第18讲 行程问题二完整版.docx

第18讲 行程问题二完整版.docx

《第18讲 行程问题二完整版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第18讲 行程问题二完整版.docx（26页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第18讲行程问题二完整版

第18讲行程问题二

内容概述

参与运动的某些对象自身具有长度的行程问题。

涉及多个运动对象的行程问题，一般需要从其中两个对象进行分析，并把所得的结论与其他对象联系起来。

典型例题

兴趣篇

1．小高站在火车轨道旁，一辆长200米的火车以每秒钟10米的速度开过．请问：

火车从他身边经过需要多少秒？

答案：

20秒

解析：

200÷10=23（秒）

2．

（1）王老师沿着一条与铁路平行的公路散步，每分钟走60米，迎面开过来一列长300米的火车，从火车头与王老师相遇到火车尾离开他共用了20秒，求火车的速度．

（2）萱萱沿着一条与铁路平行的公路散步，她散步的速度是每秒2米，这时从萱萱背后开来一列火车，从车头追上她到车尾离开她共用了18秒．已知火车速度是每秒17米，求火车的长度．

答案：

（1）14米／秒

（2）270米

解析：

（1）从车头与行人相遇到车尾离开行人共用了20秒，路程和是火车的车长300米．

根据“速度和=路程和÷时间”，可以得到火车与行人的速度和是300÷20=l5米／秒，

又由于行人的速度是60米／分=1米／秒，因此火车的速度是15-1=14米／秒．

（2）火车与行人的速度差是17-2=15米／秒，追及时间为18秒．根据“路程差=速度差×时间”，得15×18=270米，因此火车的长度是270米。

3．

（1）一列火车长180米，每秒行20米，这列火车通过320米的大桥，需要多长时间？

（2）-列火车以每秒20米的速度通过一座长200米的大桥，共用21秒，这列火车长多少米？

答案：

（1）25秒

（2）220米

解析：

（1）火车过桥时行驶的路程为火车长与桥长之和，即320+180=500米，

由于火车的速度是20米／秒，根据“时间=路程÷速度”，得火车过桥用时500÷20=25秒．

（2）由“路程=速度×时间”，得火车行驶21秒的路程是20×21=420米，即桥长与火车长之和，因此火车长420-200=220米．

4．列火车长180米，每秒行20米；另一列火车长200米，每秒行18米．两车相向而行，它们从车头相遇到车尾相离要经过多长时间？

答案：

10秒

解析：

两列火车相遇时，从车头相遇到车尾相离，两车行驶的路程和为两列火车长度之和，过程如图所示：

因此二者的路程和是180+200=380米，速度和是20+18=38米／秒．

由“时间=路程和÷速度和”，可得到两车从车头相遇到车尾相离，所用时间是380÷38=10秒．

5．甲火车长370米，每秒行15米；乙火车长350米，每秒行21米．两车同向行驶，乙车从追上甲车到完全超过甲车需要多长时间？

答案：

120秒

解析：

两车追及过程如图所示，两车的路程差就等于两辆车的长度之和，即370+350=720米．

①时刻：

乙车追上甲车②时刻：

乙车完全超过甲车而甲、乙两车的速度分别是15米／秒和21米／秒，所以追及时间是720÷（21-15）=120秒。

6．许三多所在的钢七连队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进，问：

（l）许三多以每秒3米的速度从队尾跑到队头需要多长时间？

（2）从队头返回队尾，又需要多长时间？

答案：

（1）300秒

（2）100秒

解析：

（1）如图1，其中粗线条表示行进中的队伍，战士与排头兵在时刻①相距一个队伍的长度，即450米，时刻①战士从排尾出发，在时刻②跑到排头．

排头兵速度即队伍遮度1.5米／秒，战士速度3米／秒，因此追及时间为450÷（3-1.5）=300秒．

（2）设时刻②战士从排头出发，于时刻③跑回排尾，如图2所示：

战士与排尾兵在时刻②相距450米，排尾兵的速度为每秒1.5米，所以这个相遇过程所用的时间为450÷（3+1.5）=100秒．

7．甲、乙两列火车相向而行，甲车每小时行48千米，乙车每小时行60千米．坐在甲车上的小坤从乙车车头经过他的车窗时开始计时，到车尾经过他的车窗为止共用13秒，问：

乙车全长多少米？

答案：

390米

解析：

如图所示，时刻①时甲车乘客看到乙车车头；时刻②时，乙车车尾经过他的车窗．容易观察出乙车的长度等于乙车路程与甲车乘客路程之和．

根据甲、乙两车的速度和=（48+60）千米／时=108千米／时=30米／秒．

得到乙车长度=30×13=390米．

8．早上6：

00，甲、乙两人分别从相距240千米的A、B两城同时出发同向而行，甲在前，乙在后．甲每小时行40千米，乙每小时行60千米．如果丙以每小时72千米的速度前进，同时追上甲、乙两人，丙应当在几点从B城出发？

答案：

8:

00

解析：

乙追上甲需要240÷（60-40）=12小时，追上时乙走了60×12=720千米．

丙走这段路需要720÷72=10小时，比乙少用2小时，因此丙应该8:

00从B城出发．

9．有甲、乙、丙三人，甲每分钟走40米，乙每分钟走50米，丙每分钟走60米.A、B两地相距2700米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，他们出发15分钟后，丙从B地幽发去追赶乙．请问：

（1）甲在与乙相遇之后多少分钟又与丙相遇？

（2）又过了多少分钟丙才追上乙？

答案：

（1）6分钟

（2）54分钟

解析：

（1）

如图1在①时刻，甲、乙分别从A.B两地出发，经过15分钟后到达②时刻，此时丙从B地出发追赶乙，三人继续行程，到③时刻甲、乙相遇．

所以从①时刻甲和乙出发，到③时刻两人相遇，这段时间为2700÷（40+50）=30（分钟），其中甲的路程等于40×30=1200（米）．

又根据①②两时刻间相差15分钟，知②时刻与③时刻间间隔是30-15=15（分钟），所以丙在这段时间的路程等于60×15=900（米）．

接下来看第二段过程，如图2所示：

在③时刻时，甲、丙二人的距离是2700-（1200+900）=600米，由此时到甲、丙相遇的④时刻的时间是600÷（40-60）=600÷100=6分钟．

（2）从图2中看出，在④时刻，乙、丙两人之间的距离就等于在③④时刻间甲、乙两人的路程和，也就是（40+50）×6-90×6-540米：

也即从开始到④时刻为止的乙、丙路程差50×36-60×21=540米，

所以之后的追及时间（就是④时刻到丙追上乙）是这个距离除以速度差，即540+（60-50）=54分钟．

10．东、西两城相距75千米，小明从东向西走，每小时走6.5千米；小强从西向东走，每小时走6千米；小辉骑自行车从东向西行，每小时行15千米．三人同时出发，途中小辉遇见小强即折回向东骑，遇见了小明又折回向西骑，再遇见小强又折回向东骑……这样往返，直到三人在途中相遇为止．请问：

小辉共骑了多少千米？

答案：

90千米

解析：

如图所示，时刻③代表3人中途相遇的时刻，即运动截止时间．小辉的速度在整个过程中保持15千米／时不变，因此需要求出小辉的运动时间．

①时刻：

小辉和小强第一次相遇

②时刻：

小辉和小明第一次相遇

③时刻：

三人最终相遇

从3人出发到相遇．共同的行程时间就是小强、小明两人相向运动的时间，

该段时间=

因此小辉的总骑行时间为75÷（6.5+6）=75÷12.5=6小时，

所以小辉共骑了15×6=90千米．

拓展篇

1．

（1）一列火车长400米，以每分钟800米的速度通过一条长2800米的隧道，需要多

长时间？

（2）-列火车长720米，每秒行驶15米，全车通过一个山洞用了64秒．这个山洞长多

少米？

答案：

（1）4分钟

（2）240米

解析：

（1）本题已知速度，要求时间，因此路程是关键，如图1，用火车车尾的运动代替火车的运动，可看出火车经过隧道时行驶的总路程是火车车长与隧道长之和，即400+2800=3200米．

由于火车的速度是每分钟800米，因此火车经过隧道的时间是3200÷800=4分钟．

（2）如图2，根据“路程=速度×时间”，得火车以15米／秒的速度行驶64秒，

所经过的路程是15×64=960米，即火车与山洞长度之和．而火丰的长度是720米，所以山洞的长度是960-720=240米。

2．-列火车通过一座长1000米的桥，从火车车头上桥，到车尾离开桥共用120秒，而火车完全在桥上的时间是80秒．你知道火车有多长吗？

它的速度是多少？

答案：

200米；10米／秒

解析：

如图，火车过桥时行驶的总路程是桥长与火车长之和，而火车完全在桥上，是以火车车尾到达桥头为开始，以火车车头到达桥尾为结束，因此路程是桥长与火车长之差，

由分析，火车120秒行驶的路程是桥长与火车长的和，80秒行驶的路程是桥长与火车长的差．

如果我们假设火车的速度是1份／秒，那么根据“路程=速度×时间”，可以得到桥长与火车长的和是1×120=120份，桥长与火车长的差是1×80=80份，这样出现了一个和差问题．

由和差问题公式“大数=（和十差）÷2”及“小数=（和一差）÷2”，得到桥长是（120+80）÷2=100份，火车长是（120-80）÷2=20份．

由已知，桥长是1000米，所以100份=1000米，即1份=10米，所以火车的速度是10米／秒，火车车长是10×20=200米。

3．有一列客车和一列货车，客车长400米，每秒行驶20米；货车长800米，每秒行驶10米，试问：

如果两车相向而行，它们从相遇到错开需要多长时间？

如果两车同向而行，客车赶超货车（从追上到完全超过）需要多长时间？

答案：

40秒；120秒

解析：

如图1所示，上半部分表示两车刚刚相遇的时刻，下半部分表示两车完全错开的时刻．

从图l中可以看出：

两列火车从相遇到完全错开所走的路程和为两列火车的长度之和，

如图2所示，右半部分表示客车刚刚追上货车的时刻，左半部分表示客车完全超过货车的时刻．

从图2中可以看出：

两列火车所走的路程差为两列火查的长度之和。

因此，两车从相遇到错开共走了400+800=1200米，所用的时间为1200÷（10+20）=40秒，

客车从追上货车开始到完全超过货车两车的路程差为400+800=1200米，所用的时间为1200÷（20-10）=120秒．

4．一列客车和一列货车同向而行，货车在前，客车在后，已知客车通过460米长的隧道用了30秒，通过410米长的隧道用了28秒，又已知货车长160米，每小时行驶54千米．请问：

客车从追上到离开这列货车需要多少秒？

答案：

45秒

解析：

如图1，观察客车车尾，容易看出客车通过隧道所经过的路程等于客车自身长度与隧道长度之和．

由客车通过两个隧道，时间差为30-28=2秒，路程差为460-410=50米，所以，客车的速度是50÷2=25米／秒，并且30秒中它走过的路程是25×30=750米，从而车长750-460=290米．

如图2所示：

由图2中可以看出，丙车的路程差等于客车、货车两车的长度之和．注意到54千米／时=15米／秒，所以追及时间=两车的长度和÷两车的速度差=（290+160）÷（25-15）=450÷10=45秒．

5．与铁路平行的一条小路上，有一个行人与一个骑车人同时向南行进，行人速度为每小时3.6千米，骑车人速度为每小时10.8千米．这时，有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用了22秒钟，通过骑车人用了26秒钟，请问：

这列火车的车身总长足多少米？

答案：

286米

解析：

本题的实质是两个追及问题：

火车追及行人用时22秒，火车车长等于火车与行人的路程差；火车追及骑车人用时26秒，火车车长等于火车与骑车人的路程差，所以火车在追及骑车人时比追及行人时多行驶4秒的路程，就是骑车人比行人多走的路程．如图所示：

把速度转化成“米／秒”的单位：

行人速度3.6千米／时=3600米／3600秒=1米／秒，

骑车人速度10.8千米／时=10800米/3600秒=3米／秒．

行人的路程是1×22=22米，骑车人的路程是3×26=78米，由此得到骑车人比行人多走了78-22=56米．因此火车的速度是56÷4=14米／秒．

在火车追及行人时，路程差是火车车长，速度差是14-1=13米／秒，追及时间是22秒，所以火车车长是13×22=286米。

6．某小学组织学生去春游，队伍行进的速度是每秒2米，宋老师以每秒4米的速度从队尾跑到队头，再回到队尾，共用了6分钟．请问：

队伍的总长是多少米？

答案：

540米

解析：

如图，时刻①代表该学生开始在队尾的时刻，时刻②代表该学生首次跑到队头的时刻，时刻③代表该学生再次回刭队尾的时刻．

在第一阶段（①②两时刻之间），过程可以看作学生与队头之间的追及运动，追及速度差=4-2=2米／秒，路程差等于队伍长度．

而在第二阶段（②③两时刻之间），过程可以看作学生与队尾之间的相向运动，相遇速度和=4+2=6米／秒，路程和也等于队伍长度。

所以，第一阶段路程差与第二阶段路程和相等，都等于队伍的长度；又因为第二阶段速度和是第一阶段速度差的3倍，所以第一阶段花费的时间是第二阶段的3倍．

因为两阶段共花费6分钟，利用和倍问题的公式，知第二阶段花费6÷（3+1）=6÷4=1.5分钟，即1.5×60=90秒．由此即得队伍总长度=6×90=540（米）．

7．墨莫在一条与铁路平行的小路上行走，有一列客车迎面开来，40秒后经过墨莫，如果这列客车从墨莫的背后开来，60秒后经过星莫．试问：

如果墨莫站着不动，客车多长时间可以经过墨莫？

答案：

48秒

解析：

墨莫和火车的相遇过程中，火车和墨莫的路程和等于火车的长度；火车追及墨莫的过程中，火车和墨莫的路程差等于火车的长度，

假设车长为120份．

由假设，可得火车和墨莫的速度和=相遇路程和÷相向运动时间=120÷40=3份．

火车和墨莫的速度差=追及路程差÷追及时间=120÷60=2份．

所以火车的速度为2.5份／秒，墨莫的速度为0.5份／秒，如果墨莫站着不动，那么火车经过他总共需要120÷2.5=48秒。

8．两列火车同时同方向齐头行进，快车每秒行18米，慢车每秒行10米，行12秒后快车超过慢车．如果这两列火车车尾对齐，同时同方向行进，则9秒后快车超过慢车．请问：

快车和慢车的车长分别是多少米？

答案：

96米，72米

解析：

两种情况分剐如图所示，齐头前进时，快车追及慢车时的路程差恰好是一个快车车长；齐尾前进时，追及的路程差则是一个慢车车长．

因此齐头行进时，快车的车长为（18-10）×12=96（米）．

齐尾行进时，慢车的车长为（18-10）×9=72（米）．

9．一列货车和一列客车同向行驶，由于货车有紧急任务，因此开始赶超客车．小明在客车内沿着客车前进的方向向前走，发现货车用了140秒就超过了他．已知小明在客车内行走的速度为每秒l米，客车的速度为每秒20米，客车长350米，货车长280米．求货车从追上客车到完全超过客车所需要的时间．

答案：

210秒

解析：

货车追及小明的过程中，路程差应该为货车的车长280米，追及时间为140秒，因此货车与小明的速度差为280÷140=2米／秒；由于小明正在客车中沿着客车的前进方向以1米／秒行走，所以货车和客车的速度差为2+1=3米／秒．货车追及客车的过程中路程差应为280+350=630米，这样货车完全超越客车需要（280+350）÷3=210秒．

10．甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时52千米和每小时40千米，两车同时从A地出发到B地去，出发6小时后，甲车遇到一辆迎面开来的卡车．又过了1小时，乙车也遇到了这辆卡车．请问：

这辆卡车的速度是多少？

答案：

32千米／时

解析：

本题是两个相遇问题．从出发到甲车与卡车相遇时，甲车行驶的路程为52×6=312千米，

如图所示，这段路程正是乙车行驶6+1=7小时与卡车行驶1小时的路程之和，因此卡车1小时行驶的路程为312-40×7=312-280=32千米．

①时刻：

甲车、乙车与卡车出发的时刻

②时刻：

甲车与卡车迎面相遇

③时刻：

乙车与卡车迎面相遇

最后根据“速度-路程÷时间”得到专车的速度为32÷1=32千米／时。

11.有甲、乙、丙三人，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米，如果甲从A地，乙和丙从B地，三人同时出发相向而行，中和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇，求A、B两地的距离．

答案：

16500米

解析：

作出线段图，如图所示，其中①时刻是甲、乙、丙三人出发的时刻，②时刻和③时刻分别是甲和乙、甲和丙相遇的时刻．

②时刻甲、乙与丙的距离

①时刻：

三人出发②时刻：

甲和乙相遇

③时刻：

甲和丙相遇

由于甲、丙相向运动并在③时刻相遇，知：

甲、丙两人在②时刻时距离一甲、丙速度和×②③两时刻的间隔=（60+40）×15=1500米．

这个距离就等于乙和丙从O时刻到②时刻行程过程的路程差，可以得到：

①时刻和②时刻的耐间间隔=1500÷（50-40）=1500÷10=150分钟．

进一步分析，从①时刻到②时刻，甲和乙之间是一次标准的相遇问题，因此A、B两地间距离=甲、乙的速度和×①②两时刻的时间间隔．

由此即得到这个距离为（60+50）×150=110×150=16500米。

12．甲、乙两人同时从A地出发向B地前进，甲骑车，乙步行，与此同时，丙从B地出发向A地前进．甲骑9千米后与丙相遇，而乙走6千米后就与丙相遇．如果甲骑车的速度是乙步行速度的3倍，求A、B两地的距离，

答案：

12千米

解析：

先画出线段图，当运动时间相同，路程的倍数关系等于速度的倍数关系．

由于甲的速度是乙的3倍，而甲从时刻①到时刻②经过了9千米，那么在同样时间内，乙经过的路程AC=9÷3=3千米（这里AC表示A、C两地距离，以下符号类似）．因此，在时刻②乙落后甲CE=AE-AC=9-3=6千米．

在时刻②到时刻③这段时间里，乙与丙从相距6千米直至两人相遇，乙经过的路程是CD=AD-AC=6-3=3千米，那么丙经过的路程是DE=CE-CD=6-3=3千米．

同样的时间内乙与丙经过的路程相同，由此可以看出乙与丙的速度相同．

由题意，从三人出发到甲与丙相遇，乙经过的路程是3千米，则丙经过的路程EB也是3千米．因此AB两地的距离是AE+EB=9+3=l2千米。

13．甲、乙、丙三人步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的3倍，现在甲从A地向B地行进，乙、丙两人从B地向A地行进．三人同时出发，出发时，甲、乙步行，丙骑车，途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，三人仍按原来的方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，自己又重新改为步行，三人仍按原来的方向继续前进．试问：

三人之中谁最先到达目的地？

谁最后到达目的地？

答案：

丙最先；甲最后

解析：

甲、乙、丙三人同时出发，总路程相同，因此骑车的路程越长，到达目的地就越早；反之，步行的路程越长，到达目的地就越晚．

因为丙骑车比乙步行快，所以甲先与丙相遇．假设甲与丙在②时刻相遇于途中的C地，此时乙刚好走到D地．由于甲与乙的步行速度相同，从第①时刻到第②时刻经过的路程也相同，所以AC=BD.

再设甲与乙在③时刻相遇于C与D之间的E地．由题意，丙步行的路程是AC，乙步行的路程是BE,甲步行的路程是AC+BE.

显然BE大于AC，AC+BE大于BE．

所以丙步行的路程最短，到达目的地最早；甲步行的路程最长，到达目的地最晚。

14.A、B两城相距56千米，甲、乙、丙三人分别以每小时6千米、5千米、4千米的速度前进，甲、乙两人从A城，丙从B城同时出发，相向而行．请问：

出发多长时间后，乙正好在甲和丙的中点？

答案：

7小时

解析：

假设乙在甲与丙中点的时候，甲、乙、丙三人分别位于C、D、E处．因为甲、乙同时从A地出发同向而行，甲比乙速度快，所以出发后乙比甲更靠近A．而

乙在甲与丙的中点，那么丙一定比乙更靠近A此时A、B、C、D、E五个地点的顺序依次是A、E、D、C、B（如图所示）．

注意到甲、乙、丙三人出发时间相同，从出发到乙在甲与丙中点时用去的时间也相同．

由于甲、乙、丙的速度分别为6千米／时、5千米／时、4千米／时，所以可假设从出发到乙在甲与丙的中点的时刻，甲、乙、丙三人经过的路程分别是6

份、5份、4份，

如果在图中看，可以得出AC=6份，AD=5份，BE=4份，CD=AC-AD=6-5=1份．注意到D是CE中点，所以CD=DE=1份，由此计算出丙到A地的距离AE=AD-DE=5-1=4份，所以AB两地距离既是56千米，又是4+4=8份，即56千米=8份，1份=7千米。

这样，甲的路程为7×6=42千米，即得

前行时间=甲路程÷甲前行速度=42÷6=7小时．也即在出发后经过7小时，乙正好在甲和丙的中点。

超越篇

1．米老鼠沿着铁路旁的一条小路向前走，一列货车从后面开过来，8：

00货车追上了米老鼠．又过了30秒，货车超过了它；另有一列客车迎面驶来，9:

30客车和米老鼠相遇，又过了12秒客车离开了它．如果客车的长度是货车的2倍，客车的速度是货车的3倍，请问：

客车和货车什么时间相遇？

两车错开需要多长时间？

答案：

9：

15；15秒

解析：

本题中涉及了四个小问题：

货车车尾与行人的追及问题，客车车尾与行人的相遇问题，两车车头的相遇问题，两车车尾的相遇问题．

货车与行人同向而行，追上行人需要30秒．如果假设货车车长是30份，那么根据“速度差=路程差÷追及时间”，可以得到货车与行人的速度差为30÷30=1份/秒．

客车从车头与行人相遇到车尾离开行人共用时12秒，客车车长又是货车的两倍，

所以客车车长是30×2=60（份）．根据“速度和=路程和÷相遇时间”得到客车与行人的速度和是60÷12=5（份／秒）．

通过速度关系式：

客车速度+货车速度=（客车速度+行人速度）+（货车速度-行人速度），可以得到客货两车的速度和是5+1=6份／秒．

从8:

00到9:

30是行人与客车车头的相遇问题，由“路程和=速度和×相遇时间”得到8：

00时，行人与客车车头的距离是5×90×60=27000份．

而8：

00时，货车车头恰好追上了行人，那么此时两车车头的间距也是27000份．

根据“相遇时间=路程和÷速度和”，求出两车相遇需要经过27000÷6=4500秒，也就是4500÷3600=1.25小时，即两车相遇的时间是9：

15.

9：

15时两车车头相遇，从查头相遇到完全错开（车尾相遇）时，两车的路程和恰好是两车车长之和30+60=90份，

结合上面求出的客货两车的速度和6份／秒，得两车从相遇到错开所用的时间是90÷6=15秒，

2．货车和客车相向而行，两车在A点迎面相遇，在B点错开，A点和B点之间的距离为150米，已知客车的长度为450米，速度为每小时108干米，货车的速度为每小时72千米．如果货车比客车长，那么货车的长度是多少？

答案：

550米

解答

如图．得客车路程=客车长度+AB之间距离=450+150=600米．

同样由于客车速度是货车速度的1.5倍，得到同样的时间里客车路程是货车路程的1.5倍，故货车的路程为600÷1.5=400（米）．

所以货车长度=货车路程+AB之间距离=400+150=550米．

3．铁路旁有一条小路，一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去，14时10分追上向北行走的一位工人，15秒后离开这个工人；14时16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开这个学生，请问：

工人与学生将在何时相遇？

答案：

1