导数文科大题含详细答案精编版doc.docx

1、导数文科大题含详细答案精编版doc导数文科大题1.知函数 ， .（ 1）求函数 的单调区间；（ 2）若关于 的方程 有实数根，求实数 的取值范围 .答案解析12. 已知 , (1)若 ,求函数 在点 处的切线方程 ; (2) 若函数 在 上是增函数 ,求实数 a的取值范围 ; (3) 令 , 是自然对数的底数 );求当实数 a 等于多少时 ,可以使函数 取得最小值为 3.解:(1) 时, , (x) , (1)=3, ,数 在点 处的切线方程为 ,2(2)函数 在 上是增函数 , (x) ,在 上恒成立 ,即 ,在 上恒成立 ,令 ,当且仅当 时 ,取等号 ,的取值范围为(3) , (x) ,

2、当 时 , 在 上单调递减 , ,计算得出 (舍去 );当 且 时,即 , 在 上单调递减 ,在 上单调递增 ,计算得出 ,满足条件 ;当 ,且 时,即 , 在 上单调递减 , ,计算得出 (舍去 );综上 ,存在实数 ,使得当 时, 有最小值 3.3解析 (1) 根据导数的几何意义即可求出切线方程 .(2)函数 在 上是增函数 ,得到 f (x) ,在 上恒成立 ,分离参数 ,根据基本不等式求出答案 ,(3) ,求出函数的导数 ,讨论 , , 的情况 ,从而得出答案3.已知函数,(1)分别求函数与在区间上的极值 ;(2)求证 :对任意,解 :(1) ,令 ,计算得出 : , ,计算得出 :

3、或,故 在 和 上单调递减 ,在 上递增 ,在 上有极小值 ,无极大值 ;, ,则 ,故 在 上递增 ,在 上递减 ,在 上有极大值 , ,无极小值 ;(2)由(1)知,当 时, , ,4故 ;当 时 , ,令 ,则 ,故 在 上递增 ,在 上递减 , ;综上 ,对任意 ,解析 (1) 求导 ,利用导数与函数的单调性及极值关系 ,即可求得 及单调区间及极值 ;4. 已知函数 ,其中 , 为自然数的底数 .(1) 当 时 ,讨论函数 的单调性 ;(2)当 时,求证 :对任意的 , .解:(1)当 时, ,则 ,故 则 在R上单调递减 .(2)当 时, ,要证明对任意的 , .则只需要证明对任意的

4、 , .设 ,看作以 a 为变量的一次函数 ,要使 ,5则 ,即 ,恒成立 , 恒成立 ,对于 ,令 ,则 ,设 时, ,即 ., ,在 上, , 单调递增 ,在 上, ,单调递减 ,则当 时,函数 取得最大值,故式成立 ,综上对任意的 , .解析 :(1) 求函数的导数 ,利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可 .(2)对任意的,转化为证明对任意的,即可 ,构造函数 ,求函数的导数 ,利用导数进行研究即可 .5.已知函数(1)当时,求函数在处的切线方程 ;(2)求在区间上的最小值 .6解 :(1) 设切线的斜率为 k.因为 ,所以 ,所以 ,所以所求的切线方程为 ,即(2)根据题意得 ,

5、 令 ,可得若 ,则 ,当 时, ,则 在 上单调递增 .所以若 ,则 ,当 时, ,则 在 上单调递减. 所以若 ,则 ,所以 , 随 x 的变化情况如下表 :x120-0+0-e极小值0所以 的单调递减区间为 ,单调递增区间为所以 在 上的最小值为综上所述 :当 时, ;当 时, ;当 时 ,7解析 (1) 设切线的斜率为 k.利用导数求出斜率 ,切点坐标 ,然后求出切线方程 .(2)通过 ,可得 .通过 , ,判断函数的单调性求出函数的最值 .6. 已知函数 。（I ）求 f(x) 的单调区间；（ II ）若对任意 x 1，e，使得 g(x) x2 （ a 2）x 恒成立，求实数a 的取

6、值范围；（ III ）设 F（ x） ，曲线 y F（ x）上是否总存在两点 P，Q，使得 POQ 是以 O（ O 为坐标原点）为钝角柄点的钝角三角开，且最长边的中点在 y 轴上？请说明理由。解：（）当 、 时， 在区间 、 上单调递减 .当 时， 在区间 上单调递增 . 3 分（）由 ，得 ，且等号不能同时取得， ，对任意 ，使得 恒成立， 对 恒成立，即 ( )令 ，求导得， ， 5 分 ， 在 上为增函数， ， 7 分8（）由条件，假设曲线上总存在两点满足：是以为钝角顶点的钝角三角形，且最长边的中点在轴上，则只能在轴两侧 .不妨设，则， （），是否存在两点满足条件就等价于不等式（）在时是

7、否有解 9 分若时，化简得，对此不等式恒成立，故总存在符合要求的两点P、Q；11 分若时，（）不等式化为，若,此不等式显然对恒成立，故总存在符合要求的两点P、 Q；若 a0 时，有 （），设 ，则 ，显然， 当 时， ，即 在 上为增函数，的值域为 ，即 ，当 时，不等式（）总有解故对 总存在符合要求的两点 P、Q. 13分综上所述，曲线 上总存在两点 ，使得 是以 为钝角顶点的钝角三角形， 且最长边的中点在 轴上 . 14 分97. 已知函数 为常数 ).()若 a=-2, 求函数 f(x) 的单调区间；( )若当 时 , 恒成立 ,求实数 a 的取值范围 .解： ()a=-2 时 ,；时,

8、时,f(x)0,函数 f(x) 的单调递减区间是 (0,1, 单调递增区间为()由已知条件得：；且等号不能同时取；令；10在 1,e 上为增函数；在 1,e 上的最大值为： ；的取值范围为：8. 已知函数 (1) 若 ,试判断 在定义域内的单调性 ;(2)若 在 上恒成立 ,求 a 的取值范围 .解 :(1) 函数 ,函数的定义域为 ,函数的导数 ,当 , ,此时函数单调递增 .(2)若 在 上恒成立 ,即 在 上恒成立 ,即 ,令 ,只要求得 的最大值即可 , , ,即 在 上单调递减 ,9.已知函数(1)若,试判断在定义域内的单调性 ;(2)若在上恒成立 ,求 a 的取值范围 .答案详解1

9、1解 :(1) 函数 ,函数的定义域为 ,函数的导数 ,当 , ,此时函数单调递增 .(2)若 在 上恒成立 ,即 在 上恒成立 ,即 ,令 ,只要求得 的最大值即可 , , ,即 在 上单调递减 ,10.设函数()若函数 在 上单调递增 ,求实数 a 的取值范围 ;()当 时 ,求函数 在 上的最大值 .答案解:() 的导数为 ,函数 在 上单调递增 ,即有 在 上恒成立 ,则 在 上恒成立 .12因为 ,则 ,计算得出 ;() ,当 时, , , ;, , ;, ,令 , , , ,即 ,单调递减 , 单调递增 , ,当 时,函数 在 上的最大值为 .解析13()求出函数的导数 ,根据题意

10、可得在上恒成立 ,则在上恒成立 .运用指数函数的单调性,即可得到 a 的取值范围 ;()求出导函数,判断出在单调递减 ,单调递增 ,判断求出最值 .11. 本小题满分 12 分）已知函数。（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，恒成立，求的取值范围。答案详解 （ 1）当时，则，即切点为，因为，则，故曲线在处的切线方程为：，即。.4分（ 2），求导得：，.5分令，（）；当，即时，所以在上为增函数，所以在上满足，故当时符合题意；.8 分当，即时，令，得，当 时， ，即 ，所以 在 为减函数，所以 ，与题意条件矛盾，故舍去。 .11 分综上， 的取值范围是 。 .12 分14解析 :本题主要

11、考查导数在研究函数中的应用。（ 1）将 代入，求出 得到切点坐标，求出 得切线斜率，即可得切线方程；（2）根据题意对 的取值范围进行分讨论， 利用导数来研究函数的单调性，进而判断与 的关系，便可得出 的取值范围。12. 已知函数，是的导函数（ 为自然对数的底数）（）解关于的不等式：；（）若有两个极值点，求实数 的取值范围。答案（），。当时，无解；当时，解集为；当时，解集为。（）若有两个极值点，则是方程的两个根。，显然，得：。令，。若时，单调递减且；若时，当时，,在上递减；当时，在上递增。要使有两个极值点，需满足在上有两个不同解，得，即。解析本题主要考查利用导函数求解函数问题。(）原不等式等价于

12、，分，和讨论可得；（）设，则是方程的两个根，求导数可得，若15时，不合题意，若 时，求导数可得单调区间，进而可得最大值，可得关于 的不等式，解之可得。13. 已知函数 , .()如果函数 在 上是单调增函数 ,求 a 的取值范围 ;()是否存在实数 ,使得方程 在区间 内有且只有两个不相等的实数根 ?若存在 ,请求出 a 的取值范围 ;若不存在 ,请说明理由 .解:()当 时, 在 上是单调增函数 ,符合题意 .当 时, 的对称轴方程为 ,因为 在 上是单调增函数 ,所以 ,计算得出 或 ,所以 .当 时,不符合题意 .综上 ,a 的取值范围是 .()把方程 整理为,即为方程 .设 ,原方程在

13、区间 内有且只有两个不相等的实数根 ,即为函数 在区间 内有且只有两个零点16令 ,因为 ,计算得出 或 (舍)当 时, , 是减函数 ;当 时, , 是增函数 .在 内有且只有两个不相等的零点 ,只需 即计算得出 ,所以 a 的取值范围是 .解析 :(1) 因为函数的解析式中含有参数 a, 故我们要对 a 进行分类讨论 ,注意到 a 出现在二次项系数的位置 ,故可以分 , , 三种情况 ,最后将三种情况得到的结论综合即可得到答案 .(2)方程 整理为 构造函数,则原方程在区间 内有且只有两个不相等的实数根即为函数 在区间 内有且只有两个零点 ,根据函数零点存在定理 ,结合函数的单调性 ,构造

14、不等式组 ,解不等式组即可得到结论 .1714. 设函数 (1) 若 ,求函数 的单调区间 . (2) 若曲线 在点 处与直线 相切 ,求 a,b 的值 .解:(1)当 时, , ,令 ,则 或 ;,则函数 的单调递增区间为 和 ,递减区间为(2) ,曲线 在点 处与直线 相切 ,即 解之,得 , .解析(1)当 时 ,求出 的导函数 ,令 ,得出函数 的单调增区间 ,反之得出单调减区间 ;(2)求出函数 的导函数 ,得出 ,求出 a 和 b.15.181916. 已知函数，且.（1）若在处取得极小值，求函数的单调区间；（2）令，若的解集为 ，且满足，求 的取值范围。答案：， F(-1)=0则

15、 a-2b+c=0;（1）若 F(x) 在 x=1 处取得最小值 -2 ，则 F(1)=0 ，a+2b+c=0 ，则 b=0,c=-a 。F(1)=-2 ， ，则 a=3,c=-3 。，x（ -， -1 ）时， F(x)0 ，函数 F(x) 单调递增；x（ -1 ， 1）时， F(x)0 ，函数 F(x) 单调递增。（2）令 ， ，20，则 ，即 ，得 即17.18. 设直线 是曲线 的一条切线，（1）求切点坐标及 的值；（2）当 时，存在 ，求实数 的取值范围答案21（1）解：设直线 与曲线 相切于点 ，, 解得 或 ,当 时， ， 在曲线 上， ,当 时， ， 在曲线 上， ,切点 ， ，

16、切点 ， (2) 解法一： ， ，设 ，若存在 ，则只要 ， ()若 即 ，令 ，得， ， 在 上是增函数，令，解得 ， 在 上是减函数， ,解得 ，()若 即 ，令 ，解得 ， ， 在 上是增函数， ，不等式无解， 不存在，综合（）（）得，实数 的取值范围为 解法二：由 得 , ()当 时， ，设 若存在 ，则只要 ， 8分 ，令 解得 在 上是增函数，22令 ，解得 在 上是减函数， ，（）当 时，不等式 不成立， 不存在，综合（）（）得，实数 的取值范围为 19. 已知函数 在点 处的切线与直线 平行 . （ 1）求 的值； （ 2）若函数 在区间 上不单调，求实数 的取值范围； （ 3

17、）求证：对任意 时，恒成立 .答案2320. 已知函数 ,()求曲线 在点 处的切线方程 ;()若方程 有唯一解 ,试求实数 a 的取值范围 .答案解:() ,又 ,可得切线的斜率 ,24切线方程为 ,即 ;()方程 有唯一解 有唯一解 ,设 ,根据题意可得 ,当 时 ,函数 与 的图象有唯一的交点 .,令 ,得 ,或 , 在 上为增函数 ,在 、 上为减函数 ,故 , ,如图可得 ,或解析 ( )求得函数 的导数 ,可得切线的斜率和切点 ,由点斜式方程 ,可得所求切线的方程 ;()方程 有唯一解 有唯一解 ,设,求得导数和单调区间、极值 ,作出图象 ,求出直线和 的图象的一个交点的情况 ,即

18、可得到所求 a 的范围 .21. 已知函数 ( )讨论 的单调性()若 时 , 都成立 ,求 a 的取值范围 .解 :()函数的定义域为 ,函数的 的导数 ,当 时, ,此时函数单调递增 ,25当 时, ,由 ,计算得出 ,由 ,计算得出 ,函数 在 上增函数 ,则 是减函数 .()令 ,当 ,即 时,x+ 0 - 极大值 ,计算得出;(2)当 即 时, 在 上无最大值 ,故不可能恒小于0,故 不成立 .综上所述 a 的取值范围为 .解析 ( )求函数的导数 ,即可讨论函数 的单调性 ;()令 ,利用导数求得函数的最大值为 ,只要有 即可求得结论 .2622.已知函数(1) 若曲线在点处的切线

19、斜率为,求函数的单调区间 ; (2) 若关于 x 的不等式有且仅有两个整数解 ,求实数 m 的取值范围 .解 :(1) 函数的导数为 :f (x),可得在点处的切线斜率为 f (1),计算得出,即有的导数为 f (x),由 f (x)可得或;由 f (x) 可得可得的单调增区间,;单调减区间为;(2)关于 x 的不等式即为,对于,当时,当时,即为,令,g (x),令,h (x),又,在R上递增,可得,使得,则在递增 ,在递减 ,在处取得极大值 ,又,则关于 x 的不等式有且仅有两个整数解 ,27只需 有且仅有两个整数解 ,则 ,计算得出解析 (1) 求出 的导数 ,可得切线的斜率 ,解方程可得

20、 ,进而由导数大于 0, 得增区间 ;导数小于 0,得减区间 ;(2)根据题意可得 即为 ,讨论 x 的符号 ,确定 ,即有,令 ,求出导数 ,再令令,求得导数 ,判断单调性和极值点 ,求得 的单调区间 ,可得极值 ,结合条件可得不等式组 ,解不等式可得 m 的范围 .23.知函数(1)若 ,则当 时 ,讨论 单调性 ;(2)若 , ,且当 时 ,不等式 在区间 上有解 ,求实数 a 的取值范围 .解:(1) , ,28令 ,得 ,当 时, ,函数 在定义域 内单调递减当 时,在区间 ,在区间 上单调递增 ,当 时,在区间 上 , 单调递减 ,在区间 上 , 单调递增;(2)根据题意知 ,当 时 , 在 上的最大值 ,当 时 , ,则当 时, ,故 在 上单调递增 ,当时 时 ,设 的两根分别为 : ,则 故 在 上单调递增, ,综上 ,当 时, 在 上单调递增 ,29,所以实数 a 的取值范围是解析 (1) 求出函数的导数 ,通过讨论 a 的范围 ,求出函数的单调区间即可 ;(2)求出 的导数 ,通过讨论 a 的范围求出 的最大值是 ,求出 a的范围即可 .30