北京市中考数学试题及答案解析版.docx

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北京市中考数学试题及答案解析版

北京市2011年中考数学试卷—解析版

一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）

1、（2011•北京）﹣

的绝对值是（　　）

A、﹣

B、

C、﹣

D、

考点：

绝对值。

专题：

计算题。

分析：

数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．

解答：

解：

数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，在数轴上，点﹣

到原点的距离是

，所以﹣

的绝对值是﹣

．

故选D．

点评：

本题考查绝对值的基本概念：

数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．

2、（2011•北京）我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665575306人．将665575306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为（　　）

A、66.6×107B、0.666×108C、6.66×108D、6.66×107

考点：

科学记数法与有效数字。

分析：

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于1048576有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．

有效数字的计算方法是：

从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．

用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．

解答：

解：

665575306≈6.66×108．

故选C．

点评：

此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．

3、（2011•北京）下列图形中，即是中心对称又是轴对称图形的是（　　）

A、等边三角形B、平行四边形C、梯形D、矩形

考点：

中心对称图形；轴对称图形。

分析：

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，四个选项中，只有D选项既为中心对称图形又是轴对称图形

解答：

解：

A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；

B、是不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；

D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项正确．

故选D．

点评：

本题主要考察中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

4、（2011•北京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若

，

，则

的值为（）

A、

B、

C、

D、

考点：

相似三角形的判定与性质；梯形。

专题：

证明题。

分析：

根据梯形的性质容易证明△AOD∽△COB，然后利用相似三角形的性质即可得到AO：

CO的值．

解答：

解：

∵四边形ABCD是梯形，∴AD∥CB，

∴△AOD∽△COB，∴

，

∵AD=1，BC=3．∴

=

．

故选B．

点评：

此题主要考查了梯形的性质，利用梯形的上下底平行得到三角形相似，然后用相似三角形的性质解决问题．

5、（2011•北京）北京今年6月某日部分区县的高气温如下表：

区县

大兴

通州

平谷

顺义

怀柔

门头沟

延庆

昌平

密云

房山

最高气温

32

32

30

32

30

32

29

32

30

32

则这10个区县该日最高气温的众数和中位数分别是（　　）

A、32，32B、32，30C、30，32D、32，31

考点：

众数；中位数。

专题：

计算题。

分析：

找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．

解答：

解：

在这一组数据中32是出现次数最多的，故众数是32；

处于这组数据中间位置的数是32、32，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是32．

故选A．

点评：

本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．

6、（2011•北京）一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为（　　）

A、

B、

C、

D、

考点：

概率公式。

专题：

计算题。

分析：

根据概率的求法，找准两点：

①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

解答：

解：

根据题意可得：

一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，共15个，

摸到红球的概率为

=

，

故选B．

点评：

此题考查概率的求法：

如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=

．

7、（2011•北京）抛物线

的顶点坐标为（　　）

A、（3，﹣4）B、（3，4）C、（﹣3，﹣4）D、（﹣3，4）

考点：

二次函数的性质。

专题：

应用题。

分析：

利用配方法把抛物线的一般式写成顶点式，求顶点坐标；或者用顶点坐标公式求解．

解答：

解：

∵

，

=x2﹣6x+9﹣9+5，

=（x﹣3）2﹣4，

∴抛物线

的顶点坐标是（3，﹣4）．

故选A．

点评：

本题主要考查了二次函数的性质，配方法求顶点式，难度适中．

8、（2011•北京）如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设AD=x，CE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是（　　）

A、B、C、D、

考点：

动点问题的函数图象。

专题：

数形结合。

分析：

本题需先根据题意，求出y与x的函数关系式，即可得出y与x的函数关系图象．

解答：

解：

∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2∴当x=0时，y的值是

．

∵当x=2时，y的值无限大∴y与x的函数关系图象大致是B．

故选B．

点评：

本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据题意得出函数关系本题的关键．

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

9、（2011•北京）若分式

的值为0，则x的值等于　8　．

考点：

分式的值为零的条件。

专题：

计算题。

分析：

根据分式的值为零的条件：

分子=0，分母≠0，可以求出x的值．

解答：

解：

x﹣8=0，x=8，

故答案为：

8．

点评：

此题主要考查了分式的值为0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：

（1）分子为0；

（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．

10、（2006•巴中）分解因式：

a3﹣10a2+25a=　a（a﹣5）2．

考点：

提公因式法与公式法的综合运用。

分析：

先提取公因式a，再利用完全平方公式继续分解．

解答：

解：

a3﹣10a2+25a，

=a（a2﹣10a+25），（提取公因式）

=a（a﹣5）2．（完全平方公式）

点评：

本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后可以利用完全平方公式继续进行二次分解，分解因式一定要彻底．

11、（2011•北京）若下图是某几何体的表面展开图，则这个几何体是　圆柱　．

考点：

由三视图判断几何体。

专题：

图表型。

分析：

由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．

解答：

解：

一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．

故答案为：

圆柱．

点评：

本题考查了展开图折叠成几何体，熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．

12、（2011•北京）在右表中，我们把第i行第j列的数记为ai，j（其中i，j都是不大于5的正整数），对于表中的每个数ai，j，规定如下：

当i≥j时，ai，j=1；当i＜j时，ai，j=0．例如：

当i=2，j=1时，ai，j=a2，1=1．按此规定，a1，3=　0　；表中的25个数中，共有　15　个1；计算a1，1•ai，1+a1，2•ai，2+a1，3•ai，3+a1，4•ai，4+a1，5•ai，5的值为　1　．

a1，1

a1，2

a1，3

a1，4

a1，5

a2，1

a2，2

a2，3

a2，4

a2，5

a3，1

a3，2

a3，3

a3，4

a3，5

a4，1

a4，2

a4，3

a4，4

a4，5

a5，1

a5，2

a5，3

a5，4

a5，5

考点：

规律型：

数字的变化类。

分析：

由题意当i＜j时，ai，j=0．当i≥j时，ai，j=1；由图表中可以很容易知道等于1的数有15个．

解答：

解：

由题意，很容易发现，从i与j之间大小分析：

当i＜j时，ai，j=0．

当i≥j时，ai，j=1；

由图表可知15个1．

故填：

0；15；1．

点评：

本题考查了数字的变化，由题意当i＜j时，ai，j=0．当i≥j时，ai，j=1；仔细分析很简单的问题．

三、解答题（共13小题，满分72分）

13、（2011•北京）计算：

．

考点：

实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。

专题：

计算题。

分析：

根据负指数幂、特殊角的三角函数值、三次根式、零指数幂的性质化简，然后根据实数运算法则进行计算即可得出结果．

解答：

解：

原式=2﹣2×

+3

+1=2﹣

+3

+1=2

+3．

点评：

本题主要考查了负指数幂、特殊角的三角函数值、三次根式、零指数幂的性质及实数运算法则，难度适中．

14、（2011•北京）解不等式：

．

考点：

解一元一次不等式。

分析：

根据不等式的解法，去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1解不等式，注意不等式的两边同时除以同一个负数时，要改变不等号的方向．

解答：

解：

去括号得：

4x﹣4＞5x﹣6，

移项得：

4x﹣5x＞4﹣6，

合并同类项得：

﹣x＞﹣2，

把x的系数化为1得：

x＜2，

∴不等式的解集为：

x＜2．

点评：

此题主要考查了不等式的解法，一定要注意符号的变化，和不等号的变化情况．

15、（2011•北京）已知a2+2ab+b2=0，求代数式a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b）的值．

考点：

整式的混合运算—化简求值。

专题：

计算题。

分析：

本题需先要求的式子进行化简整理，再根据已知条件求出a+b的值，即可求出最后结果．

解答：

解：

a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b）

=a2+4ab﹣（a2﹣4b2）=4ab+4b2

∵a2+2ab+b2=0∴a+b=0

∴原式=4b（a+b）=0

点评：

本题主要考查了整式的混合运算，在解题时要注意运算顺序和乘法公式的综合应用是本题的关键．

16、（2011•北京）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：

AE=FC．

考点：

全等三角形的判定与性质；平行线的性质。

专题：

证明题。

分析：

根据BE∥DF，可得∠ABE=∠D，再利用ASA求证△ABC和△FDC全等即可．

解答：

证明：

∵BE∥DF，∴∠ABE=∠D，

在△ABC和△FDC中，∠ABE=∠D，AB=FD，∠A=∠F

∴△ABC≌△FDC，∴AE=FC．

点评：

此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，此题的关键是利用平行线的性质求证△ABC和△FDC全等．

17、（2011•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数y=

的图象的一个交点为A（﹣1，n）．

（1）求反比例函数y=

的解析式；

（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P的坐标．

考点：

反比例函数与一次函数的交点问题。

专题：

代数综合题。

分析：

（1）把A的坐标代入函数解析式即可求得k的值，即可得到函数解析式；

（2）以A为圆心，以OA为半径的圆与坐标轴的交点就是P．

解答：

解：

（1）∵点A（﹣1，n）在一次函数y=﹣2x的图象上．

∴n=﹣2×（﹣1）=2

∴点A的坐标为（﹣1，2）

∵点A在反比例函数的图象上．∴k=﹣2

∴反比例函数的解析式是y=﹣

．

（2）点P的坐标为（﹣2，0）或（0，4）．

点评：

本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．

18、（2011•北京）列方程或方程组解应用题：

京通公交快速通道开通后，为响应市政府“绿色出行”的号召，家住通州新城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点18千米．他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的

．小王用自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米？

考点：

分式方程的应用。

专题：

行程问题。

分析：

设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x千米，根据已知小王家距上班地点18千米．他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的

，可列方程求解．

解答：

解：

设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x千米，

=

×

x=27

经检验x=27是原方程的解，且符合题意．

小王用自驾车方式上班平均每小时行驶27千米．

点评：

本题考查理解题意的能力，关键是以时间做为等量关系，根据乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的

列方程求解．

19、（2011•北京）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，求四边形ACEB的周长．

考点：

平行四边形的判定与性质；勾股定理。

专题：

几何图形问题。

分析：

先证明四边形ACED是平行四边形，可得DE=AC=2．由勾股定理和中线的定义可求AB和EB的长，从而求出

四边形ACEB的周长．

解答：

∵ACB=90°，DE^BC，

∴AC//DE，又∵CE//AD，

∴四边形ACED是平行四边形，

∴DE=AC=2，

在Rt△CDE中，由勾股定理得CD=

=2

∵D是BC的中点，

∴BC=2CD=4

.

在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=

=2

∵D是BC的中点，DE^BC，

∴EB=EC=4,

∴四边形ACEB的周长=ACCEEBBA=102

。

点评：

本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理和中线的定义，注意寻找求AB和EB的长的方法和途径．

20、（2011•北京）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=

∠CAB．

（1）求证：

直线BF是⊙O的切线；

（2）若AB=5，sin∠CBF=

，求BC和BF的长．

考点：

切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。

专题：

证明题；综合题。

分析：

（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABE=90°．

（2）利用已知条件证得∴△AGC∽△BFA，利用比例式求得线段的长即可．

解答：

解：

（1）证明：

连接AE，

∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°．

∵AB=AC，∴∠1=

∠CAB．

∵∠CBF=

∠CAB，∴∠1=∠CBF∴∠CBF+∠2=90°

即∠ABF=90°

∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线．

（2）过点C作CG⊥AB于点G．

∵sin∠CBF=

，∠1=∠CBF，∴sin∠1=

∵∠AEB=90°，AB=5，∴BE=AB•sin∠1=

，

∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=2

，

在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=2

，

∴sin∠2=

，cos∠2=

，

在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3，

∵GC∥BF，∴△AGC∽△BFA∴

∴BF=

=

点评：

本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．

21、（2011•北京）以下是根据北京市国民经济和社会发展统计公报中的相关数据，绘制统计图的一部分．

请根据以上信息解答下列问题：

（1）2008年北京市私人轿车拥有是多少万辆（结果保留三个有效数字）？

（2）补全条形统计图；

（3）汽车数量增多除造成交通拥堵外，还增加了碳排放量，为了了解汽车碳排放量的情况，小明同学通过网络了解到汽车的碳排放量与汽车排量有关．如：

一辆排量为1.6L的轿车，如果一年行驶1万千米，这一年，它碳排放量约为2.7吨．于是他调查了他所居住小区的150辆私人轿车，不同排量的轿车数量如下表所示．

排量（L）

小1.6

1.6

1.8

大于1.8

数量（辆）

29

75

31

15

如果按照小明的统计数据，请你通过计算估计，2010年北京市仅排量为1.6L的这类私人轿车（假设每辆车平均一行行驶1万千米）的碳排放总量约为多少万吨？

考点：

折线统计图；条形统计图。

专题：

数形结合。

分析：

（1）用2007年北京市私人轿车拥有辆乘以增长率再加上2007年的拥有量即可解答．

（1）根据上题解答补全统计图即可．

（3）先求出本小区内排量为1.6L的这类私人轿车所占的百分比，再用样本估计总体的方法求出排放总量即可解答．

解答：

解：

（1）146×（1+19%），

=173.74，

≈174（万辆），

所以2008年北京市私人轿车拥有量约是174万辆；

（2）如图．

（3）276×

×2.7=372.6（万吨），

所以估计2010年北京市仅排量为1.6L的这类私人轿车的碳排放总量约为372.6万吨．

点评：

本题考查了折线统计图、条形统计图的知识，难度较大，注意解答此类综合题目时要抓住每种统计图的特点，不要弄混．

22、（2011•北京）阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积．

小伟是这样思考的：

要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形（如图2）．

参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：

如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF．

（1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；

（2）若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于

．

考点：

平移的性质；三角形的面积；作图—复杂作图。

专题：

探究型。

分析：

根据平移可知，△ADC≌△ECD，且由梯形的性质知△ADB与△ADC的面积相等，即△BDE的面积等于梯形ABCD的面积．

（1）分别过点F、C作BE、AD的平行线交于点P，得到的△CFP即是以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形．

（2）由平移的性质可得对应线段平行且相等，对应角相等．结合图形知以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于△ABC的面积的

．

解答：

解：

△BDE的面积等于1．

（1）如图．以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形是△CFP．

（2）以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于

．

点评：

本题考查平移的基本性质：

①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．

23、（2011•北京）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求点A的坐标；

（2）当∠ABC=45°时，求m的值；

（3）已知一次函数y=kx+b，点P（n，0）是x轴上的一个动点，在

（2）的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y=mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）的图象于N．若只有当﹣2＜n＜2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式．

考点：

二次函数综合题。

专题：

代数综合题。

分析：

（1）令y=0则求得两根，又由点A在点B左侧且m＞0，所以求得点A的坐标；

（2）二次函数的图象与y轴交于点C，即求得点C，由∠ABC=45°，从而求得；

（3）由m值代入求得二次函数式，并能求得交点坐标，则代入一次函数式即求得．

解答：

解：

（1）∵点A、B是二次函数y=mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）的图象与x轴的交点，

∴令y=0，即mx2+（m﹣3）x﹣3=0

解得x1=﹣1，

又∵点A在点B左侧且m＞0

∴点A的坐标为（﹣1，0）

（2）由

（1）可知点B的坐标为

∵二次函数的图象与y轴交于点C

∴点C的坐标为（0，﹣3）

∵∠ABC=45°

∴

∴m=1

（3）由

（2）得，二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣3

依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为﹣2和2，

由此可得交点坐标为（﹣2，5）和（2，﹣3），将交点坐标分别代入一次函数解析式y=kx+b中，

得

解得：

∴一次函数解析式为y=﹣2x+1

点评：

本题考查了二次函数的综合运用，

（1）令y=0则求得两根，又由AB位置确定m＞0，即求得；

（2）二次函数的图象与y轴交于点C，再由45度从而求得．（3）由m值代入求得二次函数式，求得交点坐标，则代入一次函数式即求得．本题比较模糊，按照一般计算，代入即求得．

24、（2011•北京）在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．

（1）在图1中证明CE=CF；

（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；

（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．

考点：

平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质。

专题：

计算题；证明题。

分析：

（1）根据AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，求证∠CEF=∠F．即可

（2）根据∠ABC=90°，G是EF的中点可直接求得．

（3）分别连接GB、GE、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形．

由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可求得答案

解答：

解：

（1）如图1，

∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF=∠DAF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，

∴∠CEF=∠F．

∴CE=CF．

（2）∠BDG=45°

（3）解：

分别连接GB、GE、GC，

∵AD∥BC，∠ABC=120°

∴∠ECF=∠ABC=120°

∵FG∥CE且FG=CE，

∴四