导数文科大题含详细答案精编版doc.docx
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导数文科大题含详细答案精编版doc
导数文科大题
1.知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围.
答案
解析
1
2.已知,
（1）若,求函数在
点处的切线方程;
（2）若函数在上是增函数,求实数a
的取值范围;（3）令,是自然对数的底数）;求当实
数a等于多少时,可以使函数取得最小值为3.
解:
（1）时,,
′（x）,
′
（1）=3,,
数在点处的切线方程为,
2
（2）函数在上是增函数,
′（x）,在上恒成立,
即,在上恒成立,
令,当且仅当时,取等号,
的取值范围为
（3）,
′（x）,
①当时,在上单调递减,,计算得
出（舍去）;
②当且时,即,在上单调递减,在上单
调递增,
计算得出,满足条件;
③当,且时,即,在上单调递
减,,计算得出（舍去）;
综上,存在实数,使得当时,有最小值3.
3
解析
（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程.
（2）函数在上是增函数,得到f′（x）,在上恒
成立,分离参数,根据基本不等式求出答案,
（3）,求出函数的导数,讨论,,的情况,
从而得出答案
3.
已知函数
（1）
分别求函数
与
在区间
上的极值;
（2）
求证:
对任意
解:
（1）,
令,计算得出:
,计算得出:
或
故在和上单调递减,
在上递增,
在上有极小值,无极大值;
,则,
故在上递增,在上递减,
在上有极大值,,无极小值;
（2）由
（1）知,当时,,,
4
故;
当时,,
令,则,
故在上递增,在上递减,
;
综上,对任意,
解析
（1）求导,利用导数与函数的单调性及极值关系,即可求得及
单调区间及极值;
4.已知函数,其中,为自然
数的底数.
（1）当时,讨论函数的单调性;
（2）当时,求证:
对任意的,.
解:
（1）当时,,
则,
故则在R上单调递减.
（2）当时,,要证明对任意的,.
则只需要证明对任意的,.
设,
看作以a为变量的一次函数,要使,
5
则,即,
恒成立,①恒成立,
对于②,令,则,
设时,,即.
,
在上,,单调递增,在上,,
单调递减,
则当时,函数取得最大值
故④式成立,综上对任意的,.
解析:
（1）求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可.
（2）
对任意的
转化为证明对任意的
即可,构造函数,求函数的导数,利用导
数进行研究即可.
5.
已知函数
（1）
当
时,求函数
在
处的切线方程;
（2）
求
在区间
上的最小值.
6
解:
（1）设切线的斜率为k.
因为,所以,
所以,
所以所求的切线方程为,即
（2）根据题意得,令,可得
①若,则,
当时,,则在上单调递增.
所以
②若,则,当时,,则在上单调递
减.所以
③若,则,
所以,随x的变化情况如下表:
x
1
2
0
-
0
+
0
-e
Φ
极小值
Γ
0
所以的单调递减区间为,单调递增区间为
所以在上的最小值为
综上所述:
当时,;
当时,;
当时,
7
解析
（1）设切线的斜率为k.利用导数求出斜率,切点坐标,然后求出切线方
程.
（2）通过,可得.通过①,②,③
判断函数的单调性求出函数的最值.
6.已知函数。
（I）求f（x）的单调区间；
（II）若对任意x∈［1，e］，使得g（x）≥－x2＋（a＋2）x恒成立，求实数
a的取值范围；（III）设F（x）＝，曲线y＝F（x）上是否总存
在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为钝角柄点的钝角三角开，且最长边的中点在y轴上？
请说明理由。
解：
（Ⅰ）∵
∴当、时，在区间、上单调
递减.
当时，在区间上单调递增.3分
（Ⅱ）由，得．
∵，且等号不能同时取得，∴，
∵对任意，使得恒成立，
∴对恒成立，即．（）
令，求导得，，5分
∵，
∴在上为增函数，，．7分
8
（Ⅲ）由条件，
，
假设曲线
上总存在两点
满足：
是以
为钝角顶点的钝角
三角形，且最长边的中点在
轴上，则
只能在
轴两侧.
不妨设
，则
．
∴
，
（※），
是否存在
两点满足条件就等价于不等式（※）在
时是否有
解．9分
①
若
时，
，化简得
，
对
此不等式恒成立，故总存在符合要求的两点
P、
Q；
11分
②
若
时，（※）不等式化为
，若
此不等
式显然对
恒成立，故总存在符合要求的两点
P、Q；
若a>0时，有（），
设，则，
显然，当时，，即在上为增函数，
的值域为，即，
当时，不等式（）总有解．故对总存在符合要求的两点P、
Q.13分
综上所述，曲线上总存在两点，使得是以为钝角顶
点的钝角三角形，且最长边的中点在轴上.14分
9
7.已知函数为常数）.（Ⅰ）若a=-2,求函数f（x）的单调
区间；（Ⅱ）若当时,恒成立,求实数a的取值范
围.
解：
（Ⅰ）a=-2时,
；
时,
时,f'（x）>0,
函数f（x）的单调递减区间是（0,1],单调递增区间为
（Ⅱ）由已知条件得：
；
且等号不能同时取；
令
；
10
在[1,e]上为增函数；
在[1,e]上的最大值为：
；
的取值范围为：
8.已知函数
（1）若,试判断在定义域内的单调性;
（2）若在上恒成立,求a的取值范围.
解:
（1）函数,
函数的定义域为,函数的导数,
当,,此时函数单调递增.
（2）若在上恒成立,即在上恒成立,
即,令,只要求得的最大值即可,
,
,
即在上单调递减,
9.已知函数
（1）若
试判断
在定义域内的单调性;
（2）若
在
上恒成立,求a的取值范围.
答案详解
11
解:
（1）函数,
函数的定义域为,
函数的导数,
当,,此时函数单调递增.
（2）若在上恒成立,
即在上恒成立,
即,
令,只要求得的最大值即可,
,
,
即在上单调递减,
10.设函数
（Ⅰ）若函数在上单调递增,求实数a的取值范围;
（Ⅱ）当时,求函数在上的最大值.
答案
解:
（Ⅰ）的导数为,
函数在上单调递增,
即有在上恒成立,
则在上恒成立.
12
因为,
则,计算得出;
（Ⅱ）,
当时,,,;
,;
,
令,
,,,
即,
单调递减,单调递增,
,
当时,
函数在上的最大值为.
解析
13
（Ⅰ）求出函数的导数,根据题意可得
在
上恒成立,则
在
上恒成立.运用指数函数的单调性
即可得到a的取值范
围;
（Ⅱ）求出导函数
判断出在
单调递减,
单
调递增,判断求出最值.
11.本小题满分12分）已知函数
。
（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
（2）当
时，
恒成立，求
的取值范围。
答案详解
（1）当
时，
，则
，即切点为
，
因为
，则
，故曲线
在
处的切线方程
为：
，即
。
......4
分
（2）
，求导得：
，
......5
分
令
，
（
）；
①当
，即
时，
，所以
在
上为增函
数，所以
在
上满足
，故当
时符合题
意；
......8分
②当
，即
时，令
，得
，
当时，，即，所以在为减函
数，所以，与题意条件矛盾，故舍去。
......11分
综上，的取值范围是。
......12分
14
解析:
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（1）将代入，求出得到切点坐标，求出得切线斜率，即可
得切线方程；
（2）根据题意对的取值范围进行分讨论，利用导数来研究函数的单调性，
进而判断与的关系，便可得出的取值范围。
12.已知函数
，
是
的导函数（为自然对数的底数）
（Ⅰ）解关于
的不等式：
；
（Ⅱ）若
有两个极值点
，求实数的取值范围。
答案（Ⅰ）
，
。
当
时，无解；当
时，解集为
；
当
时，解集为
。
（Ⅱ）若
有两个极值点
，则
是方程
的两个根。
，显然
，得：
。
令
，
。
若时，
单调递减且
；
若
时，当
时，
在
上递减；
当
时，
，
在
上递增。
。
要使
有两个极值点，需满足
在
上有两个不同解，得
，
即
。
解析本题主要考查利用导函数求解函数问题。
（Ⅰ）原不等式等价于
，分
，
，和
讨论可得；
（Ⅱ）设
，则
是方程
的两个根，求导数可得
，若
15
时，不合题意，若时，求导数可得单调区间，进而可得最大值，可得关于的不等式，解之可得。
13.已知函数,.
（Ⅰ）如果函数在上是单调增函数,求a的取值范围;
（Ⅱ）是否存在实数,使得方程在区间内
有且只有两个不相等的实数根?
若存在,请求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:
（Ⅰ）当时,在上是单调增函数,符合题意.
当时,的对称轴方程为,
因为在上是单调增函数,
所以,计算得出或,所以.
当时,不符合题意.综上,a的取值范围是.
（Ⅱ）把方程整理为
即为方程.
设,
原方程在区间内有且只有两个不相等的实数根,
即为函数在区间内有且只有两个零点
16
令,因为,计算得出或（舍）
当时,,是减函数;
当时,,是增函数.
在内有且只有两个不相等的零点,
只需即
计算得出,
所以a的取值范围是.
解析:
（1）因为函数的解析式中含有参数a,故我们要对a进行分类讨论,注意
到a出现在二次项系数的位置,故可以分,,三种情况,最
后将三种情况得到的结论综合即可得到答案.
（2）方程整理为构造函数
则原方程在区间内有且只有两个
不相等的实数根即为函数在区间内有且只有两个零点,根据函
数零点存在定理,结合函数的单调性,构造不等式组,解不等式组即可得到结
论.
17
14.设函数
（1）若,求函数的单调区
间.
（2）若曲线在点处与直线相切,求a,b的值.
解:
（1）当时,,,
令,则或;
则
函数的单调递增区间为和,递减区间为
（2）,
曲线在点处与直线相切,
即解之,得,.
解析
（1）当时,求出的导函数,令,得出函数的单
调增区间,反之得出单调减区间;
（2）求出函数的导函数,得出,求出a和b.
15.
18
19
16.已知函数
，且
.
（1）若
在
处取得极小值
，求函数
的单调区间；
（2）令
，若
的解集为，且满足
，
求的取值范围。
答案：
，F'（-1）=0
则a-2b+c=0;
（1）若F（x）在x=1处取得最小值-2，则F'
（1）=0，a+2b+c=0，则b=0,c=-a。
F
（1）=-2，，则a=3,c=-3。
，x∈（-∞，-1）时，F'（x）>0，函数F（x）单调递增；
x∈（-1，1）时，F'（x）<0，函数F（x）单调递减;x∈（1，∞）时，F'（x）>0，函数F（x）单调递增。
（2）令，，
20
，则，即，得即
17.
18.设直线是曲线的一条切线，
．
（1）求切点坐标及的值；
（2）当时，存在，求实数的取值范围．
答案
21
（1）解：
设直线与曲线相切于点，
解得或,
当时，，在曲线上，∴,
当时，，在曲线上，∴,
切点，，
切点，．
（2）解法一：
∵，∴，设，若存
在，则只要，
，（ⅰ）若即，令，得
，，∴在上是增函数，令
，解得，在上是减函数，
，,解得，
（ⅱ）若即，令，解得，，∴
在上是增函数，，不等式无解，不存在，
综合（ⅰ）（ⅱ）得，实数的取值范围为．
解法二：
由得,（ⅰ）当时，，
设若存在，则只要，8
分，令解得在上是增函数，
22
令，解得在上是减函数，，
，
（ⅱ）当时，不等式不成立，∴不存在，
综合（ⅰ）（ⅱ）得，实数的取值范围为．
19.已知函数在点处的切线与直线平
行.
（1）求的值；
（2）若函数在区间上不单调，求实
数的取值范围；（3）求证：
对任意时，
恒成立.
答案
23
20.已知函数,
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程;
（Ⅱ）若方程有唯一解,试求实数a的取值范围.
答案
解:
（Ⅰ）,又,
可得切线的斜率,
24
切线方程为,即;
（Ⅱ）方程有唯一解有唯一解,
设,
根据题意可得,当时,函数与的图象有唯一的交点.
令,得,或,在上为增函数,
在、上为减函数,
故,,
如图可得,或
解析（Ⅰ）求得函数的导数,可得切线的斜率和切点,由点斜式方程,可得
所求切线的方程;
（Ⅱ）方程有唯一解有唯一解,设
求得导数和单调区间、极值,作出图象,求出直线
和的图象的一个交点的情况,即可得到所求a的范围.
21.已知函数（Ⅰ）讨论的单调性
（Ⅱ）若时,都成立,求a的取值范围.
解:
（Ⅰ）函数的定义域为,函数的的导数,
当时,,此时函数单调递增,
25
当时,,
由,计算得出,由,计算得出,
函数在上增函数,则是减函数.
（Ⅱ）令,
当,即时,
x
+0-
↗极大值↘
计算得出
;
（2）当即时,在上无最大值,故不可能恒小于
0,故不成立.
综上所述a的取值范围为.
解析（Ⅰ）求函数的导数,即可讨论函数的单调性;
（Ⅱ）令,利用导数求得函数
的最大值为,只要有即可求得结论.
26
22.已知函数
（1）若曲线
在点
处的切线斜率为
求函数
的
单调区间;
（2）若关于x的不等式
有且仅有两个整数
解,求实数m的取值范围.
解:
（1）函数
的导数为:
f′（x）
可得
在点
处的切线斜率为f′
（1）
计算得出
即有
的导数为f′（x）
由f′（x）
可得
或
;由f′（x）可得
可得
的单调增区间
;单调减区间为
;
（2）关于x的不等式
即为
①
对于
当
时,
当
时,
①即为
令
g′（x）
令
h′（x）
又
在R上递增,
可得
使得
则
在
递增,在
递减,
在
处取得极大值,又
则关于x的不等式
有且仅有两个整数解,
27
只需有且仅有两个整数解,
则,计算得出
解析
（1）求出的导数,可得切线的斜率,解方程可得,进而由导数
大于0,得增区间;导数小于0,得减区间;
（2）根据题意可得即为,讨论x的
符号,确定,即有
令,求出导数,再令令
求得导数,判断单调性和极值点,求得的单调区间,
可得极值,结合条件可得不等式组,解不等式可得m的范围.
23.知函数
（1）若,则当时,讨论单调性;
（2）若,,且当时,不等式在区
间上有解,求实数a的取值范围.
解:
（1）,,
28
令,得,
当时,,函数在定义域内单调递减
当时,在区间,
在区间上单调递增,
当时,在区间上,单调递减,
在区间上,单调递增;
（2）根据题意知,当时,在上的最大值,
当时,,
则
①当时,,
故在上单调递增,
②当时时,设的两根分别
为:
则故在上单调递增,,
综上,当时,在上单调递增,
29
所以实数a的取值范围是
解析
（1）求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可;
（2）求出的导数,通过讨论a的范围求出的最大值是,求出a
的范围即可.
30
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