初二数学课程资源库第十九章教材分析.docx
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初二数学课程资源库第十九章教材分析
第十九章《一次函数》教材分析
★本章知识结构图
★本章的地位、作用:
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的，世界永远是处于运动变化之中的。
函数正是研究运动变化的重要数学模型，它反映的是变量之间的对应规律。
函数是以变化与对应的思想为基础的数学概念。
本章是学习函数的第一阶段，介绍了函数的概念和最简单的初等函数——一次函数。
本章在初中阶段函数的学习中是起始阶段，初中函数是对初中知识的概括和总结，在整个初中起到承上接下的作用，也是进一步学习高中知识的基础，它是联系初、高中数学知识的纽带，是变量数学在初中数学的渗透。
1．函数是数学的重要内容之一，函数的基础知识在数学及相近学科中也有广泛的应用，函数可以使学生认识到知识形成的过程，为学生提供一个发挥、探索和创造的空间背景，从此函数将把学生带到一个宏伟、壮观的数学空间。
函数的概念是数学中极为重要的基本概念，它的抽象性较强，接受并理解它有一定难度，这也是本章的难点。
2．在现实生活中，函数知识能帮助我们解决许多问题，应用非常广泛，函数的图象在物理、化学相近学科中用处很大，函数知识能解决生活中的许多热点问题。
本章学习的一次函数为以后学习其他函数提供了思路和方法，它是中考中必考的内容。
变化与对应的思想体现在函数概念之中，用运动变化的眼光，以函数为工具，从数量关系和图象两方面动态地分析问题，是本章学习的特点．通过本章的学习，学生可以了解到什么是函数以及研究函数的常规方法以及涉及的数学思想方法。
★《数学课程标准》对本章要求
⑴探索具体问题中的数量关系和变化规律
⑵函数
①通过简单实例，了解常量、变量的意义。
②能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例。
③能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。
④能确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求出函数值。
⑤能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系。
⑥结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测。
⑶一次函数
①结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数表达式。
②会画一次函数的图像，根据一次函数的图像和解析表达式y=kx+b（k≠0）探索并理解其性质（k>0或k<0时，图像的变化情况）。
③理解正比例函数。
④能根据一次函数的图像求二元一次方程组的近似解。
⑤能用一次函数解决实际问题。
★本章的学习目标：
1．以探索实际问题中的数量关系和变化规律为背景，经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型；
2．结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系；
3．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题，发展数学应用能力和形象思维能力；
4．能根据所给信息确定一次函数的表达式（会运用两个条件确定一个一次函数的表达式）;
⒌了解一次函数与方程（组）及不等式的关系，使学生从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的认识，构建和发展相互联系的知识体系。
⒍在课题学习中，以选择方案为问题情境，进行探究性学习，进一步体会建立数学模型的方法与作用，提高综合运用函数知识分析和解决实际问题的能力。
★本章内容安排
19.1变量与函数5课时
①变量与函数的概念②函数的三种表示法
19.2一次函数5课时
正比例函数和一次函数的概念、图像、性质以及应用举例
19.3用函数观点看方程（组）与不等式3课时
用函数观点再认识一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组
19.4课题学习选择方案2课时
数学活动小结2课时
★本章的重点:
①认识和理解函数概念，一次函数的图象和性质，一次函数的应用。
②一次函数的定义、图像与性质。
③一次函数的应用。
★本章的难点：
①准确理解函数的概念。
②利用一次函数及其图像解决实际问题。
★本章编写特点：
㈠反映函数概念的实际背景，渗透“变化与对应”的思想
对于函数的概念的理解，教材是采用螺旋式上升的编排方式。
本章是学习函数的第一阶段，重点在于初步认识函数概念，并具体讨论最简单的初等函数———一次函数。
本章教科书力求能在具体的数学内容中渗透体现变化与对应的思想，使学生能潜移默化地感触体会函数内容中最基本的东西，在对数学思想方法的学习方面有所收获.
㈡从特殊到一般地认识一次函数
教科书对本章重点内容的安排是按照人们认识事物往往经历“从特殊到一般”这样的过程展现的。
㈢用函数观点回顾与审视相关内容，加强知识体系的构建
在这一章中，专门安排“用函数观点看方程（组）与不等式”一节，分别探讨一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，一次函数与二元一次方程（组）之间的关系。
这样就可以让学生发现一次函数，一元一次方程，一元一次不等式之间的联系，用函数的观点把互相联系的方程（组）、不等式、函数统一起来。
㈣注重联系实际问题，体现数学建模的作用
（1）从实际出发引入有关内容；
（2）突出了看图、识图、从图象中获取信息等这些与日常生活密切相关的知识；
（3）运用有关内容解决实际问题，让学生用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系。
★值得关注的问题：
㈠重视数学概念中蕴涵的思想，注意从运动变化和联系对应的角度认识函数。
通过本章教学，学生应对函数形成初步的正确的认识，认识到各种函数都是反映变化规律的数学工具。
㈡借助实际问题情景，由具体到抽象地认识函数；通过函数应用举例，体现数学建模思想。
在本章的教学和学习中，要充分注意有关现实背景，通过它们反映出函数来自实际又服务于实际，加强对函数是解决现实问题的一种重要数学模型的认识。
㈢重视数形结合的研究方法。
函数是体会数形结合思想的最好的载体之一。
函数的表示法之一是图象法，即通过坐标系中的曲线上点的坐标反映变量之间的对应关系。
这样就将数量关系直观化、形象化，提供了数形结合的研究问题的重要方法。
在本章的教学和学习中，不能仅仅着眼于具体题目的解题过程，而应不断加深对相关数学思想方法的领会。
㈣加强对知识之间内在联系的认识，体会函数观点的统领作用。
站在更高处俯瞰方程（组）和不等式，提高灵活的分析解决问题的能力。
㈤注重对于基础知识和基本技能的掌握，提高基本能力。
基础知识：
函数的基本概念，函数的一般表示法，一次函数的概念、图像、性质；
基本技能：
会画一次函数（正比例函数）的图像，能结合图像讨论这些函数的基本性质等；
基本能力：
能力这些函数分析和解决简单实际问题。
㈥结合课题学习，提高实践意识与综合应用数学知识的能力。
最优化解决问题。
★教法学法建议：
☆19.1变量与函数
本节分3小节。
第1节：
教材中用了5个生活中问题，这5个问题中都含有变量之间的单值对应关系，引出常量与变量的概念。
要给学生讲清楚：
1．变量与常量必须存在于同一个变化过程中，且要根据量的“变”与“不变”来确定这两个量；
2．变量和常量是相对的,相对于某个变化过程，比如路程、速度、时间这三者，在不同的研究过程中,作为变量与常量的身份是可以相互转换的；
3．常量是在整个变化过程中保持不变的量，不要认为式子中出现字母就是变量，如：
当高h一定时,三角形的面积S与底边长a的关系式
中h是一个固定的长度，是一个常量；
4．圆周率π是常量。
5.在某一个具体问题中，用一个量的式子去表示另一个量，常常要用列方程思想，实际上是根据题意，列出关于这两个量的等量关系，要注意弄清到底用哪个量表示哪个量，通常被表示的那个量写在等式左边。
第2节：
通过对前节的5个问题引出两个变量间的单值对应关系得出函数的概念。
函数概念是这节课的重点，而准确理解函数概念是本节也是本章的难点.
突破难点的办法是由具体例子逐步过渡到抽象定义.
应通过大量的实例来让学生思考反映不同事物变化过程的一些问题，让学生通过对多个问题的分析，归纳出各问题中都具有相关的两个变量，这样的变量间都具有一个随另一个而变，而且对应值是唯一确定的这种对应关系，在具体经验积累到一定程度的基础上，再给出定义.
讲函数概念，一定要抓住以下三点：
（1）在一个变化过程中有两个变量；
（2）一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化；
（3）自变量每一个确定值，函数有一个并且只有一个值与之对应。
函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
两个变量之间的关系:
自身先改变的是自变量，随之而变的是函数
学生开始学习本节时，对于常量与变量比较容易区分，但是对于函数与函数值可能发生混淆，教学中需要引导学生认识到两者的区别，函数是变量，例如y=2x,y是可以随x的变化而变化的量，变量y是变量x的函数；函数值是变量所取的某个具体数值，一个函数可能有许多不同的函数值，例如当x=1时，函数y=2x的函数值等于2，当x=-1时，函数y=2x的函数值等于-2.通过类似这样的具体例子，可以使学生提高分辨能力.
第3节：
讨论了函数图象的概念，图象是直观地描述和研究函数的重要工具。
三种常见的函数表示法，即列表法、解析式法和图象法，是反映函数的三种不同形式。
本节内容是关于函数的最基础的知识，对后续内容有很深远的影响。
学习函数图象的画法，一个重要的目的，就是让学生通过画图，进一步体会函数图象的意义，从而能够利用函数的图象研究函数的性质，进而解决实际问题．
画函数的图象一直是学生学习的难点.
函数的图象是由平面直角坐标系中的一系列的点组成的图形，而图象上每一点的坐标（x，y）代表了函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一值，纵坐标y表示与它对应的函数值．它形象直观地反映了两个变量之间的对应关系
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图象，就是这个函数的图象。
注意：
（1）要带着学生一起画图，让学生经历列表、描点、连线等绘制函数图象的具体过程，
（2）画图每一步应注意的问题：
①应先确定函数自变量的取值范围，
如：
P13例3中的函数中自变量的取值不能为0，否则分母为0，函数无意义。
题中给定自变量，所以要注意画出的图象在轴的右边而且不能与轴相交，否则与不一致。
②列表时选值要恰当，要具有代表性，有利于我们正确而方便地画图，并能看到图的整个变化趋势，通常把自变量x的值放在表中的第一行，其对应函数值放在第二行，其中的x值从小到大，另外计算要准确；
③描点时应以表中每对对应值为坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，要找准点的位置，并要使点的位置清晰，以便连线；
④连线时要注意图象的走势，必须按照自变量由小到大的顺序，并且要用平滑的曲线连接．
小技巧：
注意一定要求学生在连线的过程中用笔从左至右的画出平滑曲线。
这样做有助于理解图像所示函数的增减性和一些关键点的意义。
还要给学生将清楚，我们画出的函数图象，一般只是局部的近似图象，描出的点越多，图象越精确．而有时要根据自变量的取值范围去确定连线是是否应该出头；
（3）最后归纳总结出用描点法画函数图象的一般步骤：
①列表；②描点；③连线．
函数的三种表示方法及其各自的特点:
（1）解析法（简明扼要、规范准确，但有些关系式不能用解析式表示）；
（2）列表法（一目了然——自变量与其对应的函数值，但有局限性）；
（3）图象法（形象、直观，但由图象观察只能得到近似的数量关系）。
建议：
1、函数概念的教学：
具体到抽象，感性到理性，把握概念本质；
2、理解函数概念是突出变化与对应的
3、函数的三种表示方法都兼顾，函数的三种形式从不同的角度展示函数的特征，有各自的优点与缺点。
4、在讲解函数图象时，要重视从具体到抽象、从特殊到一般这一规律，了解图象上点的横、纵坐标与自变量、函数值之间的对应关系.
5、画函数图象时应注意：
（1）理解数与图之间是如何建立对应关系.
（2）学生画函数图象的实践活动必须让学生亲身体验，教师在课前应准备好学案或坐标纸.要让学生充分实践，帮助学生更好地体会函数图象与函数关系式之间对应关系.
（3）在画函数图象时，要强调学生按照步骤规范画图。
19．1这一大节中容易出错的几点：
⑴自变量变化时，函数不变误认为不是函数关系。
⑵忽视函数值的唯一性
⑶画函数图象时，忽略自变量的取值范围，错将射线、线段或几个散点画成直线。
⑷求自变量的取值范围出错
⑸与x轴、y轴的交点坐标分辨不清
（6）知道图象上每一点的坐标（x，y）代表了函数的一对对应值，但对它的横坐标x表示自变量的某一值，纵坐标y表示与它对应的函数值不理解，因此不会从图象上找对应的函数值．
☆14.2一次函数
本节分2小节。
第1节：
通过实际问题引出正比例函数的概念，讨论了正比例函数的定义、图像和增减性，并能够处理一些简单的问题。
函数的定义给出后强调：
（1）解析式（函数是正比例函数其解析式可化为y=kx（k是常数，k≠0）的形式）；
（2）解析式的特征（正比例函数解析式y=kx（k是常数，k≠0）的特征：
①k≠0，②自变量x的指数是1；
（3）自变量的取值范围（一般情况下，正比例函数自变量的取值范围是全体实数；在实际问题中或者是在具体规定取值范围的前提下，正比例函数自变量的取值范围就不是全体实数了）。
要让学生掌握
（1）关于正比例函数的图象是一条过原点的直线，画正比例函数的图象时，可以通过两点而画出.
（2）根据正比例函数的性质，只要知道比例系数k的符号是正（或负），不用画出图象就能判断其图象的位置，以及y随x的增大而增大（或减少）情况，就能推断出比例系数k的符号。
第2节：
通过实际问题引出一次函数的概念，讨论了一次函数的定义、图像和增减性。
一次函数的内容是本章的重点知识。
教科书首先安排了正比例函数的内容，讨论了这种函数的定义、图象和增减性等，然后以此为基础，继续学习一次函数的定义、图象和增减性等，这是一个从特殊概念向一般概念推广的认识过程。
教学中应引导学生注意两个概念之间的联系与区别，体会类比和联想的方法，培养由此及彼地认识问题的能力.
对于本节要安排以下课时和内容：
第一课时：
一次函数定义、图象，以及一次函数与正比例函数的关系（从定义和图象两方面）
强调：
（1）由一次函数定义可知：
函数是一次函数其解析式可化为y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的形式；
（2）一次函数解析式y=kx+b（k≠0）的结构特征：
①k≠0；②自变量x的指数是1；③常数b可以是任意实数；（3）一般情况下，一次函数中自变量的取值范围是全体实数；
（4）正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数。
第二课时：
一次函数的图象与性质；
结论可以从三个方面给出：
（1）一次函数的图象（一次函数y=kx+b的图象是一条直线，通常也称直线y=kx+b）；
（2）一次函数与正比例函数图象之间的关系（它们可以通过平移互相转化：
直线y=kx+b由直线y=kx平移|b|个单位长度得到：
当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）；
（3）一次函数y=kx+b的图象的画法（根据两点确定一条直线，常取图象与两坐标轴的交点（0，b）和点（
，0），或为计算简单，可以选择点（0，b）和点（1，k+b）来画直线，但对具体的一次函数如何选点，应结合它的解析式作出具体选择）。
让学生知道：
两条直线，当比例系数k值相同（b值不同）时，两直线平行；当b值相同（k值不同）时，两直线交于y轴上同一点。
重点明确：
直线y=kx＋ｂ（k≠0）中，常数k和b的取值对于直线的位置的影响:
“正撇负捺，正上负下”。
对于k的符号，决定第一三象限或第二四象限，直线好像是汉字的撇和捺，对于b的符号，决定直线与y轴的截距的位置。
通过这八个字就可以很容易的记住一次函数图像的位置了。
第三课时：
用待定系数法求一次函数的解析式；
这节课注意以下几点：
1．要讲清楚
（1）什么是待定系数法
（2）用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：
①先写出含字母系数的解析式y=kx+b；②根据题中条件列出关于k、b的二元一次方程组；③解方程组求出k、b的值，④将k、b的值代入y=kx+b中，确定出一次函数解析式）。
（简单记：
一设二列三解四还原）
（3）确定一次函数解析式需要两个独立的条件（确定正比例函数解析式则需一个条件即可）.
（4）求函数解析式中待定系数k、b的值即是解方程。
由给出的图象确定其解析式是学生学习中感觉比较困难的地方，主要还是不会看图，不能由形到数，老师们在教学中，不仅要重视这一点，而且一定在这方面加强练习。
第四课时：
一次函数的实际应用。
19．2学生容易出错的几点有：
（1）忽视定义的严谨性，即k≠0的条件；
（2）错误地认为正比例函数与一次函数是两个不同的函数
（3）忽视自变量的取值范围的实际意义，造成扩大范围；
（4）忽视具有实际意义的图象，造成错误；
（5）与x轴、y轴的交点坐标分辨不清；
（6）当两条直线在y轴上的截距相等时，误认为这两条直线平行。
（7）待定系数法不会用；
（8）读不懂题，列不出函数关系式；
建议：
1、加强数学与现实的联系
2、学习正比例函数和一次函数的定义时，要弄清解析式中
各字母的意义，知道哪些是常数、变量、自变量、函数，
应知道对自变量系数的限制条件为这个系数k≠0.
3、在研究正比例函数、一次函数的性质时，教师应注意引领
学生及时进行归纳和总结.
4、重视数学思想方法的应用和渗透
（1）体会从特殊到一般的认知规律.
（2）数学结合的思想.
（3）类比的方法
（4）待定系数法
☆19.3用函数观点看方程（组）与不等式
本节分3小节。
分别研究了用一次函数的观点对一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组进行深层次的再认识。
一次函数y=ax+b（a≠0）与一元一次方程ax+b=0（a≠0）的联系：
让学生从数和形两种不同的角度，认识一次函数与一元一次方程之间的关系，会借助一次函数的图象求一元一次方程的解。
这节课的重点是一元一次方程的图象解法，难点是一次函数图象与一元一次方程的关系的理解。
1.从“数”的角度理解一次函数与一元一次方程的关系
因为一元一次方程的基本形式为ax+b=0（a、b为常数，a≠0）,方程的根为
，即当
时，式子ax+b=0的值等于0.而与一元一次方程ax+b=0（a、b为常数,a≠0）相对应的函数是一次函数y=ax+b,同样当
时,函数值y也等于0.
从函数观点上看,当自变量x取
时,与之对应的函数值y=0,反之当y=0时,x只能取
.因此得到：
由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a、b为常数,a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为:
当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.
2．从“形”的角度理解一次函数与一元一次方程的关系
一次函数的解析式是y=ax+b（a、b为常数,a≠0）,当
时,相应的y值为0，即一次函数的图象与x轴的交点为（
0）.从而可知直线y=ax+b（a≠0）与x的交点的横坐标就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解．
求直线y=ax+b（a≠0）与x轴的交点坐标时,令y=0,得ax+b=0,解得
，因此交点的坐标为（
，0）,反之根据函数的图象也能求出对应的一元一次方程的解．
11.3.2一次函数与一元一次不等式（1课时）
本节课主要是探索一元一次不等式与一次函数的联系和区别，让学生掌握用一次函数的图象解一元一次不等式的方法，并能综合运用一元一次不等式和一次函数知识解决问题。
重点是用一次函数的图象解一元一次不等式的方法。
难点是一次函数的图象与一元一次不等式解集之间的关系。
一次函数y=ax+b（a≠0）与一元一次不等式ax+b＞0（a≠0）的联系：
1．从“数”的角度理解一次函数与一元一次不等式的关系
一次函数y=ax+b的函数值y＞0的自变量x的所有值，就是一元一次不等式ax+b＞0的解集；一次函数y=ax+b的函数值y＜0的自变量x的所有值，就是一元一次不等式ax+b＜0的解集．
2．从“形”的角度理解一次函数与一元一次方程的关系
对于一次函数y=ax+b,它与横轴的交点为（
0）,当a＞0时,不等式ax+b＞0的解集为x＞
不等式ax+b＜0的解集为x＜
；当a＜0时，不等式ax+b＞0的解集为x＜
不等式ax+b＜0的解集为x＞
.
简单说：
从函数图象的角度看：
就是图象在x轴上方的部分，表示y＞0，即ax+b＞0；图象在x轴下方的部分，y＜0，即ax+b＜0。
扩展:
（1）一元一次不等式y1≤ax+b≤y2（y1、y2是已知数，且y1＜y2）的解集就是直线y＝ax+b上满足y1≤y≤y2那条线段上所对应的自变量x的取值范围．
（2）一元一次不等式ax+b≤y0（或ax+b≥y0）（y0是已知数）的解集是直线y＝ax+b上满足y≤y0（或y≥y0）那条射线上所对应的自变量x的取值范围．
教科书在本节例2后面安排“归纳”的栏目，是要指出用函数观点认识有关数学概念的主要目的是加强知识间的联系，学习用变化和对应的眼光分析问题。
进一步归纳：
11.3.3一次函数与二元一次方程（组）（1课时）
这节课主要是让学生理解二元一次方程与与一次函数的关系，并能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解，培养解决实际问题的能力。
1．一次函数y=kx+b（k≠0）与二元一次方程的联系：
二元一次方程的所有解与相应的一次函数图象上的点的坐标是一一对应关系的，也就是说一次函数图象上的任一点坐标（x，y）都是二元一次方程的一个解；而二元一次方程的任意一个解x、y，对应的点都在一次函数的图象上。
因此二元一次方程y=kx+b的无数组解在平面直角坐标系中可描出对应的点，这无数个点形成了一条直线，它的解析式就是y=kx+b．
2．一次函数y=kx+b（k≠0）与二元一次方程组的联系：
因为任何二元一次方程都可以转化为y=kx+b的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线。
那么每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对着两条直线。
从“数”的角度看，解方程组相当于求出自变量的取值，使两个函数的值相等并求出这个函数值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。
即：
一般地，如果一个二元一次方程组有唯一的解
那么这个解
就是方程组对应的两条
直线的交点的坐标（a,b）。
3．用图象法解二元一次方程组的一般步骤：
（1）将方程组中的两个方程化为y=kx+b的形式；
（2）在同一直角坐标系内作出两个一次函数的图象；
（3）观察图象，得到交点，即是方程组的解。
注意数形结合的思想
11．3这一大节中学生容易出错的几点有：
（1）通过图象比较大小及解决实际问题时，不会延伸为不等式；
（2）不会利用图象解决不等式；
（3）两条直线的交点与二元一次方程组的解的互相转化时出错，如（-2，0）对应的点在y轴上等；
（4）由于图象画得不准确，因此方程组的解出现错误（用图象法解二元一次方程组时，由于作图会有误差，有时只能求出它的近似解，最好的方法是先用代数法求得它的解后，心中有数再画图象为好）。
1、
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