初三数学有关圆的经典例题.docx
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初三数学有关圆的经典例题
AB与AC有不同的位
初二数学有关圆的经典例题
1.在半径为1的OO中，弦AB、AC的长分别为、3和.2,求/BAC的度数。
分析：
根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意
m¥方
^置天糸。
解：
由题意画图，分ABAC在圆心O的同侧、异侧两种情况讨
论，
当ABAC在圆心0的异侧时，如下图所示，
vAB3,AC2，二AD
，AE
v0A1,AcosZ0AD
AD3
0A2
cosZ0AE
AE
0A
•••Z0AD=30,Z0AE=45，故ZBAC=75,当ABAC在圆心0同侧时，如下图所示，
同理可知Z0AD=30,Z0AE=45,
•ZBAC=15
点拨：
本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。
例2.如图：
△ABC的顶点A、B在O0上，O0的半径为
R,O0与AC交于D,
如果点D既是AB的中点，又是AC边的中点,
（1）求证：
△ABC是直角三角形；
AD2
（2）求竺的值
BC
分析
（1）由D为AB的中点，联想到垂径定理的推论，连结0D交AB于F,
则AF=FB0DLAB,可证。
卩是厶ABC的中位线；
（2）延长DO交OO于E,连接AE,由于/DAE=90,DE!
AB/•△ADF
解：
（1）证明，作直径DE交AB于F,交圆于E
vD为AB的中点，•••AB丄DE,AFFB
又•••AD=DC
1
•••DF//BC,DFBC
2
•••AB丄BC,•••△ABC是直角三角形。
（2）解：
连结AE
vDE是OO的直径
•••/DAE=90
而AB丄DE,."ADF^AEDA
•AD
DE
vDE
匹，即AD2
AD
DE•DF
•AD
2R,DF1BC
2
BC•R,
故巫
BC
例3.如图，在OO中，AB=2CD那么（）
A.AB2CD
B.AB2CD
F
D
C.AB2CD
D.AB与2CD的大小关系不确定
分析：
要比较AB与2CD的大小，可以用下面两种思路进行：
1
（1）把AB的一半作出来，然后比较1AB与CD的大小。
2
⑵把2CD作出来，变成一段弧，然后比较2CD与AB的大小。
解：
解法
（一），如图，过圆心O作半径OF!
AB,垂足为E,
则AFFB1AB
2
1AEEB—AB
2
vAB2CD，二AECD1AB
2
vAFFB二AFFB
在厶AFB中，有AF+FB>AB
二2AF
AB,•
■-AF
•AFCD,•
■-2AF2CD
2
•AB
2CD
•••选Ao
解法
（二）
「如图，
作弦
DE=CD连结CE
贝yDECD1CE
4.
2
在厶CDE中，有CD+DE>CE
•••2CD>CE
vAB=2CD「.AB>CE
•ABCE,•AB2CD
B
0
1AD
4.-
•••选Ao
如图，四边形ABCD内接于半径为2的OO,已知AB求CD的长。
分析：
连结BD由AB=BC可得DB平分/ADC延长AB
DC交于E,易得△EBC^^EDA又可判定AD是OO的直径，
得/ABD=90,可证得△ABD^AEBD得DE=AD利用△EB3AEDA可先求出CE的长。
解：
延长ABDC交于E点，连结BD
vABBC
1
AD
4
1
•ABBC
ad
4,•
•丄ADBZEDB
vOO的半径为2,二AD是OO的直径
•••/ABD=/EBD=90，又；BD=BD
•△ABD^AEBD•AB=BE=1AD=DE=4•••四边形ABCD内接于OO
•••/EBC=/EDA/ECB玄EAD
•△EBCs\EDA,•匹
AD
例5.如图，AB、AC分别是OO的直径和弦,
•CDDECE
（1）当厶PCF满足什么条件时，PC与OO相切，为什么?
D为劣弧AC上一点，DE丄AB
（2）当点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2DE-DF，为什么？
分析：
由题意容易想到作辅助线0C
（1）要使PC与O0相切，只要使/PCO=90，问题转化为使/OCA丄PCFNFAH+ZAFH就可以了。
（2）要使AD2DE-DF，即使-AD~D匸，也就是使△DAFDEA
DEAD
解：
（1）当PC=PF（或/PCF=ZPFC）时，PC与OO相切，
下面对满足条件PC=PRS行证明，
连结OC则/OCA=ZFAH
•/PC=PFPCF=ZPFC=ZAFH，
•/DEIAB于H,./OCAZPCF=ZFAH+ZAFH=90
（2）当点D是劣弧AC的中点时，AD2
DE-DF，理由如下:
即OCLPC,.PC与OO相切。
ADDF
DEAD
又•••/ADFZEDA,
•••△DAFDEA,
即aD=de・DF
点拨：
本题是一道条件探索问题，第
（1）问是要探求△PCF满足什么条件时，PC与O
O相切，可以反过来，把PC与O0相切作为条件，探索△PCF的形状，显然有多个答案；第
（2）问也可将AD=DE・DF作为条件，寻找两个三角形相似，探索出点D的位置。
例6.如图，四边形
ABCD是矩形（AB-BC），以BC为直径作半圆0,过点
D作半圆的切线交AB于
求tanZADE的值。
E,
2
分析：
要求tanZADE在Rt△AED中，若能求出AE、AD,根据正切的定义就可以得到。
ED=EF+FD而EF=EBFD=CD结合矩形的性质，可以得到ED和AE的关系，进一步可求出AE:
AD。
解：
•••四边形ABCD为矩形，•••BCLAB,BC丄DC
•••ABDC切O0于点B和点C,
•/DE切OO于F,「.DF=DCEF=EB即DE=DC+EB又•••AEEB=2:
1,设BE=x贝UAE=2x,DC=AB=3xDE=DC+EB=4x,
在Rt△AED中，AE=2x,DE=4x,
则tanZADE
AE
AD
2x
2、3x
•AD2-3x
点拨：
本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。
例7.已知OO与OQ相交于AB两点，且点Q在OO上,
（1）如下图，AD是OQ的直径，连结DB并延长交OO于C,求证CO丄AD
0于C,那么CQ所在直线
（2）如下图，如果是否与AD垂直？
证明你的结论。
分析：
（1）要证CQ丄AD,只需证/CGD=90°,即需证/D+ZC=90°,考虑到AD是O
02的直径，连结公共弦AB,则ZA=ZC,ZDBA=90，问题就可以得证。
（2）问题②是一道探索性的问题，好像难以下手，不妨连结AC直观上看，AC等于
CD到底AC与CD是否相等呢？
考虑到02在OQ上，连结AQ、DO、BQ2,可得Z1=Z2,且有厶AQC^ADOC,故CA=CD可得结论CQ丄AC。
解：
（1）证明，连结ABAD为直径，则ZABD=90
•••ZD+ZBAD=90
又tZBAD玄C,•••/D+ZC=90°
•ZCQD=90°,「.CQ丄AD
（2）CQ所在直线与AD垂直，证明：
连结QAQB、QDAC在厶AQC与厶DQC中
•/q2aq2b，二AQ2BQ2,.・.Z1Z2
•/ZQBD=ZQAC,又ZQBD=ZQDB•••/OAC=ZQDB
•/QC=OC,AQC^ADOC,•CA=CD
•△CAD为等腰三角形，
•/CO为顶角平分线,•CO丄AD。
例8.如下图，已知正三角形ABC的边长为a,分别为A、B、C为圆心，以a为半径的圆相切于点02、03,求OQ?
、0203、0301围成的图形面
2
积S。
（图中阴影部分）
A'
解：
abc
2，3S扇3X6•
分析：
阴影部分面积等于三角形面积减去3个扇形面积。
此题可变式为如下图所示，。
A、OB、OC两两不相交，且它们的半径都
为a，求图中三个扇形
2
（阴影部分）的面积之和
分析：
因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求，因为/A+ZB+/C=180,
因而三个扇形拼起来正好是一个半圆，故所求图形面积为a2,
8
原题可在上一题基础上进一步变形：
OAi、OA、OA…OAn相外离，它们的半径都是
1，顺次连结n个圆心得到的n边形A1A2A…An，求n个扇形的面积之和。
解题思路同上。
解:
（n2）
2
-、填空题（10X4=40分）
1.已知：
一个圆的弦切角是50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为
。
2.圆内接四边形ABCD中，如果ZA:
ZB:
ZC=2:
3:
4，那么ZD=度。
3.若OO的半径为3，圆外一点P到圆心O的距离为6，则点P到OO的切线长为
4.如图所示CD是OO的直径，AB是弦，CDLAB于M,则可得出AM=MBACBC等多
D
个结论，请你按现有的图形再写出另外两个结论:
5.O0与OQ的半径分别是3和4，圆心距为4J3，那么这两圆的公切线的条数是
O
6.圆柱的高是13cm,底面圆的直径是6cm,则它的侧面展开图的面积是。
7.已知：
如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=16cm拱高CD=4cm那么拱形的半
径是。
10•如图，量角器外沿上有AB两点，它们的读数分别是70°、
40°,则/1的度数为.
（第9题图）
11•已知eO的半径是3,圆心0到直线l的距离是3,则直线l
与eO的位置关系是.
12.如图，已知点E是圆O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等分点，BOC46°,
14.如图8，两个同心圆的半径分别为
第14题图
，则阴影部分的面积为
A
贝VAED的度数为.
16•如图，Rt△ABC是由Rt△ABC绕B点顺时针旋转而得，且点AB,C在同一条
扫过的扇形面积为
17.如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA,PB,切点分别是A,B，若PA8cm,
C是Ab上的一个动点（点C与A,B两点不重合），过点C作圆O的切线，分别交PA,PB于点D,E，贝y△PED的周长是.
18、在平面内，OO的半径为5cm,点P到圆心O的距离为3cm,则点P与OO的位置关系
是.
19•如图8，在Rt△ABC中，C90°,AC3•将其绕B点顺时针旋转一周，则分别
以BABC为半径的圆形成一圆环•则该圆环的面积为•
P
图9
三、解答题：
1.已知：
如图所示，00和OQ相交于AB两点，过B点作O0的切线交OQ于D,连结DA并延长与OO相交于C点，连结BG过A点作AE//BC与O0相交于E点，与BD相交于F点。
（1）求证：
EF-BC=DEAC;
（2）若AD=3AC=1,AF、3,求EF的长。
2.某单位搞绿化，要在一块图形的空地上种四种颜色的花，为了便于管理和美观，相同颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同，现征集设计方案，要求设计的图案成轴对称图形或中心对称图形。
请在如图所示的圆中画出三种设计方案。
（只画示意图，不写作法）。
3.已知：
△ABC是O0的内接三角形，BT为O0的切线，B为切点，P为直线AB上一点,过点P作BC的平行线交直线BT于点E,交直线AC于点F。
（1）如图所示，当点P在线段AB上时，求证：
PA-PB=PE-PF;
（2）当点P为线段BA延长线上一点时，第
（1）题的结论还成立吗？
如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）若AB2，COSZEBA-，求。
O的半径。
3
4•如图，△ABC是eo的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与AB重合），设OAB,C•
（1）当35O时，求的度数；
（2）猜想与之间的关系，并给予证明.
5、（8分）已知：
如图，在△ABC中,AB=AC以BC为直径的半圆0A
E
与边AB相交于点D,切线DHAC垂足为点E.
1-CE•
3
O
求证：
（1）△ABC是等边三角形；
（2）AE
6、已知：
如图，在Rt△ABC中，C90°，点径的圆与AC,AB分别交于点D,E，且CBD
（1）判断直线BD与eO的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD:
AO8:
5,BC2，求BD的长.
7、如图，在梯形ABCDhAb/CDOO为内切圆，E为切点，
（I）求AOD的度数；（U）若AO8cm,DO6cm,求OE的长.
8、已知Rt△ABC中,ACB90,CACB，有一个圆心角为45,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CECF分别与直线AB交于点MN.
（I）当扇形CEF绕点C在ACB的内部旋转时，如图①，求证：
MN2AM2BN2；
MN2AM2BN2是否仍然成立?
（H）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式
若成立，
H）
9•如图，△ABC内接于eO，过点A的直线交eO于点P，交
BC的延长线于点D,AB2APgAD.
（1）求证：
ABAC；
（2）如果ABC60°,eO的半径为1,且P为Ac的中点，
求AD的长.
10.（本题满分10分）已知：
如图，在半径为4的OO中，ABCD是两条直径，M为OB的
中点，CM勺延长线交OO于点E,且EM>MC连结DEDE=J15.
（1）求证：
AMMBEMMC;
（2）求EM的长；
（3）求sin/EOB的值.
11.（本题满分10分，第
（1）小题满分3分，第
（2）小题满分7分）
径0C所在的直线为对称轴的轴对称图形，A是0D与圆0的交点..
“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图7所示）.已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆0的半
第12题图
（1）请你帮助小王在图8中把图形补画完整；
（2）由于图纸中圆0的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中i1:
0.75是坡面CE的坡度），求r的值.
12.已知，如图，直线MN交e0于A,B两点，AC是直径，AD平分CAM交e0于
D，过D作DEMN于E.
（1）求证：
DE是e0的切线；
（2）若DE6cm,AE3cm,求e0的半径.
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