第四篇专题1 泰勒展开.docx
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第四篇专题1泰勒展开
泰勒与放缩
专题壹逍遥剑法——泰勒展开式
【例1】验证下列函数的麦克劳林公式：
（1）
cosx=1-
x2+
2!
x4
（1）
4!
x2m2m
（2m）!
o（x）；
（2）
1
1-x
=1+x+x2+⋯+xn+o（xn）
1
1+x
=1-x+x2+⋯+（-1）nxn+o（xn）．
【例2】写出f（x）=e-2x的麦克劳林公式．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设g（x）=f（2x）-4bf（x），当x>0时，g（x）>0，求b的最大值；
（3）已知1.4142<<1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．
x-1
2
x
（1）若f（x）≥0恒成立，求k的取值范围
（2）若2.23604
A．（-∞，0]
B．（-∞，1]
C．[0，+∞）
D．[1，+∞）
{1}B．{-1}
62
22ax2-x-1
C．[-1，+∞）2
D．（-∞1]
2
（1）若a=0，证明：
当-10时，f（x）>0；
（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a的值．
，a>0．
（1）若a≥1，证明：
当x∈（0
π时，f（x）>0；
，）2
（2）若x=0是f（x）的极大值点，求正实数a的取值范围．
的取值范围．
【例11】已知函数f（x）=ex+ax2-x
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点A（0，f（0））处的切线；
（2）若x=0为f（x）的一个极小值点，求a的取值范围．
（1）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有极小值且极小值为0，求a的值．
（1）当a=1时，若f（x）≥m在（0，+∞）上恒成立，求m的范围；
（2）当a≥1时，若x=0不是f（x）的极值点，求实数a的值．
2
的值为（）
A．1
3
B．1
2
C．1D．2
A．e+1
2
B．e-1
2
C．1
2
D．e
2
42
则该切线在y轴上的截距为．
A．（0，2]
B．（0，1]
C．（0，e]
D．（0，π）
6
（1）讨论f（x）的导函数f'（x）零点的个数；
（2）若对任意的x≥0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．
（1）当a=0时，证明：
当x≥0时，f（x）≥0；
（2）当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．
（1）证明：
f'（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
（）=-∈π≤（）≤x3
axsinx，x
[0，
2
]，其中a为常数，当a
1时，证明：
fx．
6
x
（1）求a的取值范围；
（2）证明：
f（x）>a（sinx+1）．
x
在x=x处取得极值，且x∈（15）．
00，
4
（1）求f（x）的极值；
5
（2）若x>0时，不等式f（x）-f（-x）>ax恒成立，求实数a的取值范围．（参考数据：
e≈2.72，e4≈3.49）
A．（-∞，0）
B．（-∞，1）
C．（-∞，0]
D．（-∞，1]
A．当k=1时，f（x）在x=1处取得极小值B．当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值
C．当k=2时，f（x）在x=1处取得极小值D．当k=2时，f（x）在x=1处取得极大值
A．-1B．0C．1D．±1
（1）求f（x）的单调区间；
sinx．
2+cosx
（2）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．
（1）求函数f（x）的图象在π，1）处的切线方程；
2
（2）若任意x∈（0，+∞），不等式f（x）
-2x
x3
，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时：
2
（1）求证：
1-x≤f（x）≤
1；
1+x
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
（1）求常数b的值；
（2）当0≤x≤1时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求证：
（1001）10000.41000100
10．已知f（x）=
ax2+bx
，g（x）=2lnx，曲线y=f（x）在点（1，f
（1））处的切线方程为2x-y-2=0．
（1）求a，b的值；
（2）若当x≥1时，g（x）≤mf（x）恒成立，求m的取值范围；
（3）已知
=1.732，试估算ln4的近似值（精确到0.01）
3
2
（2）当a≥1时，∀x∈[0，+∞），证明不等式xeax+xcosx+1≥（1+sinx）2恒成立．
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