据发案率（见附录4），对距离相差较小的节点进行一下调整，使其分配更加均衡合理，而不至于某服务平台顾此失彼，得到最终的分配方案，如下表：
表2：
A区最终服务平台管辖范围
平台
管辖路口
工作总量
1:
1，68，69，71，73，74，75
7.6
2:
2，40，43，70，72
7.2
3:
3，44，54，55，65，66，67
7.5
4:
4，57，60，62，63，64
6.6
5:
5，49，50，51，52，53，56
7.7
6:
6，58，59
4.5
7:
7，30，47，48，61
8.1
8:
8，32，33，34，46
8.2
9:
9，35，45
4.9
10:
10
1.6
11:
11，26，27
4.6
12:
12，25
4
13:
13，23，21，22，24
8.5
14:
14
2.5
15:
15，28，29，31
6.4
16:
16，36，37，38，39
6.4
17:
17，41，42，92
6.1
18:
18，81，82，83，84，90，91
8.1
19:
19，76，77，78，79，80
6.1
20:
20，85，86，87，88，89
7.9
经过计算，表1各个服务平台工作量的方差为
=8.009875；而经过调整后表2服务平台工作量的方差为
=3.668875。
这说明对于工作量的均衡效果良好，见下图1：
4.2问题一：
（2）警力合理调度方案
4.2.1模型建立：
根据分析，现在要从20个服务平台中选出13个服务平台对13条交通要道进行封锁，且这13个平台所用的时间要最小，即从20个服务台中选出13个服务平台，使得到各自要道距离的最大值最小。
这就转化为一个典型的最优指派问题。
决策变量：
约束条件：
表示每个平台最多封锁一个要道；
表示每个要道必须由一个服务台进行封锁；
表示从要道i到服务台j的最短路径长度；
目标函数：
要满足每个服务台到各自要道距离的最大值
最小。
综上所述，给出该问题的0-1规划模型：
4.2.2模型求解：
本文利用Matlab和Lingo进行编程求解（程序见附录），具体步骤如下：
（1）对Floyd算法用Matlab编程，得到20个巡警服务台距离13条交通要道的最短距离
；
（2）引入决策变量
，根据已经建立模型中的约束条件和目标函数，利用Lingo11.0编程求得全局最优解。
得到最终结果如下表：
表3：
服务平台调度方案
服务平台标号
交通要道
路口标号
服务平台到要道
路口时间/min
10
12
7.5866
16
14
6.7417
6
16
6.2585
14
21
3.265
11
22
3.2696
13
23
5
12
24
3.5917
15
28
4.7518
7
29
8.0155
8
30
3.0608
2
38
3.9822
5
48
2.4758
4
62
0.35
由表2可以看出，得出封锁全部路口所需的最短时间为8.0155min。
4.3问题一：
（3）平台增设模型
4.3.1模型建立：
首先设总的服务平台个数为n,根据本问题增设2至5个平台的条件，可知
；
决策变量：
约束条件：
表示总共有n个服务平台；
表示每个路口只由一个巡警服务台进行管辖；
表示第j个服务平台的工作量；
，表示平均的工作量；
，表示最大的巡警时间不超过3min.;
表示总服务平台的个数范围。
目标函数：
，求解出各个工作量之间的最小方差，使得各个平台的工作量尽量均衡。
综上所述，对该问题抽象出的数学模型如下：
4.3.2模型求解：
根据问题一中分配的各交巡警服务平台的管辖范围，现有交巡警服务平台的分布主要存在两个问题:
第一是盲点问题；第二是工作量均衡度问题。
根据模型，我们在满足出警时间小于3min的限制的前提下，尽可能地均衡各个平台的工作量，对问题进行求解。
但由于部分路口到任何交巡警服务平台距离均较远，以至于出现了任何交巡警服务平台在三分钟内都不能赶到的六个路口节点（即盲点）：
28、29、38、39、61、92。
同样运用问题一
（1）中的方法可得到：
距离盲点各个路口小于3km的路口集合，如下表：
表4：
距离盲点小于3km的路口集合
盲点
28
29
38
39
61
92
路口
28,29
28,29
38,39,40
38,39,40
61,48
87,88,89,90,91,92
对上表中的6个集合求并，得到需要增加巡警服务台的路口的候选集
A={28,29,38,39,40,48,61,87,88,89,90,91,92}。
本文将要在候选集A中选择2~5个路口设置巡警服务台，使需求集I={28,29,38,39,61,92}中的所有路口在案发生时均有巡警在3min之内能赶到。
（1）增加4个服务平台的情况
为了满足出警时间小于3min的限制的前提，首先路口28,29处必须设一个，集合{38,39,40}必须要一个，集合{48,61}必须设一个，集合{87,88,89,90,91,92}也必须设一个，则至少需要增加四个平台。
我们将第一个平台设在28号路口处，第二个集合中，由于38号路口是出入A区的节点，为了方便A区的管理，将第二个平台设在38号路口处；第三个集合中，同样48号路口时出入A区的节点，而且靠近48号路口的周围有其他节点可以再三分钟内到达，有利于均衡度的提高，因此将第三个平台设在48号路口节点处；第四个集合中，可将平台设在91号路口节点处，不仅可以管辖92号节点，而且还可以在短时间内到达其他各节点，有利于管理和工作均衡度的提高。
因此，可得到增加四个平台的结果如下：
表5：
增加4个平台后的各个平台的管辖范围及工作总量
平台
管辖路口
工作总量
1
1，68，69，71，73，74，75
7.6
2
2，43，70，72
5.5
3
3，44，54，55，65，66，67
7.5
4
4，57，60，62，63，64
6.6
5
5，49，50，51，52，53，56
7.7
6
6，58，59
4.5
7
7，30，47
6.1
8
8，32，33，34，46
8.2
9
9，35，45
4.9
10
10
1.6
11
11，26，27
4.6
12
12，25
4
13
13，23，21，22，24
8.5
14
14
2.5
15
15，31
3.7
16
16，36，37
3.8
17
17，41，42
5.3
18
18，81，82，83
5.3
19
19，76，77，78，79，80
6.1
20
20，85，86，87
5.6
28
28，29
2.7
38
38，39，40
4.3
48
48，61
2
91
88，90，91，92，84，89
5.9
经过计算，增加4个服务平台后，各个服务平台工作量的方差为
=4.28
方差增加0.61，相比第一问前增加16.62%。
（2）增加5个服务平台的情况
下面讨论当出警时间小于3min的限制的前提下，增加5个平台的情况。
同样以减少方差为目标，则第五个平台应该设在工作量较大的平台附近，从上表和A区图可以看出，应该设在8号路口的附近，因为虽然13号平台工作量最大，但是多加一个平台不能减轻附近平台的工作量。
将第五个平台设在33号路口，得到增设五个平台的结果如下：
表6：
增加5个平台后的各个平台的管辖范围及工作总量
平台
管辖路口
工作总量
1
1，68，69，71，73，74，75
7.6
2
2，43，70，72
5.5
3
3，44，54，55，65，66，67
7.5
4
4，57，60，62，63，64
6.6
5
5，49，50，51，52，53，56
7.7
6
6，58，59
4.5
7
7，30
4.5
8
8，46，47
5.2
9
9，35，45
4.9
10
10
1.6
11
11，26，27
4.6
12
12，25
4
13
13，23，21，22，24
8.5
14
14
2.5
15
15，31
3.7
16
16，36，37
3.8
17
17，41，42
5.3
18
18，81，82，83
5.3
19
19，76，77，78，79，80
6.1
20
20，85，86，87
5.6
28
28，29
2.7
38
38，39，40
4.3
48
48，61
2
91
88，90，91，92，84，89
5.9
33
32，33，34
4.6
经过计算，增加5个服务平台后，各个服务平台工作量的方差为
=3.02
方差与未增加平台前减少0.648875，相比减少17.69%。
这个结果解决了出警时间长的问题，使得所有平台到其管辖节点的时间都小于三分钟，大大提高了A区域的治安和执法力度。
综上所得结果，增加五个平台不仅使得出警时间全部小于三分钟，还使得不均衡度达到了比较合理的结果，所以本文最终确定增加五个平台，平台的位置分别为：
28，33，38，48，91。
4.4问题二：
（1）服务平台合理性分析与优化
4.4.1模型建立：
基于前面的问题分析，我们分别以各区中平均每个交巡警服务平台的发案率、各区域的土地面积及各区域的人口数量三项因素作为指标，建立层次分析模型，而又因为层次分此法本身具有一定的主观局限性，我们采用改进的变异系数—层次分析法，求得各因素的权重，进而求出各区域的总值，与期望总值进行比较，若高出期望总值，则认为该区域交巡警服务平台分配不合理。
最后通过类似于第一题的方法增加服务平台。
4.4.2模型求解：
（1）层次分析模型的求解
平台设置受多方面因素影响，这里运用层次分析法，可以从各因素链中，找到影响平台设置的不同层次的因素，为平台设置是否合理决策依据。
表7：
各区域的数据情况
六个城区
单位面积平台数
单位人口平台数
平均案发率
平台个数
A
1.1
3
6.23
20
B
12.875
2.625
8.3
8
C
13
2.882353
11.01
17
D
42.55556
8.111111
7.53
9
E
28.8
5.066667
7.96
15
F
24.90909
4.818182
9.93
11
全市期望值
29.18585
5.2399
8.78
14.75
由表中数据知，平台设置与人口，面积和案发率有关，设这些因素：
S1：
面积S2：
人口S3：
平均案发率
以上这些因素有些相互交叉，互为关联，更多的则表现出因素中的影响因素，形成递阶因素链。
为了分析这些因素对平台设置的影响，我们用层次分析法对影响平台设置的因子进行了分析。
首先要弄清这些因素两两之间的逻辑关系。
步骤一：
构造层次判断矩阵
判断矩阵表示针对上一层次指标，本层次指标之间两两比较的相对重要性，这个相对重要性用数值表示就构成判断矩阵，本文中，两两比较的相对重要性数值按T．L．Saaty的九级标度法取l～9及其倒数（见附录）。
用此方法构造层次矩阵：
A=
通过excel软件计算求的数据如下表：
将判断矩阵按行求：
归一化得：
=
判断矩阵的最大特征值：
=
=3.018295（i=1,2,3）
步骤二：
层次单排序与一致性检验
计算一致性指标：
=0.009147
其中：
为判断矩阵阶数；CI为一致性指标；计算一致性比例
；其中RI是平均随机一致指标，如下表。
表8：
平均随机一致性指标值
N
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
RI
0.00
0.58
0.90
1.12
1.24
1.32
1.41
1.45
1.49
1.52
1.54
当CR<=0．10时，判断矩阵具有满意的一致性，CR<0.1时被认为一致性可以接受。
否则，应对判断矩阵予以调整。
上面的判断矩阵可通过计算CR来判断矩阵是否符合一致性要求，层次单排序结果是否有效可靠。
由计算可得
=0.015771<=0.10
因此我们认为矩阵A的不一致性是可以接受的，区域中平均每个交巡警区域的面积、区域的人口密度以及服务平台的发案率所占的权重
=（0.2402,0.2098，0.5500）。
（2）变异系数模型的求解
由于层次分析法具有很大的主观性，因此我们利用变异系数法对其进行校正，得到更加客观的结果。
进而综合评价一个城市平台设置的各项指标的权重。
根据表7中数据可得其标准差、平均数数据及其计算出的变异系数等见表9。
计算公式如下：
根据均值和标准差计算变异系数：
计算构成评价指标体系的指标权重：
表9：
平台设置评价指标的权重
指标
单位平台管辖
平均面积（km^2）
平均人口（万人）
平均发案率
总和
平均数
20.54
4.42
8.5
—
标准差
11.54828
1.581435
1.317778
—
变异系数
0.562234
0.357791
0.155033
1.075057
权重
0.523
0.333
0.144
1.000
最终得到：
区域中平均每个交巡警区域的面积、区域的
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