第14章《勾股定理》.docx

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第14章《勾股定理》

第60课时14.1.1《直角三角形三边的关系》

一、教学目标

【知识与技能目标】：

能说出勾股定理的内容,并运用它进行简单的计算和解决一些简单的实际问题。

【能力与方法目标】：

经历探索勾股定理的过程，让学生经历“观察—猜想—探索—归纳—验证”这几个思维阶段，发展数形结合、合情推理的能力和语言表达的能力。

【情感与态度目标】：

通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值，使学生热爱祖国，热爱科学；通过探索过程获得成功的经验和克服困难的经历，增强学生学习数学的信心。

二、教学重点

探究直角三角形三边的关系，归纳勾股定理及简单应用。

三、教学难点

勾股定理的探索过程。

四、教学方法

引导探索法、自主探究法、合作交流法、演示法

五、教学过程

（一）创设情境，引发思考

1、设置疑问：

小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。

但小明量出长58厘米和宽46厘米，是不是售货搞错了呢？

此时教师应向学生介绍“我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度”这一生活常识，进而引导学生将实际问题转化成数学问题,也就是“已知一直角三角形的两边，如何求第三边？

”的问题，激发学生的探究欲望。

2、回忆有关直角三角形的相关知识，教师引导提问直角三角形的三边有什么关系？

揭示课题。

（二）自主探索，合作交流

探究活动1：

1、猜想：

将等腰直角三角形放到方格纸中研究，分别以等腰直角三角形的三边为边长向外作正方形，让学生猜想这三个正方形的面积有什么关系？

2、观察思考：

直角三角形三边的关系与猜想是否一样？

3、引导点拨：

将“R”分“割”成若4个大小一样的直角三角形或“补”成边长为2的正方形面积的一半.

4、得出结论：

SP+SQ=SR

探究活动2：

1、提出问题：

是否所有的一般直角三角形都有这个结论呢？

2、观察填空：

学生交流合作，共同寻找办法，发现三个正方形的面积，并抽生交流方法。

3、议一议：

（1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？

（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？

与同伴进行交流。

4、得出结论：

SP+SQ=SR从而由面积的求法推出a2＋b2＝c2

5、验证结论：

学生在P117页方格纸上作一个直角边分别是6cm和8cm的直角三角形。

通过测量，计算来验证结论。

（三）归纳概括，发现定理

1、学生交流得出结论：

勾股定理——直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

符号语言：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，则AC2+BC2＝AB2（或a2＋b2＝c2）

此处教师引导学生用符号语言表示勾股定理。

2、强调：

（1）成立的条件是在直角三角形中

（2）作用是已知两条边，求另一边。

3、结论变形：

引导学生对a2＋b2＝c2变形并说明为什么取算术平方根。

（四）例题讲析，点拨思维

学生自学例1，教师引导学生读题分析，板书强调解题格式。

（五）学以致用，体验成功

1、做一做：

求下列直角三角形中未知边的长。

2、小试牛刀

已知Rt△ABC中，∠C=90°.

1若a=15，b=20，求c；

②若c=10，b=8，求a.

若一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x＝　　　　　.

3、乘风破浪

如图：

一块长约8m、宽约6m的长方形草地，被不自觉的学生沿对角线踏出了一条斜“路”。

请同学们说说：

走斜“路”的客观原因是什么？

为什么？

斜“路”比正路近多少？

这么几步近路，值得吗？

4、应用知识回归生活

练习3.小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。

小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。

你能解释这是为什么吗？

5、回到开头的实际问题，前后呼应，学生能从中体会到成功的喜悦,同时体现了数学是与实际生活紧密相连的。

（五）追溯历史，激发情感

利用多媒体介绍勾股定理的历史，列举东西文化中对勾股定理的发现，介绍一些著名的人物、著作和学派,如商高、《周髀算经》、毕达哥拉斯……，并展示美丽的“勾股树”。

让学生体会勾股定理所蕴涵的文化价值。

学生对中国乃至世界的数学史产生浓厚的兴趣。

（六）回顾反思，提炼升华

1、学生说说通过本节课的学习，有哪些收获与感悟？

2、板书本节课的知识点。

（七）布置作业

【驻足“双基”】

1．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，S△ABC=30cm2，则AB=________．

2．等腰△ABC的腰长AB=10cm，底BC为16cm，则底边上的高为______，面积为_____．

3．一个直角三角形三条边为三个连续偶数，则它的三边长分别为_______．

4．△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，M，N在AB上，且AM=AC，BN=BC，则MN的长为（）．

A．2B．26C．3D．4

5．等腰三角形腰长32cm，顶角的大小的一个底角的4倍，求这个三角形的面积_____．

【提升“学力”】

6．某车间的人字形屋架为等腰三角形ABC，跨度AB=24m，上弦AC=13m，求中柱CD．（D为底AB的中点）

7．如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．

【聚焦“中考”】

8．（1994年天津市中考题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，且BD=AD=10，∠ADC=60°，求△ABC面积．

附:

板书设计（见课件）

（八）教学反思

第61课时14.1.2勾股定理

（2）

教学目标

知识与技能：

掌握勾股定理在实际问题中的应用．

过程与方法：

经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法．

情感态度与价值观：

培养良好的思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值．

重难点、关键

重点：

掌握勾股定理的实际应用．

难点：

理解勾股定理的应用方法．

关键：

把握Rt△中的三边关系，充分应用两直角边的平方等于斜边的平方，要注意直角边和斜边的区分．

教学准备

教师准备：

制作投影片，收集并制作补充问题的投影片．

学生准备：

复习勾股定理．

学法解析

1．认知起点：

在前面已经学习了一些几何知识，以及勾股定理的基础上，对勾股定理的应用加以理解．

2．知识线索：

实际问题

勾股定理

3．学习方式：

采用讲练结合的学习方式，注重合作交流．

教学过程

一、回顾交流，小测评估

【课堂小测题】（投影显示）

1．填空题

（1）等腰三角形中，一边长为4，另一边长为9，则这个三角形的面积是_______．

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=b=2cmm，S△ABC=______（填：

2cm）

2．选择题

（1）在△ABC中，∠C=90°，∠A=∠B，则BC：

AC：

AB=（A）．

A．1：

1：

B．1：

1：

2C．1：

1：

1D．以上结论都不对

（2）等边三角形面积为8cm，它的边长（D）．

A．2

cmB．4

cmC．8

cmD．以上结论都不对

【活动方略】

教师活动：

操作投影仪，组织学生测试，而后讲评，通过讲评，理解勾股定理的应用．

学生活动：

独立小测，通过小测加深对勾股定理应用的理解．

【设计意图】采用“测中反思”的方法，促进学生对知识的理解，发现问题，以利于本节课解决．

二、数形结合，应用所学

【显示投影片2】

问题探究3：

大家知道，数轴上的点有些是表示有理数，有些表示无理数，请你在数轴上画出表示

的点．

思路点拨：

可以利用勾股定理在数轴上作出

的线段，做法如下：

（1）在数轴上找到一点A，使OA=5，

（2）过A作AT垂直于数轴，垂足为A，在AT上截取AB=12，（3）连结OB，（4）以O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为

的点．

【活动方略】

教师活动：

操作投影仪，在黑板上演示

的作法．

学生活动：

在练习本上画图，做出在数轴上表示

的点．

教师活动：

提出问题．

1．请同学们归纳出如何在数轴上画出表示

的点的方法？

2．你能在数轴上作出表示

的点吗？

试一试！

学生活动：

借助课本图18．1-7的数字，在数轴上画出

的点M．

【设计意图】拓展勾股定理的应用知识，学会在数轴上作无理数的点．

问题探究4：

如图，△ABC中，∠B=90°，AC=12cm，BC=4cm，D在AC上，且AD=8cm，E在AB上，且△AED的面积是△ABC面积的

，求AE和DE的长．

思路点拨：

求AE的长时，可过D作DE⊥AB于F，

可求出DF=

BC=

，

这样先把AF求出AF=

AB=

．

再由面积公式S△AED=

AE·DF先求出DF=

AE，

由S△ADE=

S△ABC=4

，求出AE=3

，

因而EF=

，应用勾股定理求DE=3

．

教师活动：

操作投影仪，组织学生探究，巡视、引导、启发学生进行思考，然后请两位学生上台演示，纠正．

学生活动：

小组合作交流（4人），将所学习的面积、勾股定理应用于该题，踊跃上台发言，“板演”．

三、随堂练习，巩固深化

1．课本P77“练习”1，2．

2．【探研时空】

（1）已知，如图：

在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D点，

求证：

AB2=AD2+2CD2+BD2．

（提示：

AB2=AC2+BC2=AD2+CD2+CD2+BD2=AD2+2CD2+BD2）

（2）有一正方形ABCD池塘，边长为一丈（3丈=10米），有棵芦苇生在它的中央，高出水面部分有1尺（3尺=1米）长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，向水深和芦苇长各是多少？

（提示：

设水深EF=x尺，芦苇EG=（x+1）尺，则EC=（x+1）尺，CF=5尺，通过构建△EFG，再应用勾股定理得（x+1）2=x2+52，求解出x=12尺，这样得到水深12尺，芦苇长为13尺）．

四、课堂总结，发展潜能

本节课主要学习的内容是：

（1）勾股定理的应用，通过两个“探究”领会勾股定理的应用思想，如可以用来在数轴上描无理数点，可以解决实际情境中的问题等．

（2）感受勾股定理的历史．

五、布置作业，专题突破

1．课本P78习题18．17，8，9，11，12，13．

2．选用课时作业优化设计

六、课后反思

第二课时作业优化设计

【驻足“双基”】

1．请写出满足勾股定理a2+b2=c2的三组数值______________．

2．要登上12m高的建筑物，为完全起见，需要使梯子的底端离建筑物5m，至少需要_______m长的梯子．

3．一艘轮船以16海里/时的速度离开A港向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开A港向西南方向航行，经过1.5小时后它们相距_____海里．

4．如图，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（）．

A．3.74B．3.75C．3.76D

5．一个长方形的长是宽的2倍，其对角线的长是5cm，则长方形的长是（）．

A．2.5cmB．

cmC．2

cmD．

cm

6．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AD=4，AB=3，BC=12，求正方形DCEF的面积．

【提升“学力”】

7．已知，如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上任意一点，

求证：

BD2+CD2=2AD2．

【聚焦“中考”】

8．（2003年贵州省贵阳市中考题）如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响．

（1）问：

B处是否会受到台风的影响？

请说明理由．

（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？

（供选用数据：



≈1.4，

≈1.7）

第62课时14.1.3勾股定理的逆定理（3）

【教学目标】：

知识与技能目标：

掌握直角三角形的判定条件，并能进行简单运用．

过程与分析目标：

经历探索直角三角形的判定条件的过程，理解勾股定理．

情感与态度目标：

激发学生解决的愿望，体会勾股定理逆向思维所获得的结论，明确其应用范围和实际价值.

【教学重点】：

理解和应用直角三角形的判定方法

【教学难点】：

运用直角三角形判定方法解决问题．

【教学关键】：

运用合情推理的方法，对勾股定理进行逆身思维，形成一种判定方法.

【教学准备】：

教师准备：

投影片、直尺、圆规学生准备：

复习勾股定理，预习本课内容

【教学过程】：

一、创设情境

神秘的数组（投影）

在美国哥伦比亚大学图书馆里收藏着一块编号为“普林顿322”

的古巴比伦泥板，泥板上一些神秘符号实际上是一些数组。

这些数组提示了一个什么奥秘呢？

经过专家潜心研究，发现其中2列数字竟然是直角三角形的

勾和弦，只要添加一列数（如下表所示）左边的一列，那么

每行的3个数就是一个直角三角形的三边的长.

例：

60，45，75是这张表中的一组数，而且

，小明画了以60mm、45mm、75mm为边长的△ABC，如图所示：

请你猜想．小明所画的△ABC是直角三角形吗？

为什么？

教师活动：

操作投影仪，提出问题，引导学生思考．

学生活动：

观察问题，小组合作交流，思考上述问题的解答．

思路点拨：

思路一：

用量角器量三角形的3个内角，看有无直角．

思路二：

动手画一个直角三角形．使它的2条直角边的长为60mm和45mm，看能否

与△ABC全等．

媒体使用：

投影显示“普林顿322”泥板的图片，以及数字．

古埃及人实验（投影显示）

古埃及人曾经用下面的方法画直角：

将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．

你知道这是什么道理吗?

教师活动：

提出问题，引导思考

学生活动：

继续探究，感悟其中的道理

形成共识：

如果三角形的三边长为a、b、c，满足a

＋b

＝c

，那么这个三角形的是直角三角形（勾股逆定理）

学生活动：

通过小组讨论，分析，发现它与勾股定理恰好是条件与结论互相对换的一个语句.

教师点拨：

实际上它是勾股定理的逆定理，用它可以判定一个三角形是否是直角三

角形．从神秘的数组中的数据可以发现它们都是勾股数，也就是满足a

＋b

＝c

的3个

正整数a,b,c称为勾股数，古埃及勾股也体现出这个特征．可见利用勾股数可以构造直

角三角形．

二、范例学习

例设三角形三边长分别为下列各组数．试判断各三角形是否是直角三角形．

（1）7，24，25;

（2）12，35，37;（3）13，11，9

思路点拨：

判断的依据是勾股逆定理，但是应该是将两个较小数的平方和与较大数

平方进行比较，若相等，则可构成直角三角形，最大边所对的角是直角，这一点应该明

确．

教师活动：

引导学生完成例,然后提问学生，强调方法．

学生活动：

动手计算，对照勾股逆定理进行判断．

三、随堂练习

课本P54练习第1，2题

四、课堂总结

1.勾股定理的逆定理：

如果三角形的三条边长a,b,c,有下列关系：

a

＋b

＝c

，

那么这个三角形是直角三角形．

2.该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．

3.利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行

代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．

五、布置作业

1.课本P55习题14.1第6题．

2.选用课时作业优化设计．

勾股定理的逆定理

（一）

班级姓名作业时间：

月日

1、以下面每组中的三条线段为边的三角形中，是直角三角形的是（）

A5cm，12cm，13cmB5cm，8cm，11cm

C5cm，13cm，11cmD8cm，13cm，11cm

2、⊿ABC中，如果三边满足关系

=

+

，则⊿ABC的直角是（）

A∠CB∠AC∠BD不能确定

3、由下列线段组成的三角形中，不是直角三角形的是（）

Aa=7，b=25，c=24Ba=2.5，b=2，c=1.5

Ca=

，b=1，c=

Da=15，b=20，c=25

4、三角形的三边长a、b、c满足

，则此三角形是（）

A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形

5、若一个三角形的三边长分别是m+1，m+2，m+3，则当m=，它是直角三角形。

6、在⊿ABC中，若

，则最大边上的高为。

7、一个三角形的三边之比为

，且周长为60cm，则它的面积是

。

8、三角形的两边长为5和4，要使它成为直角三角形，则第三边的平方为。

9、小明画了一个如图所示的四边形，其中AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，∠A=

，你能求出四边形ABCD的面积吗？

10、已知在⊿ABC中，AB=AC=5，BC=6，求⊿ABC的面积。

第63-64课时14.2勾股定理的应用

教学目标：

1、能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题。

2、在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想（把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题），进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值。

教学重点：

实际问题转化成数学问题再转化为直角三角形中

教学难点：

“转化”思想的应用

教学方法：

观察、比较、合作、探索.

教学程序：

一、情境创设

斜拉大桥的钢绳、日常生活中求线段的长度

二、探索研究

1、学生看书（学生小组讨论）

P57例1、P58例2

2、提问：

如何变直角三角形的问题的。

三、巩固知识（提问学生解题方法）

1、P58练习1、2、

2、甲、乙两人在沙漠进行探险，某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时速度向东南方向行走，1小时后乙出发，他以5千米/时速度向西南方向行走，上午10∶00时，甲、乙两人相距多远？

3、有三座城市A,B,C,两两距离相等,现欲建一天然气供气网,向这三座城市供气,希望供气管道的总长越短越好,今有以下三种方案（如图）你认为哪种方案最好?

（实线是供气网）

四、课堂小结

学生谈本节课的收获

五、布置作业

课堂作业：

书P60习题14.21、2、3

课外作业：

勾股定理的应用（第一课时）同步练习

六、教后反思：

第65课时14.3反证法

教学目标

1．通过实例，体会反证法的含义．

2．了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题．

3．理解本节中关于两线相交与平行的又一判定方法．

重点和难点

本节教学的重点是反证法的含义和步骤．课本“合作学习”要求用两种方法完成平行线的传递性的证明，有较高难度，是本节教学的难点．

教学过程

一、创设情境，导入新课

利用课本中《路旁苦李》这个话题，利用多媒体给出这个故事的动画场景．

（营造开放的讨论场面，引导学生接近并进入反证法的话题）

二、合作交流，探求新知

教师给出问题：

如果当时你也在场，你会怎么办？

王戎是怎么判断李子是苦的？

你认为他的判断方法正确吗？

他运用的是什么样的推理方法？

学生活动：

小组讨论，要求能自说其圆．

（教师既要赞许类似王戎式的学生的判断方法，但也要肯定选择直接去尝试实验的学生的判断方式，并以此为切入点引入课题）

教师板书课题：

4.4反证法．

三、理性概括，纳入系统

结合上面的问题情境，让学生讨论、归纳以下问题：

1．用自已的语言结合“路旁苦李”的故事阐述反证法的概念。

学生活动：

讨论后举手回答，其他同学相互补充，教师作适当引导、调整．教师在课件中显示完整的反证法概念，简要板书反证法的概念：

从假设所需证的命题的结论不成立出发，结合条件推出与已知条件或正确命题相矛盾的结论，说明假设错误，原命题成立的证明方法叫做反证法．

2.（教师把课本例题改编）填空：

已知：

如右图，直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1∥l2，13与11相交于点P.

求证：

13与l2相交．

证明：

假设，　　　　　　　　　　　　　　　　　　，

即　　　∥　　　　，

又∵　　　∥　　　　（已知），

∴　过直线12外一点P有两条直线11,13与直线12平行，

这与“　　　　　　　　　　　　　　　　　”相矛盾，

∴假设不成立，即求证的命题成立，

∴13与12相交．

教师简单引导学生小结：

证明两线相交的又一判定方法（课本黑体字）．

3．根据上述填空，讨论得出反证法的一般步骤：

（学生活动：

讨论后举手回答，其他同学相互补充，教师一边引导一边板书反证法的一般证明步骤．）

①假设待证命题不成立，或命题的反面成立；②以假设为条件，结合已知条件推理，得出与已知条件或正确命题相矛盾的结论；③这与“………”相矛盾；④所以所求证的命题成立，即……

四、学以致用，体验成功

1．由学生独立完成：

课本“课内练习”第l题．课本“作业题”第1题．

（教师引导学生把两个填空题与反证法的证明步骤再对照一遍，以加深印象．）

2．小组合作学习（课本第86页）：

求证：

在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

（1）你首选的是哪一种证明方法？

（2）如果你选择反证法，先怎样假设？

结果和什么产生矛盾？

（3）　能不用反证法证明吗？

你准备怎样证明？

要求按问题解决的四个步骤进行：

理解题意（画出图形，写出已知求证）；制订计划（选择证明方法，找出证明思路）；执行计划（写出证明过程）；回顾（比较两种证明方法的特点）．

（教师：

①例后引导学生比较体会反证法的优点：

当正面证明比较繁杂或较难证明时，用反证法证明是一种证明的思路．②本题的结论是课本黑体字，是判定两直线平行的又一判定定理．）

五、实践应用，知识迁移

1．学生独立完成课本“课内练习”第2题．

2．同伴（桌）合作完成课本“作业题”第3题．

由学生推荐两组学生实物投影（或上台板演：

同伴一起上台，一人主笔，一人检查核对）解答过程，然后学生点评．点评内容包括：

先是解答的同伴组自己阐述证明的设想或书写时的感想，再由他组同学进行证明思路的繁简性比较、证明过程的书写规范性补充．教师给予恰当的肯定与鼓励．

六、总结回顾，反思内化

学生小结：

通过这节课的学习，学到了哪些知识，技巧或数学思想方法？

（1）我学到了……（由学生自己从知识、方法、技巧、体会等角度去自我小结评价）

例如，我学到了什么是反证法；反证法的证明步骤；当正面证明一个命题比较繁杂或困难时，可用反证法证明等．

教师也要特别强调反证法的证明书写步骤与规范格式，并根据学生的表现给予充分的肯定．

七、分层作业，延伸拓展

1．独立完成作业．

2.（小组合作选做）甲、乙、丙、丁、戊五人在运动会上分获一百米、二百米、跳高、跳远和铅球冠军，有四个人

猜测比赛结果：

A说：

乙获铅球冠军，丁获跳高冠军；;B说：

甲获百米冠军，戊获跳远冠军；;C说：

丙获跳远冠军，丁获二百米冠军；D说：

乙获跳高冠军，戊获铅球冠军．

其中每个人都只说对一句，说错一句．你知道五人各获哪项冠军吗？

3.（个人选