实验数据的处理.docx

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实验数据的处理

实验数据的处理

在做完实验后，我们需要对实验中测量的数据进行计算、分析和整理，进行去粗取精，去伪存真的工作，从中得到最终的结论和找出实验的规律，这一过程称为数据处理。

实验数据处理是实验工作中一个不可缺少的部分，下面介绍实验数据处理常用的几种方法。

一、列表法

列表法就是将实验中测量的数据、计算过程数据和最终结果等以一定的形式和顺序列成表格。

列表法的优点是结构紧凑、条目清晰，可以简明地表示出有关物理量之间的对应关系，便于分析

比较、便于随时检查错误，易于寻找物理量之间的相互关系和变化规律。

同时数据列表也是图示法、解析法的数值基础。

列表的要求：

1、简单明了，便于看出有关量之间的关系，便于处理数据。

2、必须注明表中各符号所代表的物理量、单位。

3、表中记录的数据必须忠实于原始测量结果、符合有关的标准和规则。

应正确地反映测量值的有效位数，尤其不允许忘记未位为“0”的有效数字。

4、在表的上方应当写出表的内容（即表名）

二、图示法

图示法就是在专用的坐标纸上将实验数据之间的对应关系描绘成图线。

通过图线可直观、形象地将物理量之间的对应关系清楚地表示出来，它最能反映这些物理量之间的变化规律。

而且图

线具有完整连续性，通过内插、外延等方法可以找出它们之间对应的函数关系，求得经验公式，探

求物理量之间的变化规律；通过作图还可以帮助我们发现测量中的失误、不足与“坏值”，指导进一步的实验和测量。

定量的图线一般都是工程师和科学工作者最感兴趣的实验结果表达形式之

函数图像可以直接由函数（图示）记录仪或示波器（加上摄影记录）或计算机屏幕（打印机）画出。

但在物理教学实验中，更多的是由列表所得的数值在坐标纸上画成。

为了保证实验的图线达到“直观、简明、清晰、方便”，而且准确度符合原始数据，由列表转而画成图线时，应遵从如下的步骤及要求：

1、图纸选择

依据物理量变化的特点和参数，先确定选用合适的坐标纸，如直角坐标纸、双对数坐标纸、

单对数坐标纸、极坐标纸或其他坐标纸等。

原则上数据中的可靠数字在图中也应可靠，数据中的可疑位在图中应是估计的，使从图中读到的有效数字位数与测量的读数相当。

例如：

作电阻R（C）与温度T（C）的图时，可以选用直角坐标纸或单对数坐标纸作图。

选择何种坐标纸要看需要，若

・3套园电北的蠲信数黑禽后敷鼻的鹿忖报合

图）5曲线的外延与内插

要求从任一温度值得到对应的电阻值；或某点的电阻温度系数，

则用直角坐标纸较为合适；若要计算半导体热敏电阻Rt=加，中的常数A和B,则用单对数坐标纸较为合适。

2、定标与分度

合理选轴，正确分度，是一张图做得好坏的关键，在习惯上常将自变量作横坐标轴（X轴），因变量作纵坐标轴（Y轴）。

在两个变化的物理量中，究竟谁为自变量或因变量，应根据实验

方法和数据特性来判断。

例如在上例中，我们可取温度T为X轴,电阻R为Y轴。

当坐标轴确定后，应当注明该轴所代表的物理量

名称的单位，还要在轴上均匀地标明该物理量的坐标分度，在标注坐标分度时应注意:

（1）分度应使每个点的坐标值都能迅速方便地读出。

一般用一大格（1cmj）代表1、2、5、10

个单位，因为这样不仅标点和读数都比较方便，而且也不容易出错。

（2）坐标的分度不一定从零开始，可以用低于原始数据最小值的某一个整数作为坐标分度的起点，用高于测量数据的最大值的某一整数作为终点，两轴的比例也不同。

这样，图线尺可充满所

选用的图纸。

3、描点

根据数表列的测量值，在坐标系内用削细的铅笔逐个描上“黑”或其他准确清晰的标志。

若在同一张图上要标志几条不同的曲线，为区别不同的函数关系的点，可以用不同的符号作出标记，如用“。

”、“+”……等等，以示区别，并在适当的位置上注明各符号代表的意义。

注意，在描点时，交叉或中心点应是数据的最佳值。

4、联线

依照数据点体现的函数关系的总规律和测量要求，确定用何种曲线。

若校准电表，采用折线联接每个测量点，而在大多数情况下，物理量在某一范围内连续变化，故采用光滑的直线或曲线。

该

曲线应尽可能通过或接近大多数测量数据点，并使数据点尽可能均匀对称地分布在曲线的两侧。

对于个别大于3。

的“错值”或“坏值”可以舍去。

5、曲线的内插与外延

在有经验、有把握的情况下，可以将实验所得的图线向着本次实验数据范围以外的区域（按原有的规律）延伸并且用虚线画出，以区别范围内的图线。

如图2-5所示。

值得注意的是实验图线不能随意延伸，不能认为在某范围内得到的规律就可以通用于另一范围。

例如金属的电阻，温度关系在极低温度和高温下并不是线性的，因此不能把室温下测量的结果

任意延伸到极低温和高温区域。

任意延伸不但有风险，而且这样做的本身也是一种不实事求是的态度。

6、坐标变换

某些函数关系是非线性的，不仅曲线不易画准确，而且也难以从曲线上得到物理量之间的函数关系。

若能通过坐标变换，使曲线变成直线，既降低了作图的难度，更重要的是便于寻找物理量之间的函数关系，获得经验公式。

还以半导体的温度曲线为例，将Y轴RT（Q）变化为lnR（G）,将X轴的T（C）变换为T-1（K1）作图，lnR

如图2-6所示

图2-6a热敏电阻的舟（Q）~T曲线

§M

1000

5O&

刘黛却穿咖带

图2-6a粉酸色限的Rt〜T曲线

0W4电Ml4

VTiK'）

图2-比熬触电阻的InJMGAr】很叫曲线

7、标写图名

在图的下方书写上完整的图名，一般是将纵坐标所代表的物理量写在前面，横轴所代表的物理量写在后面。

必要时，还应在图的下方或其他空白处，注明实验条件或其它相关内容，作出简要

的说明。

三、图解法

利用图示法得到物理量之间的关系图线，采用解析方法得到与图线所对应的函数关系一一经验公式的方法称为图解法。

在物理实验中，经常遇到的图线是直线、抛物线、双曲线、指数曲线和对数曲线等，下面我们对以上各种情况分别进行讨论。

1.直线方程

设直线方程"州+&,在直角坐标纸上Y轴为纵轴，则a为此直线的斜率，b为直线的Y轴上的截距。

要建立经验公式，则需求出a和b。

（1）求斜率a：

首先在画好的直线上任取两点，但不要相距太近，一般取靠近直线的两端R

（xi,yi）,P（X2,y*其x坐标最好取整数。

于是得出

-一百

（19）

（2）求截距b：

如果x轴的零点刚好在坐标原点，则可直接从图线上读取截距b=y;否则可

将直线上选出的点（如xi,y2）和斜率a代入方程，求得

（20）

2.非直线方程要想直接建立非直线方程的经验公式，往往是困难的。

但是，直线是我们可以最精确绘制出

的图线，这样就可以用变量替换法把非直线方程改为直线方程，再利用建立直线方程的办法来求

解，求出未知常量，最后将确定了的求知常量代入原函数关系式中，即可得到非直线函数的经验公

式。

（见表2-3）

表2-3常见的非线性函数变换为线性关系表

原函数关系

变换后的函数关系

方程式

求知常量

方程式

斜率

截距

logy=咕k+hg0

r占「

loga

五一丁二也

a

1

#二Q—X

0

y-四一”

覆力

Iny=-ix+ln口

-b

Ina

off

kgy=a

kgb

log疯

四、最小二乘法

用图解法固然可以求出经验公式，表示出相应的物理规律，但是这种方法求出的有关常数比较粗略，图表的表示往往不如用函数表示更准确，因此，人们希望从实验数据出发通过计算求出经

验方程，这称为方程的回归问题。

下面介绍一种处理数据的方法一一最小二乘法。

1、方程的回归

方程的回归，首先要确定函数形式。

一般可以根据理论的推断或从实验数据的变化趋势来判断。

例如：

根据数据推断出测量数据X与Y为线性的函数关系，则可将其函数关系写成下列形式：

Y=a+bX（a,b为待定系数）

若推断测量数据的函数形式为指数函数关系，则可写

y二犯”+1（a,b,c为待定系数）

若测量数据的函数关系不明确，则常用多项式来拟合，即

y=%&2r+…+

（21）

式中ai,a2,a3,…an均为待定系数。

方程回归的第二步就是要用测定的实验数据来确定上述方程中的选定常数。

第三步就是在选定系数确定之后，还必须验证所得的结果是否合理，否则，需用其他的函数关系重新试探，只到合

理为止。

2、一元线性回归（又称直线拟合）

一元线性回归是方程回归中最简单和基本的问题，在一元线性回归中确定a和b,相当于在作图法中求直线的截距和斜率。

假设测量值符合直线方程。

Y=a+bX

（22）

则所测各y值与拟合直线上相应的点入=@+6%之间偏离的平方和为最小（即言!

最小），故称为最小二乘法。

s二工点二ZS-n-胡）'彳二1"./

2-11-L

（23）

凳QasC3%曲流s.

乙6—=0,—=0,—S->0和—y>o

为求仁最小值，应使班弗抵费2

8Sda工db=

把公式（23）分别对a和b求偏微分得

--2£9-口-%）=。

j_i

（24）

-2力3-金-烟）止。

i-l

-&=o£大四r£&-b£w=。

即Lj-1uli-1

（25）

为»

.二-神二Z&J-即=Z1M，工10I

令工表示x的平均值，即：

3」表示y的平均值，即U1表示X2的平均值，即,

怨__«

疵‘二工工：

寸片超二N再M

z表示xy的平均值，即：

i-1,代入公式（25）

Jy-a-hx=0

徨\xy-ax-bx2=0.

解方程得

a=y-bx

y

（27）

式中a和b分别为直线的截距和斜率。

为了判断拟合的结果是否合理，在求出待定系数后，还需要计算一下相关系数r。

对于一元线性回归，r的定义为：

孙一了1了

\辰—-）官-丁）

（28）

r值在0和1之间，r值越接近1,说明实验数据点x和y的线性关系越好，用线性函数回归是合适的。

可以证明，斜率的标准差为:

（29）

截距的标准偏差为:

（30）

对于指数函数、对数函数、幕函数的最小二乘法拟合，可以通过变量代换，变换成线性关系，

再进行拟合。

也可以用计算器进行相关的回归计算，直接求解实验方程。

现在市场上有很多函数

计算器具有多种函数的回归功能，操作方便。

对更复杂一些的函数，可以自编程序或采用计算机作图软件来进行拟合。

五、逐差法

当自变量等间隔变化，而两物理量之间呈线性关系时，我们除了采用图解法、最小二乘法以外，还可采用逐差法。

比如弹性模量测量中，在金属丝弹性限度内，每次加载质量相等的整码，测得光杠杆尺读数m；然后再逐次减整码，对应地测量标尺读数r1,取ri和r）的平均值;。

若求每加（减）

一个整码引起读数变化的平均值为匕,则有

号施力驷ece……J

（31）

从上式看到，只有首末两次读数对结果有贡献，失去了多次测量的好处。

这两次读数误差对测量结果的准确度有很大影响。

为了避免这种情况，平等地运用各次测量值，可把它们按顺序分成相等数量的两组（ri,…％）

和（rp+i,…，5）,取两组对应项之差:

%二年六广口）、J=H…，P，再求平均，即

吟扑我《）+-•+向外

（32）

相应地，它们对应整码质量为5F+J-=阜，…邛。

这样处理保了多次测量的优越性。

注意：

逐差法求自变量等间隔变化而函数关系为线性。

例如：

弹性模量实验数据如表2-4所示。

表2-4负载与标尺刻度变化之间的关系

i

i

2

3

4

5

6

7

8

0.00

0.500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

3.500

r.1mm

90.0

101.5

112.5

124.5

135.3

146.0

158.0

170.0

r'lmm

88.4

100.0

111.0

122.8

134.0

147.6

158.4

170.0

r.1mm

89.2

100.8

111.8

123.4

134.6

146.8

158.2

170.0

0=（加-彳）/用巾

45.4

46.0

46.4

46.6

叫=（而9-m^lmm

2.000

2.000

2.000

2.000

已知整码质量%=05°°-°。

的曜。

标尺刻度不确定度为小=±03mrn。

求标尺读数与整码质量之间的线性比例系数a

解：

将8个数据分成两组，j=1,2,3,4,

f=L

由上表数据知

m=2.000kg.Fj=61小/q（]）=153加

吨）0.53

%i（i）=4能-r=~-12义一^济僧=0一32加赭!

J月J4

以从F）二2==0.

c3

/0）=4（弓）+媪（『）=（0323+0,12）=0.1\mm

竺二郎上00017上

C3

a=—=23,05）tg/mm啊

/；（b）+4（r）^（^）_（0.322+0.12）20.00173

（商46?

2^~

二空必+幽空二6%尸

（46.1）24

空色二0.0025,4=0.0025x2305=006加/幽喀

7=（23,05+0.0Wm,产=068

六、实验结果正确表达

表征一个物理量的三要素：

有效数值、不确定度、单位

（1）测量结果有效位数由不确定度决定

（2）实验结果一般用不确定度或相对不确定度来表示测量的精度。

（最好两种表达式都给出）

（3）实验结果和单位一般采用国际单位制。

根据所有的置信概率，测量结果的最终表达式为：

y二让场（单位）

或y二灭i±4）（单

位）（33）

式中，》为实验结果的平均值。

一般情况下P取0.683,■可减写为U；工程技术上常取置

信度P=0.955,U一般取1位（特殊情况可以取2位），实验结果的平均值y的最后一位与不确定

度的最后一位对齐。

相对不确定度4取一位或两位有效数字，用百分数来表式。

式中y,

对于等精度多次测量的合成，y=y,是测量结果的算术平均值，必要时也可以与公认标准值、或理论值进行比较。

对于均为单次测量的合成，公式可写为：

Y二》土力（单位）

Uy--

其相对不确定度为'y,y是测量值，此时U=若待测物理量有公认标准、或理论值,分母上的y可取公认标准值Y标、或理论值Y理，此时“二%一%或者。

二%—.I。

表示测量值与公认标准值Y标、或理论值Y理比较，其相对不确定度的大小。

［练习题］

（1）请回答测量数据与数字的区别是什么？

（2）在物理实验中为何要计算不确定度？

其意义何在？

（3）何为A类标准不确定度？

何为B类不确定度？

两类不确定度有什么关系？

（4）计算下列间接测量的标准不确定度和相对不确定度。

a）单摆的长度：

Ej+百，其中:

4=7Q.QQ±Qg/d=LQQ2±0.Q04c-

九F

Er=-^=3.168±0.03^

b）球的体积：

6

£卫

c）弹性模量：

加泌

d）金属线的长度：

£=%（1+沉）

其中，a为线膨胀系数，测量数据如表2-5所示，试用逐差法、作图法和线性回归法求出a值,并分析其不确定度。

表2-5金属线的长度与温度的关系

T/C

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

35.0

40.0

45.0|

L/mm

1003

1005

1008

1010

1014

1016

1018

1021

（5）指出以下各实验只有几位有效数字，其相对不确定度有多大？

a）真空中的光速e二（299792500±10>/s

b）单摆的周期7二。

896土0.006）s

c）阿傅加德罗数N=（6002169±40）xl0加/千克分子

（6）请回答有效数字与不确定度的关系，以及有效数字的取舍规则。

（7）下列测量结果的表达式是否正确？

若有错请更正，并说明理由。

a）用秒表测量单摆的周期为T=（178±0&）

b）用测距仪测量某段公路的长度为L=12bn±lOOcffi

c）用磅秤测出某磁铁的质量为/=（2.796x10?

±0.4渥

d）用万用表测出电阻上的电压为『=（8,96±1,亚

e）用声速测定仪测出空气中的声速为v^=341.61（1±0,2%>/s

f）用温度计测出室温Tr-22°C士。

了C