四川省成都市郫都区学年高三第三次阶段考试数学理试题解析版.docx
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四川省成都市郫都区学年高三第三次阶段考试数学理试题解析版
成都市郫都区高2019级阶段性检测（三）数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
1.设集合，，则（）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合，利用补集的定义可求得结果.
【详解】由可得，故，
因此，.
故选：
D.
2.若复数z满足，则z的实部为（）
A.0B.1C.D.i
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的四则运算规则计算出z的表达式即可.
【详解】设，，
，即z的实部为0；
故选：
A.
3.已知命题垂直于同一平面的两直线平行；命题平行于同一平面的两直线平行.则下列命题中正确的是（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】判断命题、的真假，利用复合命题的真假可得出合适的选项.
【详解】垂直于同一平面的两直线平行，命题为真命题，
平行于同一平面的两直线平行、相交或异面，命题为假命题，
所以，、、均为假命题，为真命题.
故选：
D.
4.若为数列的前项和，且，则等于（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用求得.
【详解】时，.
时，，
，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
故选：
B
5.郫都是中国农家乐旅游发源地、最美中国生态旅游目的地，是四川省乡村旅游的先行者，快工作慢生活，构成了安逸郫都最靓丽的风景线.郫都大部分农民都有自己的苗圃，也不断改进种植花卉苗木的技术．改进后，某种苗木在单位面积上的出苗数量增加了50%，且在同一生长周期内的高度（cm）变化的饼图如图所示，则下列说法正确的是（）
A.80cm以上优质苗木所占比例增加10%
B.改进后，80cm以上优质苗木产量实现了增加80%的目标
C.70cm-80cm的苗木产量没有变化
D.70cm以下次品苗木产量减少了
【答案】B
【解析】
【分析】设改进前某种苗木在单位面积上的出苗数量为，改进后它的出苗数量为，则单位面积80cm以上的增加量为，70cm-80cm的苗木产量增加，70cm以下次品苗木产量减少了，即可判断结果．
【详解】设改进前某种苗木在单位面积上的出苗数量为，改进后它的出苗数量为，
则80cm以上优质苗木所占比例增加了，即故A错；
80cm以上优质苗木产量实现了增加了，即的目标，故B正确；
单位面积上70cm-80cm的苗木产量增加了，故C错；
70cm以下次品苗木产量减少了，故D错
故选：
B．
6.已知直线与曲线相切，则a的值为（）
A.2B.1C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数的几何意义求切线即可.
【详解】直线y=x+1的斜率为1，
对曲线求导得，，
将代入直线y=x+1中，得，则点为切点，
带入曲线方程得得；
故选：
D.
7.郫都区高级理科学生参加“成都一诊”考试的数学成绩服从正态分布，下列结论中不正确的是（）
（附：
，，）
A.越大，学生数学成绩在的概率就越大
B.当时，
C.无论为何值，学生数学成绩大于概率为
D.无论为何值，学生数学成绩在小于与大于的概率相等
【答案】A
【解析】
【分析】利用对总体的影响可判断A选项；利用原则可判断B选项；利用正态曲线的对称性可判断CD选项.
【详解】对于A选项，越大，峰值低，正态曲线越“矮胖”，随机变量的分布比较分散，
则学生数学成绩在的概率就越小，A错；
对于B选项，当时，，，
则
故B对；
对于C选项，无论为何值，学生数学成绩大于的概率，C对；
对于D选项，因为，由正态曲线对称性可得，D对.
故选：
A.
8.已知，是椭圆C：
的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（）
A.13B.12C.9D.6
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆方程求得，再由椭圆的定义可得，利用基本不等式即可求解．
【详解】由椭圆可得，所以，
因为点在上，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，最大值为，
故选：
C．
9.已知，，，则（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】推导出、，结合对数函数的单调性可得出、、的大小关系.
【详解】因为，则，所以，，即；
，则，所以，，所以，，即，故.
故选：
D.
10.甲、乙两人约定在下午4：
00~5：
00间在某地相见，且他们在4：
00~5：
00之间到达时刻是等可能的，同时他们约好当其中一人先到后一定要等另一人20分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率为（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题先建立直角坐标系，将所有事件及满足条件事件对应的区域画出来，根据面积之比得到概率.
【详解】
以4：
00为时间起点，建立直角坐标系，设甲、乙分别在第分钟和第分钟到达，则样本空间为，
即图中正方形；能相见的条件是事件满足，即图中阴影部分对应区域，由几何概型知所求概率为.
故选：
B.
11.已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造，应用导数及已知条件判断的单调性，而题设不等式等价于即可得解.
【详解】设，则，
∴在R上单调递增.
又，则.
∵等价于，即，
∴，即所求不等式的解集为.
故选：
A.
12.已知函数（，，），满足且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（）
A.5B.7C.9D.11
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数的对称性可得、，两式相减进一步化简可得，根据正弦型函数的单调性得，代入周期计算公式可得，取验证函数的单调性即可.
【详解】由于，则关于对称，即是函数的一条对称轴，
，①
，②
①-②得，
令，，则，，
，，的最小正周期，
在上单调，，
，解得，
当时，，则②式为，，
又，，此时，
当时，，
在上不单调，不符合题意舍去；
当时，，则②式为，，
又，当时，，此时，
当时，，单调递增；
当时，，此时，
当时，，单调递减.
的最大值为9.
故选：
C
【点睛】解决三角函数中已知单调区间求参数范围时，首先要有已知的单调区间是函数单调区间的子集的意识，然后明确正弦、余弦函数的单调区间长度不会超过半个周期（正切函数的单调区间长度不会超过一个周期）这一事实最终准确求得参数范围，数形结合能给解题带来比较清晰地思路.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若双曲线的一条渐近线为，则的焦距为______.
【答案】
【解析】
【分析】由双曲线的渐近线方程求出的值，可求得的值，由此可得出双曲线的焦距.
【详解】双曲线的渐近线方程为，由题意可得，，解得，
故，，则，因此，双曲线的焦距为.
故答案为：
.
14.在菱形ABCD中，若，则等于______.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量数量积的几何意义结合菱形性质可得.
【详解】如图，因为ABCD是菱形，所以，又，所以在上的投影，所以.
故答案：
15.若等差数列的前n项和为，且，，则使得成立的n的最大值为______.
【答案】10
【解析】
【分析】由已知得和的关系，代入不等式中可解.
【详解】因为，得，即
因为，所以d<0，所以
整理得，解得.
故答案为：
10
16.体积为8的四棱锥的底面是边长为的正方形，四棱锥的外接球球心O到底面ABCD的距离为2，则点P的轨迹长度为______.
【答案】
【解析】
【分析】作图，分析图中的几何关系，建立坐标系，有题所给的条件可求得点P的轨迹.
【详解】
设正方形ABCD的中心为，由题可知，，
过做平面ABCD的垂线，确定外接球的球心为O，则，
设四棱锥P-ABCD的高为h，，h=3，
以为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，
建立如上图所示的坐标系，外接球O的半径为，点，
设P（x,y,z），由于点P在外接球O的球面上，
根据空间两点距离公有，
h=z+2=3，z=1，代入上式得，
即点P是在z=1的平面上的圆，其半径为，
所以点P的轨迹长度为；
故答案为：
.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.在中，角，，所对的边分别是，，，且
（1）若，，求；
（2）若，试判断的形状.
【答案】
（1）1
（2）等边三角形
【解析】
【分析】
（1）先求出角，然后结合已知条件，利用正弦定理求出角A，进而可得角C，从而可得答案；
（2）利用余弦定理，结合已知条件可得，则有，从而即可判断的形状.
【小问1详解】
解：
在中，由，，得，
因为，，
所以由正弦定理，可得，即，
又，所以，
所以，
所以；
【小问2详解】
解：
因为，所以，又由余弦定理有.
所以，即，
所以，
所以，又，
所以，
所以是等边三角形.
18.2022年将在成都举行“第31届世界大学生夏季运动会”，为迎接大运会，郫都区举行了“爱成都迎大运”系列活动.同时为了了解郫都区人民对体育运动的热情和对运动相关知识的掌握情况，郫都区总工会在各社区开展了有奖知识竞赛，参赛人员所得分数的分组区间为，，，，，由此得到总体的频率统计表，再利用分层抽样的方式随机抽取20名居民进行进一步调研.
分数区间
频率
0.1
0.4
0.2
a
（1）若打算从这20名参赛居民中依次抽取3名进行调查分析，求在第一次抽出1名居民分数在区间内的条件下，后两次抽出的2名居民分数大于80的概率；
（2）若从得分在80分以上的样本中随机选取2人，用X表示得分高于90分的人数，求X的分布列及期望.
【答案】
（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）由频率之和等于1求得a，算出相应区间内的人数，由条件概率可得；
（2）由超几何分布求概率，然后可解.
【小问1详解】
由题意得，所以.
则得分位于的共有人，得分位于的有6人，
记事件第一次抽出名学生分数在区间内，
记事件后两次抽出的名学生分数在同一分组区间内，
则，，
由条件概率公式可得
（或：
若第一次抽出名学生分数在区间内，则还剩下19人，其中得分位于的有人，则）
【小问2详解】
得分位于分以上的共有人，其中得分位于的有人，
所以的可能取值有、、，
，，，
所以的分布列为：
所以.
19.如图，在四棱锥中，平面，且，，，.
（1）求证：
平面平面；
（2）设为棱上一点，且平面，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理求出的长，利用勾股定理可得出，结合已知条件与线面垂直的判定定理可得出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）连接交于点，连接，分析得出，结合相似三角形可得出，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【小问1详解】
证明：
，平面，平面.
又平面，，，
在中，由，得，.
又，，.
在中，由余弦定理可得，
即，解得，，则，
而，，平面，
又平面，因此，平面平面.
【小问2详解】
解：
连接交于点，连接.
平面，平面，平面平面，，
.
在直角梯形中，，则，所以，
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