图象的这些特点,反映了当aO时,函数值y随x的增大而减小,当x=0时,函数值y=ax2取得最大值,最大值是y=0。
五、课堂练习:
P6练习1、2、3、4。
六、作业:
1.如何画出函数y=ax2的图象?
2.函数y=ax2具有哪些性质?
3.谈谈你对本节课学习的体会。
26.1二次函数(3)
教学目标:
1、使学生能利用描点法正确作出函数y=ax2+b的图象。
2、让学生经历二次函数y=ax2+bx+c性质探究的过程,理解二次函数y=ax2+b的性质及它与函数y=ax2的关系。
重点难点:
会用描点法画出二次函数y=ax2+b的图象,理解二次函数y=ax2+b的性质,理解函数y=ax2+b与函数y=ax2的相互关系是教学重点。
正确理解二次函数y=ax2+b的性质,理解抛物线y=ax2+b与抛物线y=ax2的关系是教学的难点。
教学过程:
一、提出问题
1.二次函数y=2x2的图象是____,它的开口向_____,顶点坐标是_____;对称轴是______,在对称轴的左侧,y随x的增大而______,在对称轴的右侧,y随x的增大而______,函数y=ax2与x=______时,取最______值,其最______值是______。
2.二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?
二、分析问题,解决问题
问题1:
对于前面提出的第2个问题,你将采取什么方法加以研究?
(画出函数y=2x2和函数y=2x2的图象,并加以比较)
问题2,你能在同一直角坐标系中,画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象吗?
教学要点
1.先让学生回顾二次函数画图的三个步骤,按照画图步骤画出函数y=2x2的图象。
2.教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值,为什么不必单独列出函数y=2x2+1的对应值表,并让学生画出函数y=2x2+1的图象.
3.教师写出解题过程,同学生所画图象进行比较。
解:
(1)列表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
18
8
2
0
2
8
18
…
y=x2+1
…
19
9
3
l
3
9
19
…
(2)描点:
用表里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点。
(3)连线:
用光滑曲线顺次连接各点,得到函数y=2x2和y=2x2+1的图象。
(图象略)
问题3:
当自变量x取同一数值时,这两个函数的函数值之间有什么关系?
反映在图象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系?
教师引导学生观察上表,当x依次取-3,-2,-1,0,1,2,3时,两个函数的函数值
之间有什么关系,由此让学生归纳得到,当自变量x取同一数值时,函数y=2x2+1的函数值都比函数y=2x2的函数值大1。
教师引导学生观察函数y=2x2+1和y=2x2的图象,先研究点(-1,2)和点(-1,3)、点(0,0)和点(0,1)、点(1,2)和点(1,3)位置关系,让学生归纳得到:
反映在图象上,函数y=2x2+1的图象上的点都是由函数y=2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。
问题4:
函数y=2x2+1和y=2x2的图象有什么联系?
由问题3的探索,可以得到结论:
函数y=2x2+1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的。
问题5:
现在你能回答前面提出的第2个问题了吗?
让学生观察两个函数图象,说出函数y=2x2+1与y=2x2的图象开口方向、对称轴相同,但顶点坐标不同,函数y=2x2的图象的顶点坐标是(0,0),而函数y=2x2+1的图象的顶点坐标是(0,1)。
问题6:
你能由函数y=2x2的性质,得到函数y=2x2+1的一些性质吗?
完成填空:
当x______时,函数值y随x的增大而减小;当x______时,函数值y随x的增大而增大,当x______时,函数取得最______值,最______值y=______.
以上就是函数y=2x2+1的性质。
三、做一做
问题7:
先在同一直角坐标系中画出函数y=2x2-2与函数y=2x2的图象,再作比较,说说它们有什么联系和区别?
教学要点
1.在学生画函数图象的同时,教师巡视指导;
2.让学生发表意见,归纳为:
函数y=2x2-2与函数y=2x2的图象的开口方向、对称轴相同,但顶点坐标不同。
函数y=2x2-2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向下平移两个单位得到的。
问题8:
你能说出函数y=2x2-2的图象的开口方向,对称轴和顶点坐标,以及这个函数的性质吗?
教学要点
1.让学生口答,函数y=2x2-2的图象的开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标是(0,-2);
2.分组讨论这个函数的性质,各组选派一名代表发言,达成共识:
当x<0时,函数
值y随x的增大而减小;当x>0时,函数值y随x的增大而增大,当x=0时,函数取得
最小值,最小值y=-2。
问题9:
在同一直角坐标系中。
函数y=-
x2+2图象与函数y=-
x2的图象有什么关系?
要求学生能够画出函数y=-
x2与函数y=-
x2+2的草图,由草图观察得出结论:
函数y=-
1/3x2+2的图象与函数y=-
x2的图象的开口方向、对称轴相同,但顶点坐标不同,函数y=-
x2+2的图象可以看成将函数y=-
x2的图象向上平移两个单位得到的。
问题10:
你能说出函数y=-
x2+2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
[函数y=-
x2+2的图象的开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标是(0,2)]
问题11:
这个函数图象有哪些性质?
让学生观察函数y=-
x2+2的图象得出性质:
当x<0时,函数值y随x的增大而增大;当x>0时,函数值y随x的增大而减小;当x=0时,函数取得最大值,最大值y=2。
四、练习:
P9练习1、2、3。
五、小结
1.在同一直角坐标系中,函数y=ax2+k的图象与函数y=ax2的图象具有什么关系?
2.你能说出函数y=ax2+k具有哪些性质?
六、作业:
1.P19习题26.21.
(1)
2.选用课时作业优化设计.
第一课时作业优化设计
1.分别在同一直角坐标系中,画出下列各组两个二次函数的图象。
(1)y=-2x2与y=-2x2-2;
(2)y=3x2+1与y=3x2-1。
2.在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象,
y=
x2,y=
x2+2,y=
x2-2
观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置。
你能说出抛物线y=
x2+k的开口方向及对称轴、顶点的位置吗?
3.根据上题的结果,试说明:
分别通过怎样的平移,可以由抛物线y=
x2得到抛
物线y=
x2+2和y=
x2-2?
4.试说出函数y=
x2,y=
x2+2,y=
x2-2的图象所具有的共同性质。
26.1 二次函数(4)
教学目标:
1.使学生能利用描点法画出二次函数y=a(x—h)2的图象。
2.让学生经历二次函数y=a(x-h)2性质探究的过程,理解函数y=a(x-h)2的性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系。
重点难点:
重点:
会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2的图象,理解二次函数y=a(x-h)2的性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系是教学的重点。
难点:
理解二次函数y=a(x-h)2的性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系是教学的难点。
教学过程:
一、提出问题
1.在同一直角坐标系内,画出二次函数y=-
x2,y=-
x2-1的图象,并回答:
(1)两条抛物线的位置关系。
(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。
(3)说出它们所具有的公共性质。
2.二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?
这两个函数的图象之间有什么关系?
二、分析问题,解决问题
问题1:
你将用什么方法来研究上面提出的问题?
(画出二次函数y=2(x-1)2和二次函数y=2x2的图象,并加以观察)
问题2:
你能在同一直角坐标系中,画出二次函数y=2x2与y=2(x-1)2的图象吗?
教学要点
1.让学生完成下表填空。
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=2x2
y=2(x-1)2
2.让学生在直角坐标系中画出图来:
3.教师巡视、指导。
问题3:
现在你能回答前面提出的问题吗?
教学要点
1.教师引导学生观察画出的两个函数图象.根据所画出的图象,完成以下填空:
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=2x2
y=2(x-1)2
2.让学生分组讨论,交流合作,各组选派代表发表意见,达成共识:
函数y=2(x-1)2与y=2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同;函数y=2(x一1)2的图象可以看作是函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的,它的对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,0)。
问题4:
你可以由函数y=2x2的性质,得到函数y=2(x-1)2的性质吗?
教学要点
1.教师引导学生回顾二次函数y=2x2的性质,并观察二次函数y=2(x-1)2的图象;
2.让学生完成以下填空:
当x______时,函数值y随x的增大而减小;当x______时,函数值y随x的增大而增大;当x=______时,函数取得最______值y=______。
三、做一做
问题5:
你能在同一直角坐标系中画出函数y=2(x+1)2与函数y=2x2的图象,并比较它们的联系和区别吗?
教学要点
1.在学生画函数图象的同时,教师巡视、指导;
2.请两位同学上台板演,教师讲评;
3.让学生发表不同的意见,归结为:
函数y=2(x+1)2与函数y=2x2的图象开口方向相同,但顶点坐标和对称轴不同;函数y=2(x+1)2的图象可以看作是将函数y=2x2的图象向左平移1个单位得到的。
它的对称轴是直线x=-1,顶点坐标是(-1,0)。
问题6;你能由函数y=2x2的性质,得到函数y=2(x+1)2的性质吗?
教学要点
让学生讨论、交流,举手发言,达成共识:
当x<-1时,函数值y随x的增大而减小;当x>-1时,函数值y随x的增大而增大;当x=一1时,函数取得最小值,最小值y=0。
问题7:
在同一直角坐标系中,函数y=-
(x+2)2图象与函数y=-
x2的图象有何关系?
(函数y=-
(x+2)2的图象可以看作是将函数y=-
x2的图象向左平移2个单位得到的。
)
问题8:
你能说出函数y=-
(x+2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
(函数y=-
(x十2)2的图象开口向下,对称轴是直线x=-2,顶点坐标是(-2,0))。
问题9:
你能得到函数y=
(x+2)2的性质吗?
教学要点
让学生讨论、交流,发表意见,归结为:
当x<-2时,函数值y随x的增大而增大;
当x>-2时,函数值y随工的增大而减小;当x=-2时,函数取得最大值,最大值y=0。
四、课堂练习:
P11练习1、2、3。
五、小结:
1.在同一直角坐标系中,函数y=a(x-h)2的图象与函数y=ax2的图象有什么联系和区别?
2.你能说出函数y=a(x-h)2图象的性质吗?
3.谈谈本节课的收获和体会。
六、作业
1.P19习题26.21
(2)。
2.选用课时作业优化设计。
第二课时作业优化设计
1.在同一直角坐标系中,画出下列各组两个二次函数的图象。
(1)y=4x2与y=4(x-3)2
(2)y=
(x+1)2与y=
(x-1)2
2.已知函数y=-
x2,y=-
(x+2)2和y=-
(x-2)2。
(1)在同一直角坐标中画出它们的函数图象;
(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(3)试说明,分别通过怎样的平移,可以由函数y=-1/4x2的图象得到函数y=-
(x+2)2和函数y=-
(x-2)2的图象?
(4)分别说出各个函数的性质。
3.已知函数y=4x2,y=4(x+1)2和y=4(x-1)2。
(1)在同一直角坐标系中画出它们的图象;
(2)分别说出各个函数图象的开口方向,对称轴、顶点坐标;
(3)试说明:
分别通过怎样的平移,可以由函数y=4x2的图象得到函数y=4(x+1)2和函数y=4(x-1)2的图象,
(4)分别说出各个函数的性质.
4.二次函数y=a(x-h)2的最大值或最小值与二次函数图象的顶点有什么关系?
26.1 二次函数(5)
教学目标:
1.使学生理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。
2.会确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3.让学生经历函数y=a(x-h)2+k性质的探索过程,理解函数y=a(x-h)2+k的性质。
重点难点:
重点:
确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系,理解函数y=a(x-h)2+k的性质是教学的重点。
难点:
正确理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x-h)2+k的性质是教学的难点。
教学过程:
一、提出问题
1.函数y=2x2+1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?
(函数y=2x2+1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的)
2.函数y=2(x-1)2的图象与函数y=2x2的.图象有什么关系?
(函数y=2(x-1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的,见P10图26.2.3)
3.函数y=2(x-1)2+1图象与函数y=2(x-1)2图象有什么关系?
函数y=2(x-1)2+1有哪些性质?
二、试一试
你能填写下表吗?
y=2x2 向右平移
的图象