高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量18二项分布正态分布及其应用课时提升作业理.docx
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高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量18二项分布正态分布及其应用课时提升作业理
2021年高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量10.8二项分布正态分布及其应用课时提升作业理
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.(xx·太原模拟)已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(2≤X≤4)=0.6826,则P(X>4)= ( )
A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585
【解析】选B.因为X~N(3,1),所以正态分布曲线关于μ=3对称,所以P(X≥3)=0.5,又P(2≤X≤4)=0.6826,所以P(X>4)=0.5-P(2≤X≤4)=0.5-×0.6826=0.1587.
【加固训练】(xx·秦皇岛模拟)在正态分布N中,数值落在
(-∞,-1)∪(1,+∞)内的概率为 ( )
A.0.097 B.0.046
C.0.03 D.0.0026
【解析】选D.因为μ=0,σ=,所以P(X<-1或X>1)=1-P(-1≤X≤1)=1-P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)=1-0.9974=0.0026.
2.(xx·张家界模拟)如图,元件Ai(i=1,2,3,4)通过电流的概率均为0.9,且各元件是否通过电流相互独立,则电流能在M,N之间通过的概率是 ( )
A.0.729B.0.8829C.0.864D.0.9891
【解析】选B.电流能通过A1,A2的概率为0.9×0.9=0.81,电流能通过A3的概率为0.9,故电流不能通过A1,A2,且也不能通过A3的概率为(1-0.81)(1-0.9)=0.019,
故电流能通过系统A1,A2,A3的概率为
1-0.019=0.981,
而电流能通过A4的概率为0.9,
故电流能在M,N之间通过的概率是(1-0.019)×0.9=0.8829.
3.已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8,则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 ( )
A.0.85B.0.8192C.0.8D.0.75
【解析】选B.P=(0.8)3·0.2+(0.8)4=0.8192.
4.(xx·石家庄模拟)1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱中,然后从2号箱中随机取出一球,则两次都取到红球的概率是 ( )
A.B.C.D.
【解题提示】此问题为从1号箱中取到红球的条件下,从2号箱中也取到红球的条件概率问题.
【解析】选C.设从1号箱中取到红球为事件A,从2号箱中取到红球为事件B,由题意,P(A)==,P(B|A)==,所以P(AB)=P(B|A)P(A)=×=,所以两次都取到红球的概率为.
5.(xx·成都模拟)端午节那天,小明的妈妈为小明煮了5个粽子,其中2个腊肉馅3个豆沙馅,小明随机取出两个,记事件A为“取到的两个为同一种馅”,事件B为“取到的两个都是豆沙馅”,则P(B|A)= ( )
A.B.C.D.
【解析】选A.由题意,P(A)==,
P(AB)==,所以P(B|A)==.
【加固训练】(xx·平顶山模拟)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下,第2次抽到的是卡口灯泡的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.设事件A为“第1次取到的是螺口灯泡”,事件B为“第2次取到的是卡口灯泡”,则P(A)=,P(AB)=×=.则所求概率为P(B|A)===.
6.(xx·中山模拟)假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1-p,且各引擎是否有故障是独立的,已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行,飞机就可成功飞行;2引擎飞机要2个引擎全部正常运行,飞机也可成功飞行,要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全,则p的取值范围是 ( )
A.B.
C.D.
【解题提示】由题意知各引擎是否有故障是独立的,4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行,4引擎飞机可以正常工作的概率是p3(1-p)+p4,2引擎飞机可以正常工作的概率是p2,根据题意列出不等式,解出p的值.
【解析】选B.每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1-p,不出现故障的概率是p,
且各引擎是否有故障是独立的,
4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行,飞机就可成功飞行;
4引擎飞机可以正常工作的概率是p3(1-p)+p4,
2引擎飞机要2个引擎全部正常运行,飞机也可成功飞行,
2引擎飞机可以正常工作的概率是p2,
要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全,
依题意得到p3(1-p)+p4>p2,
化简得3p2-4p+1<0,
解得
7.(xx·洛阳模拟)袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球,从A中摸出一个红球的概率是,从B中摸出一个红球的概率为p.若A,B两个袋子中的球数之比为1∶2,将A,B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,则p的值
为 ( )
A.B.C.D.
【解题提示】根据A,B两个袋子中的球数之比为1∶2,将A,B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,得到两个方程,即可求得概率.
【解析】选B.设A中有x个球,B中有y个球,则因为A,B两个袋子中的球数之比为1∶2,将A,B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,所以=且=.
解得p=.
【误区警示】本题考查概率的计算,考查学生的理解能力,很容易因得不出方程组而无法求解.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠,若该电梯在底层有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率为,用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数,则P(ξ=4)= .
【解析】依题意,ξ~B,
故P(ξ=4)=×=.
答案:
9.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品是相互独立的.则进入该商场的1位顾客仅购买甲、乙两种商品中的一种的概率是 .
【解析】设“进入该商场的每一位顾客购买甲种商品”为事件A,“购买乙种商品”为事件B,则P(A)=0.5,P(B)=0.6.
设“进入该商场的1位顾客仅购买甲、乙两种商品中的一种”为事件C,则P(C)=P(A∪B)=P(A)·P()+P()·P(B)=0.5×(1-0.6)+(1-0.5)×0.6=0.5,
所以进入该商场的1位顾客仅购买甲、乙两种商品中的一种的概率为0.5.
答案:
0.5
10.(xx·合肥模拟)某工厂在试验阶段生产出了一种零件,该零件有A,B两项技术指标需要检测,设各项技术指标达标与否互不影响.若有且仅有一项技术指标达标的概率为,至少一项技术指标达标的概率为.按质量检验规定:
两项技术指标都达标的零件为合格品,则一个零件经过检测,为合格品的概率是 .
【解题提示】设A,B两项技术指标达标的概率分别为P1,P2,根据题意,可得关于P1,P2的二元一次方程组,可解得P1,P2的值,由题意将P1,P2相乘可得答案.
【解析】设A,B两项技术指标达标的概率分别为P1,P2,一个零件经过检测,为合格品的概率为P;
由题意得:
解可得P1=,P2=,或P1=,P2=,
则P=P1×P2=.
答案:
(15分钟 30分)
1.(5分)(xx·三明模拟)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量,记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0,则p0= .
【解析】由X~N(800,502),知μ=800,σ=50,又P(700答案:
0.9772
2.(5分)抛掷红、蓝两颗骰子,设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”,事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”.当已知蓝色骰子的点数为3或6时,则两颗骰子的点数之和大于8的概率为 .
【解析】P(A)==.因为两颗骰子的点数之和共有36个等可能的结果,点数之和大于8的结果共有10个.
所以P(B)==.
当蓝色骰子的点数为3或6时,两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个,故P(AB)=.
所以P(B|A)===.
答案:
【加固训练】(xx·厦门模拟)一盒中放有大小相同的10个小球,其中8个黑球、2个红球,现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意抽取2个小球,已知甲取到了2个黑球,则乙也取到2个黑球的概率是 .
【解析】记事件“甲取到2个黑球”为A,“乙取到2个黑球”为B,则有P(B|A)===,即所求事件的概率是.
答案:
3.(5分)在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的最小值为 .
【解析】由题设知p(1-p)3≤p2(1-p)2,
解得p≥0.4,因为0≤p≤1,
所以0.4≤p≤1,所以概率p的最小值为0.4.
答案:
0.4
【方法技巧】n次独立重复试验有k次发生的概率的求法
在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=
pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.在利用该公式时一定要审清公式中的n,k各是多少,解题时注意弄清题意,代入公式时不要弄错数字.
【加固训练】在高三的一个班中,有的学生数学成绩优秀,若从班中随机找出5名学生,那么数学成绩优秀的学生数ξ~B(5,),则P(ξ=k)取最大值的k值
为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.依题意,
≥·
且≥
解得≤k≤,所以k=1.
4.(15分)(xx·太原模拟)据统计,某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.3,0.5,0.2.
(1)求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过1次的概率.
(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.
【解析】
(1)设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”,
事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”,
所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.5=0.8.
(2)设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为0”.
事件Bi表示“第i个月被投诉的次数为1”,
事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为2”,
事件D表示“两个月内被投诉2次”,
所以P(Ai)=0.3,P(Bi)=0.5,P(Ci)=0.2(i=1,2),
所以两个月中,一个月被投诉2次,另一个月被投诉0次的概率为P(A1C2+A2C1),一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2),
所以P(D)=P(A1C2+A2C1)+P(B1B2)=P(A1C2)+P(A2C1)+P(B1B2),
由事件的独立性得p(D)=0.3×0.2+0.2×0.3+0.5×0.5=0.37.
【加固训练】1.(xx·武汉模拟)在“出彩中国人”的一期比赛中,有6位歌手(1~6)登台演出,由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星,各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人,其中媒体甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,另在2号至6号中随机地选2名;媒体乙不欣赏2号歌手,他必不选2号;媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至6号歌手中随机地选出3名.
(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率.
(2)X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列.
【解析】设A表示事件“媒体甲选中3号歌手”,事件B表示“媒体乙选中3号歌手”,事件C表示“媒体丙选中3号歌手”,则
(1)P(A)==,P(B)==,
所以P(A)=P(A)P()
=×=.
(2)P(C)==,
因为X可能的取值为0,1,2,3.
P(X=0)=P()=
=××=,
P(X=1)=P(A)+P(B)+P(C)=×+××+××=++=,
P(X=2)=P(AB)+P(AC)+P(CB)
=××+××+××=,
P(X=3)=P(ABC)=××=.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
2.(xx·南阳模拟)某单位有三辆汽车参加某种事故保险,该单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金,对在一年内发生此种事故的每辆汽车,该单位可获9000元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次).设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为,,,且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中:
(1)获赔的概率.
(2)获赔金额ξ(单位:
元)的分布列.
【解析】设第k辆车在一年内发生此种事故为事件Ak,k=1,2,3,由题意知A1,A2,A3相互独立,且P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,所以P()=,P()=,P()=.
(1)该单位一年内获赔的概率为
1-P()
=1-P()P()P()
=1-××=.
(2)ξ的所有可能值为0,9000,18000,27000.
P(ξ=0)=P()=P()P()P()
=××=,
P(ξ=9000)=P(A1)+P(A2)+P(A3)
=P(A1)P()P()+P()P(A2)P()+P()P()P(A3)
=××+××+××==,
P(ξ=18000)=P(A1A2)+P(A1A3)+P(A2A3)
=P(A1)P(A2)P()+P(A1)P()P(A3)+P()P(A2)P(A3)
=××+××+××==,
P(ξ=27000)=P(A1A2A3)
=P(A1)P(A2)P(A3)=××=.
综上知,ξ的分布列为
ξ
0
9000
18000
27000
P