四川省成都市石室中学学年高三上学期入学考数学文试题.docx
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四川省成都市石室中学学年高三上学期入学考数学文试题
四川省成都市石室中学2020-2021学年高三上学期入学考数学（文）试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．若复数满足，其中为虚数单位，则（）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则（）
A．B．C．D．
3．下列判断正确的是（）
A．命题“，”的否定是“，”
B．函数的最小值为2
C．“”是“”的充要条件
D．若，则向量与夹角为钝角
4．对于函数，下列结论不正确的是（）
A．在上单调递增B．图像关于y轴对称
C．最小正周期为D．值域为
5．在如图的程序框图中，若输入m=77，n=33，则输出的n的值是
A．3B．7
C．11D．33
6．已知函数，命题：
，，若为假命题，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
7．一个平面封闭图形的周长与面积之比为“周积率”，下图是由三个半圆构成的图形最大半圆的直径为6，若在最大的半圆内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为，则阴影部分图形的“周积率”为（）
A．2B．3C．4D．5
8．某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形，俯视图是圆，记该柱体的表面积为，其内切球的表面积为，且，则（）
A．1B．C．D．
9．如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，若，则的值是（）
A．B．2C．D．3
10．定义在R上的函数满足，且、有，若，实数a满足则a的最小值为（）
A．B．1C．D．2
11．在中，已知，，，D是边AC上一点，将沿BD折起，得到三棱锥．若该三棱锥的顶点A在底面BCD的射影M在线段BC上，设，则x的取值范围为（）
A．B．C．D．
12．设双曲线的左，右顶点为是双曲线上不同于的一点，设直线的斜率分别为，则当取得最小值时，双曲线C的离心率为（）
A．B．C．D．
二、填空题
13．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若甲的众数与乙的中位数相等，则图中________．
14．已知圆截y轴所得的弦长为，过点且斜率为k的直线l与圆C交于A、B两点，若，则________．
15．已知抛物线的一条弦AB经过焦点F，O为坐标原点，点M在线段OB上，且，点N在射线OA上，且，过M、N向抛物线的准线作垂线，垂足分别为C、D，则的最小值为________．
16．对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数.若是倍值函数，则实数的取值范围是________.
三、解答题
17．某高校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示．
组号
分组
频数
频率
第1组
5
0.050
第2组
n
0.350
第3组
30
p
第4组
20
0.200
第5组
10
0.100
合计
100
1.000
（1）求频率分布表中n，p的值，并估计该组数据的中位数（保留l位小数）；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（3）在
（2）的前提下，学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率．
18．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是等边三角形，四边形ABCD是矩形，，F为棱PA上一点，且，M为AD的中点，四棱锥的体积为．
（1）若，N是PB的中点，求证：
平面平面PCD；
（2）在（Ⅰ）的条件，求三棱锥的体积．
19．已知数列和满足，，，．
（1）证明：
是等比数列，是等差数列；
（2）设，求数列的前n项和．
20．已知椭圆上任意一点到其两个焦点，的距离之和等于，焦距为2c，圆，，是椭圆的左、右顶点，AB是圆O的任意一条直径，四边形面积的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，若直线与圆O相切，且与椭圆相交于M，N两点，直线与平行且与椭圆相切于P（O，P两点位于的同侧），求直线，距离d的取值范围．
21．已知函数
（1）若在上单调递减，求实数a的取值范围；
（2）当时，有两个零点，，且，求证：
．
22．在平面直角坐标系，曲线，曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）射线分别交，于，两点，求的最大值.
参考答案
1．A
【详解】
由，得，则，故选A.
2．B
【分析】
由二次不等式的解法可得：
，由指数函数的值域的求法可得：
，
再结合并集的运算可得：
，得解.
【详解】
解：
解不等式，解得，即，
又因为，所以，即，
即，
故选B.
【点睛】
本题考查了二次不等式的解法、指数函数的值域的求法及并集的运算，属基础题.
3．C
【解析】
【分析】
由全称命题的否定为特称命题可得：
命题的否定是“，”，选项A错误，
由在为增函数，即，即B错误；由根式方程的求法得“”是“”的充要条件，即C正确，由向量的夹角可得向量与夹角为钝角或平角，即D错误，得解.
【详解】
解：
对于选项A，命题“，”的否定是“，”，即A错误；
对于选项B，令，则，则，，
又在为增函数，即，即B错误；
对于选项C，由“”可得“”，
由“”可得，解得“”，
即“”是“”的充要条件，即C正确，
对于选项D，若，则向量与夹角为钝角或平角，即D错误，
故选C.
【点睛】
本题考查了全称命题的否定、均值不等式的应用、根式方程的求法及向量的夹角，属基础题.
4．C
【解析】
【分析】
由，求得，
再利用的性质即可得解.
【详解】
解：
因为
，
则函数是在上单调递增的偶函数，且值域为，周期为，
即选项正确，选项错误，
故选C.
【点睛】
本题考察了三角恒等变换及函数的性质，属基础题.
5．C
【解析】
这个过程是，，故所求的最大公约数是．
6．C
【分析】
为假命题，即不存在，使，根据这个条件得出实数的取值范围.
【详解】
解：
因为为假命题，
所以为真命题，即不存在，使，
故，且
解得：
或，
故选C.
【点睛】
本题考查了命题的否定，解题的关键是要将假命题转化为真命题，从而来解决问题.
7．B
【分析】
设两个小圆的半径分别为，不妨设，则，根据面积比的几何概型，列出方程求得，进而求得阴影部分的周长和面积，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，设两个小圆的半径分别为，不妨设，
因为大圆的半径为，则，
大圆的面积，
阴影部分的面积为，
又由在最大的半圆内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为，
可得，整理得，
解得，又由，所以，
所以阴影部分的周长为，
所以，故选B．
【点睛】
本题主要考查了新定义的应用，以及面积比几何概型的应用，其中解答中正确理解题意，列出方程求得两小圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
8．D
【分析】
由空间几何体的三视图可得此柱体为底面直径与高相等的圆柱，
设底面圆的半径为，则此柱体内切球的半径为，
由圆柱体表面积及球的表面积公式可得：
，，运算即可得解.
【详解】
解：
由已知可得：
此柱体为底面直径与高相等的圆柱，
设底面圆的半径为，则高为,
则，
又此柱体内切球的半径为，则，
则，
故选D.
【点睛】
本题考察了空间几何体的三视图、圆柱体表面积及球的表面积的运算，属中档题.
9．A
【解析】
【分析】
将,作为平面向量的一组基底，再利用平面向量基本定理可得
=,再由运算即可得解.
【详解】
解：
因为在中，D是BC的中点，E在边AB上，，
所以==
又，所以，
即,
故选A.
【点睛】
本题考察了平面向量基本定理，属中档题.
10．A
【分析】
由，则函数的图像关于直线对称，
由、有，即函数在为增函数，
又，则函数为偶函数，且在为增函数，
再由的性质得不等式，求解即可.
【详解】
解:
由函数满足，则函数的图像关于直线对称，
又、有，即函数在为增函数，
又，则函数为偶函数，且在为增函数，
又，
所以，
所以，即，
则a的最小值为，
故选A.
【点睛】
本题考查了函数图像的对称性及函数的单调性，再利用对称性及函数的单调性求解不等式，属中档题.
11．B
【分析】
在折叠前图1中，，垂足为，设图1中在线段上的射影为，当运动点与点无限接近时，折痕接近，此时与点无限接近，得到，在图2中，根据直角三角形的斜边大于直角边，得到，即可求解．
【详解】
由将沿BD折起，得到三棱锥，且在底面的射影在线段上，
如图2所示，平面，则，
在折叠前图1中，作，垂足为，
在图1中过作于点，当运动点与点无限接近时，折痕接近，此时与点无限接近，
在图2中，由于是直角的斜边，为直角边，所以，
由此可得,
因为中，，
由余弦定理可得,所以，
所以
由于，所以实数的取值范围是，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了平面图形的折叠问题，其中解答中由平面图形的折叠前和折叠后，根据运动点的位置和直角三角形的性质求解是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．
12．D
【分析】
设，可得，得到，代入已知条件，得到
，设，得到，利用导数求得函数单调性，得到时，函数取得最小值，即，再由离心率的公式，即可求解．
【详解】
由双曲线，则，
设，则，可得，
则，所以，
所以
，
设，则，
则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，
即当取得最小值时，，
所以双曲线的离心率为，故选D．
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用，以及利用导数求解函数的单调性与最值的应用，其中解答中根据双曲线的性质，得到关于的函数，利用导数求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．
13．4.
【分析】
根据茎叶图，求得甲组数据的众数是，乙组数据的中位数为，列出方程，即可求解．
【详解】
由题意，根据茎叶图可得，甲组数据的众数是，乙组数据的中位数为，
因为甲的众数与乙的中位数相等，所以，解得．
【点睛】
本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中熟记茎叶图的众数、中位数的概念和计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
14．
【分析】
由圆中弦长的运算可得：
，
由点到直线的距离公式可得：
，运算可得解.
【详解】
解：
由题意有，
由已知可设直线方程为，
设圆心（4,2）到直线的距离为，
则，
即，
则，解得，
故答案为：
.
【点睛】
本题考查了圆中弦长的运算及点到直线的距离公式，属中档题.
15．4
【分析】
设直线的方程为，代入抛物线消得：
，则==，再利用基本不等式即可得解.
【详解】
设直线的方程为，代入抛物线消得：
，
设，则，
所以==，
则的最小值为4.
【点睛】
本题考查了直线与抛物线的关系及基本不等式的应用，属中档题.
16．
【详解】
试题分析：
由题意得有两个不同的解，，则，因此当时，，当时，，从而要使有两个不同的解，需
考点：
函数与方程
【思路点睛】
（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.
（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.
17．
（1），，中位数估计值为171.7（2
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