河南版中考数学第三节 全等三角形.docx
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河南版中考数学第三节全等三角形
第三节 全等三角形
A组 基础题组
一、选择题
1.(2017河南鹤壁中招模拟)请仔细观察用直尺和圆规作∠A'O'B'等于已知∠AOB的示意图,要说明∠D'O'C'=∠DOC,需要证明△D'O'C'≌△DOC,则这两个三角形全等的依据是( )
A.边角边B.边边边
C.角边角D.角角边
2.(2018山东临沂)如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是点D、E,AD=3,BE=1,则DE的长是( )
A.
B.2C.2
D.
二、填空题
3.(2016江苏南京)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,△ABO≌△ADO.下列结论:
①AC⊥BD;②CB=CD;③△ABC≌△ADC;④DA=DC.其中所有正确结论的序号是 .
4.(2017四川达州)在△ABC中,AB=5,AC=3,AD是△ABC的中线,设AD的长为m,则m的取值范围是 .
三、解答题
5.(2016江苏镇江)如图,AD、BC相交于点O,AD=BC,∠C=∠D=90°.
(1)求证:
△ACB≌△BDA;
(2)若∠ABC=35°,则∠CAO= °.
6.(2016河北)如图,点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直接测量),点A,D在l异侧,测得AB=DE,AC=DF,BF=EC.
(1)求证:
△ABC≌△DEF;
(2)指出图中所有平行的线段,并说明理由.
7.(2018四川南充)如图,已知AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC.
求证:
∠C=∠E.
8.(2018陕西)如图,AB∥CD,E、F分别为AB、CD上的点,且EC∥BF,连接AD,分别与EC、BF相交于点G、H.若AB=CD,求证:
AG=DH.
9.(2017河南鹤壁中招模拟)如图,已知∠ABC=90°,D是直线AB上的点,AD=BC,过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD,连接DC、DF、CF,判断△CDF的形状,并证明.
10.(2017重庆A卷)在△ABM中,∠ABM=45°,AM⊥BM,垂足为M,点C是BM延长线上一点,连接AC.
(1)如图1,若AB=3
BC=5,求AC的长;
(2)如图2,点D是线段AM上一点,MD=MC,点E是△ABC外一点,EC=AC,连接ED并延长交BC于点F,且点F是线段BC的中点.求证:
∠BDF=∠CEF.
B组 提升题组
解答题
1.(2018河北)如图,∠A=∠B=50°,P为AB的中点,点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点,连接MP,并使MP的延长线交射线BD于点N,设∠BPN=α.
(1)求证:
△APM≌△BPN;
(2)当MN=2BN时,求α的度数;
(3)若△BPN的外心在该三角形的内部,直接写出α的取值范围.
2.(2018河南安阳二模)如图,点A是直线PQ上一动点,BC⊥PQ,垂足为C,线段AB的垂直平分线DE交∠PCB的平分线于点E,交AB于点D.连接AE,BE.
(1)如图1,AE与BE的数量关系是 ;过点E作EM⊥PQ于点M,作EN⊥BC于点N,通过证明△AEM≌△BEN,可知AE与BE的位置关系是 ;
(2)当点A在点C的下方如图2的位置时,
(1)中的结论还成立吗?
请说明理由;
(3)当点A位于如图3的位置时,过点A作AF∥CB交∠PCB的平分线于点F,设AC=a,CB=b,请直接写出EF的长(用含有a,b的式子表示).
图1 图2
图3
3.(2018河南濮阳二模)
(1)问题发现
在等腰三角形ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连接MD和ME.
填空:
线段AF,AG,AB之间的数量关系是 ;
线段MD,ME之间的数量关系是 .
(2)拓展探究
在任意三角形ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD与ME具有怎样的数量关系和位置关系?
并说明理由;
(3)解决问题
在任意三角形ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,M是BC的中点,连接MD和ME,若MD=2,请直接写出线段DE的长.
4.(2017河南郑州适应性测试(二模))
(1)问题发现:
如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以AC,BC为边向外侧作正方形ACDE和正方形BCFG.
△ABC和△DCF面积的关系是 ;(请在横线上填写“相等”或“不等”)
(2)拓展探究:
若∠C≠90°,
(1)中的结论还成立吗?
若成立,请结合图2给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)解决问题:
如图3,在四边形ABCD中,AC⊥BD,且AC与BD的和为10,分别以四边形ABCD的四条边为边向外侧作正方形ABFE、正方形BCHG、正方形CDJI、正方形DALK,运用
(2)中的结论,图中阴影部分的面积的和是否有最大值?
如果有,请求出最大值;如果没有,请说明理由.
图1
图2
图3
5.(2018安徽)如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°.点D为边AC上一点,DE⊥AB于点E.点M为BD的中点,CM的延长线交AB于点F.
(1)求证:
CM=EM;
(2)若∠BAC=50°,求∠EMF的大小;
(3)如图2,若△DAE≌△CEM,点N为CM的中点.求证:
AN∥EM.
图1 图2
答案精解精析
A组 基础题组
一、选择题
1.B 由作法可知OC=OD=O'C'=O'D',CD=C'D',
∴依据SSS可得△OCD≌△O'C'D',
∴∠D'O'C'=∠DOC.故选B.
2.B ∵BE⊥CE,AD⊥CE,
∴∠E=∠ADC=90°,
∴∠EBC+∠BCE=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠BCE+∠ACD=90°,
∴∠EBC=∠ACD.
在△CEB和△ADC中,
∴△CEB≌△ADC(AAS).
∴BE=DC=1,
CE=AD=3,
∴DE=EC-CD=3-1=2.故选D.
二、填空题
3.答案 ①②③
解析 ∵△ABO≌△ADO,∴∠BAC=∠DAC,∠AOB=∠AOD,AB=AD.
∵∠AOB+∠AOD=180°,∴∠AOB=90°,∴AC⊥BD,∴①正确;∵AB=AD,∠BAC=∠DAC,AC=AC,∴△ABC≌△ADC,
∴③正确;∵△ABC≌△ADC,∴CB=CD,∴②正确;∵DA与DC不一定相等,∴④不正确.
4.答案 1解析 如图,延长AD到E,使DE=AD,连接CE,BE,
则AE=2AD=2m.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD.
在△ADB和△EDC中,
∴△ABD≌△EDC,
∴EC=AB=5.
又在△AEC中,EC-AC即5-3<2m<5+3,
∴2<2m<8.
∴1三、解答题
5.解析
(1)证明:
∵∠C=∠D=90°,
∴△ACB与△BDA是直角三角形.
在Rt△ACB与Rt△BDA中,
∴Rt△ACB≌Rt△BDA.
(2)20.
6.解析
(1)证明:
∵BF=EC,
∴BF+FC=EC+CF,即BC=EF.
又∵AB=DE,AC=DF,
∴△ABC≌△DEF.
(2)AB∥DE,AC∥DF.
理由:
∵△ABC≌△DEF,
∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE.
∴AB∥DE,AC∥DF.
7.证明 ∵∠BAE=∠DAC,
∴∠BAE-∠CAE=∠DAC-∠CAE,
∴∠BAC=∠DAE.
在△ABC和△ADE中,
∴△ABC≌△ADE(SAS).
∴∠C=∠E.
8.证明 ∵AB∥CD,∴∠A=∠D.
∵EC∥BF,
∴∠BHA=∠CGD.
又∵AB=CD,
∴△ABH≌△DCG,
∴AH=DG,
∴AG=DH.
9.解析 △CDF是等腰直角三角形.
证明如下:
∵AF⊥AD,∠ABC=90°,
∴∠FAD=∠DBC,
在△FAD与△DBC中,
∴△FAD≌△DBC(SAS),∴FD=DC,
∴△CDF是等腰三角形,
∵△FAD≌△DBC,
∴∠FDA=∠DCB,
∵∠BDC+∠DCB=90°,
∴∠BDC+∠FDA=90°,即∠FDC=90°,
∴△CDF是等腰直角三角形.
10.解析
(1)∵AM⊥BM,点C是BM延长线上一点,
∴∠AMB=∠AMC=90°,
∴△AMB和△AMC是直角三角形,
∵∠ABM=45°,AB=3
∴BM=AM=3,
∵BC=5,∴CM=2,
在Rt△AMC中,AC=
=
=
.
(2)证明:
∵∠ABM=45°,AM⊥BM,点C是BM延长线上一点,
∴BM=AM,∠BMD=∠AMC=90°.
在△BMD和△AMC中,
∵BM=AM,∠BMD=∠AMC,MD=MC,
∴△BMD≌△AMC,
∴BD=AC.
∵EC=AC,∴BD=EC.
延长DF到点G,使FG=FD,连接CG,
∵点F是线段BC的中点,
∴CF=BF.
∵∠CFG=∠BFD,FG=FD,
∴△CFG≌△BFD,
∴CG=BD,∠G=∠BDF.
∵BD=EC,∴CG=EC,
∴∠G=∠E.
∵∠G=∠BDF,
∴∠BDF=∠CEF.
B组 提升题组
解答题
1.解析
(1)证明:
∵P为AB的中点,
∴PA=PB.
又∵∠A=∠B,∠MPA=∠NPB,
∴△APM≌△BPN.
(2)由
(1)得PM=PN,∴MN=2PN,
∵MN=2BN,∴PN=BN,
∴α=∠B=50°.
(3)40°<α<90°.
提示:
∵△BPN的外心在该三角形的内部,∴△BPN是锐角三角形,
∴∠BPN和∠BNP都为锐角,
又∵∠B=50°,
∴40°<∠BPN<90°,即40°<α<90°.
2.解析
(1)相等;垂直.
(2)成立.理由如下:
过点E作EM⊥PQ于点M,作EN⊥BC于点N,如图所示.
∵PQ⊥BC,
∴四边形MCNE是矩形,
∴∠MEN=90°.
∵CE是∠PCB的平分线,∴ME=EN,
又∵ED是AB的垂直平分线,
∴AE=BE,
∴△AME≌△BNE,∴∠MEA=∠NEB.
∵∠MEA+∠AEN=90°,∴∠NEB+∠AEN=90°,
∴AE⊥BE.
综上,AE=BE,AE⊥BE.
(3)EF=
(b-a).
3.解析
(1)AF=AG=
AB;MD=ME.
(2)MD=ME,MD⊥ME.
理由如下:
取AB、AC的中点F,G,连接DF,FM,MG,EG,设AB与DM交于点H.如图1.
∵△ADB和△AEC都是等腰直角三角形,
∴∠DFA=∠EGA=90°,DF=AF=
AB,EG=AG=
AC.
∵点M是BC的中点,∴FM和MG都是△ABC的中位线,
∴AF∥MG,AF=DF=MG.
∴四边形AFMG是平行四边形,
同理可得∴FM=AG=GE,∠AFM=∠AGM,
∴∠DFM=∠MGE.
在△DFM和△MGE中,
∴△DFM≌△MGE(SAS).
∴MD=ME,∠FDM=∠GME,
∴∠BHM=90°+∠FDM=90°+∠GME,
∠BHM=∠HMG=∠DME+∠GME.
∴∠DME=90°.即MD⊥ME.
(3)线段DE的长为2
.
4.解析
(1)相等.
(2)成立.理由如下:
如图,过点A作AP⊥BC的延长线于点P,过点D作DQ⊥FC于点Q.
∴∠APC=∠DQC=90°.
∵四边形ACDE、四边形BCFG均为正方形,
∴AC=CD,BC=CF,∠ACP+∠PCD=90°,∠DCQ+∠PCD=90°,
∴∠ACP=∠DCQ.
∴△APC≌△DQC(AAS),∴AP=DQ.
又∵S△ABC=
BC·AP,S△DFC=
FC·DQ,
∴S△ABC=S△DFC.
(3)图中阴影部分的面积的和有最大值.
理由:
由
(2)的结论可知:
S△KDJ=S△ADC,S△FBG=S△ABC,S△AEL=S△ABD,S△CHI=S△BDC.
∴S阴影=S△KDJ+S△FBG+S△AEL+S△CHI=S△ADC+S△ABC+S△ABD+S△BDC=2S四边形ABCD.
设AC=m(0∵AC⊥BD,
∴S四边形ABCD=
AC·BD=
m·(10-m)=-
m2+5m=-
(m-5)2+
.
∴S四边形ABCD有最大值,最大值为
.
∴阴影部分的面积的和有最大值,最大值为25.
5.解析
(1)证明:
由已知,在Rt△BCD中,∠BCD=90°,M为斜边BD的中点,
∴CM=
BD.
又DE⊥AB,同理,EM=
BD,
∴CM=EM.
(2)由已知得,∠CBA=90°-50°=40°.
又由
(1)知CM=BM=EM,
∴∠CME=∠CMD+∠DME=2(∠CBM+∠EBM)=2∠CBA=2×40°=80°,
∴∠EMF=180°-∠CME=100°.
(3)证明:
∵△DAE≌△CEM,
∴∠CME=∠DEA=90°,DE=CM,AE=EM.
又CM=DM=EM,∴DM=DE=EM,
∴△DEM是等边三角形,
∴∠MEF=∠DEF-∠DEM=30°.
在Rt△EMF中,∠EMF=90°,∠MEF=30°,
∴
=
又∵NM=
CM=
EM=
AE,
∴FN=FM+NM=
EF+
AE=
(AE+EF)=
AF.
∴
=
=
.
又∵∠AFN=∠EFM,
∴△AFN∽△EFM,∴∠NAF=∠MEF,
∴AN∥EM.