圆锥曲线的七种常考题型详解高考必备.docx
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圆锥曲线的七种常考题型详解高考必备
圆锥曲线的七种常考题型
题型一：
定义的应用
1圆锥曲线的定义：
（1）椭圆
（2）双曲线
（3）抛物线
2、定义的应用
（1）寻找符合条件的等量关系
（2）等价转换，数形结合
3、定义的适用条件：
典型例题
2222
例1、动圆M与圆Ci：
x1y36内切，与圆C2：
x1y4外切，求圆心M的
轨迹方程。
例2、方程x62y2x6$y28表示的曲线是
题型二：
圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）
1、椭圆：
由x2、y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
2、双曲线：
由x2、y2系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上;
3、抛物线：
焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
典型例题
（1）是椭圆；
（2）是双曲线.
题型三：
圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题
1常利用定义和正弦、余弦定理求解
2、PF1m,PF2n,mn,mn,mn,m2n2四者的关系在圆锥曲线中的应用
典型例题
22
例1、椭圆x2每i（ab0）上一点P与两个焦点Fi,F2的张角FPF，
ab
求F1PF2的面积。
Sf,pf212：
一3.求该双曲线的标准方程
题型四：
圆锥曲线中离心率，渐近线的求法
1、a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值;
2、a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围;
3、注重数形结合思想不等式解法
上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为
2
例3、椭圆G:
冷
a
2
y21（ab0）的两焦点为R（c,0）,F2（c,0），椭圆上存在
b
uujuvuuuuv
点M使FMF2M
0.求椭圆离心率e的取值范围；
2
X
例4、已知双曲线巧
a
2
y21（a0,b0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线
b
与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
题型五：
点、直线与圆锥的位置关系判断
1、点与椭圆的位置关系
2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题:
4、圆锥曲线的中点弦问题:
1韦达定理:
2、点差法：
（1）带点进圆锥曲线方程，做差化简
（2）得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系
典型例题
例1、双曲线x2—4y2=4的弦AB—被点M（3,-1）平分,求直线AB的方程.
例2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线l:
x+y=1交于A,B两点，C是AB
J2
的中点，若|AB|=2、、2,O为坐标原点，0C的斜率为，求椭圆的方程。
2
题型六：
动点轨迹方程：
1、求轨迹方程的步骤：
建系、设点、列式、化简、确定点的范围;
2、求轨迹方程的常用方法：
（1）直接法：
直接利用条件建立匸尹之间的关系’」';
例1、如已知动点P到定点F（1,0）和直线二：
-的距离之和等于4,求P的轨迹方程.
（2）待定系数法：
已知所求曲线的类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。
例2、如线段AB过x轴正半轴上一点M（m0）鮒,端点A、B到x轴距离之积为2m,
以x轴为对称轴，过A、0、B三点作抛物线，则此抛物线方程
为
（3）定义法：
先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的
轨迹方程；
例3、由动点P向圆'一•作两条切线PAPB,切点分别为AB,ZAPB=60,则动点P的轨迹方程为
例4、点M与点F（4,0）的距离比它到直线hx+5=0的距离小于1,则点M的轨迹方程是
例5、一动圆与两圆OM'''■--和ON:
厂r1—都外切，则动圆圆心的轨迹为
⑷代入转移法：
动点'依赖于另一动点的变化而变化，并且」又在某已知曲线上，则可先用匚丫的代数式表示s门，再将1"代入已知曲线得要求的轨迹方程：
例6、如动点P是抛物线'上任一点，定点为'：
「—•：
，点M分所成的比为2,
则M的轨迹方程为
（5）参数法：
当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考
虑将"匸均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。
例7、过抛物线''-的焦点F作直线'交抛物线于AB两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是
题型七：
（直线与圆锥曲线常规解题方法）
一、设直线与方程；（提醒：
①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b与x=my+n的区别）
二、设交点坐标；（提醒:
之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”）
三、联立方程组；
四、消元韦达定理；（提醒：
抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）
五、根据条件重转化；常有以下类型：
1“以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：
需讨论K是否存在）
2“点在圆内、圆上、圆外问题”
向量的数量积大于、等于、小于0问题”
斜率关系（K1K20或K1K2）；
“直角、锐角、钝角问题”
x1x2y1y2>0；
3“等角、角平分、角互补问题”
4“共线问题”
uuuruuur
如：
AQQB数的角度：
坐标表示法；形的角度：
距离转化法）
（如：
A、0、B三点共线直线0A与0B斜率相等）；
5“点、线对称问题”坐标与斜率关系；
6“弦长、面积问题”
转化为坐标与弦长公式问题（提醒：
注意两个面积公式的合理选择）
六、化简与计算；
七、细节问题不忽略；
①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.
基本解题思想：
1、“常规求值”问题：
需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；
2、“是否存在”问题：
当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；
3、证明定值问题的方法：
⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。
4、处理定点问题的方法：
⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明
5、求最值问题时：
将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；
6、转化思想：
有些题思路易成，但难以实施。
这就要优化方法，才能使计算具有可行性，
关键是积累“转化”的经验；
7、思路问题：
大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而
然产生思路。
典型例题：
例1、已知点F0,1，直线l:
y1,P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足
uuuuuiruuuuuu为Q,且QPgQFFPgFQ.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知圆M过定点D0,2,圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B
两点，设DAl1,DB12，求--的最大值.
l2|1
例2、如图半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且ODLABQ为
线段OD的中点，已知|AB=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上
运动且保持|PA+|PB的值不变•
（1）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程;
（2）过D点的直线I与曲线C相交于不同的两点MN,且M在DN之间，设卫也=入，
DN
求入的取值范围.
2
b71（ab0）的左右焦点。
2
x例3、设F,、F2分别是椭圆C:
二
a
（1）设椭圆C上点（・3,仝）到两点R、F2距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐
2
标；
（2）设K是
（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程；
（3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M,N两点，当直线
PM，PN的斜率都存在，并记为kpM，kpN，试探究kpMKpn的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。
例4、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为
3，最小值为1.
（I）求椭圆C的标准方程；
（n）若直线l:
ykxm与椭圆C相交于A,B两点（AB不是左右顶点），且以AB
为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：
直线l过定点，并求出该定点的坐标.
例5、已知椭圆两焦点F1、F2在y轴上，短轴长为22，离心率为——,P是椭圆在第-y2
uuurULLD
象限弧上一点，且PF1PF21，过P作关于直线RP对称的两条直线PAPB分别交椭圆于A、B两点。
（1）求P点坐标；
（2）求证直线AB的斜率为定值;
典型例题:
例1、
（1）«>设尸（砒）,则仑（m
・*・（O.y+l）C（—益2）=（u-1）4兀-2）.
即2（尸+1）=F-2（p-1）,3P=4y?
所以动点戸的轨迹亡的芳程H二3.
（2）ff：
设圆MEfl圆心坐标次I施仏b）,则二46*①
圆M的半径为=J/+3-卯.
园M的方程背©-a）2+（y-二出*@_肓.
令；7=0,=«<+（!
）-2）\
整理得.F-2符十4右-仁〔〕・②
由①、②解得，xa2.
不妨设Aa2,0,Ba2,0,
11l2ljl222a216
12
|i|i|2；a464
当且仅当a22时，等号成立.
当a0时，由③得，上旦2.
|2|1
故当a22时，J1匕的最大值为2门.
|2|1
例2、解：
（1）以AB0D所在直线分别为x轴、y轴，0为原点，建立平面直角坐标系,•••|PA+IPB=|QA+IQB=2__2亦>|AB=4.
•••曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆
设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2.5,•a=•.5,c=2,b=1.
2
•曲线C的方程为—+y2=1.
5
⑵设直线l的方程为y=kx+2,
2
代入L+y2=1,得（1+5k2）x2+20kx+15=0.
5
A=（20k）2-4x15（1+5k2）>0,得k2>3.由图可知DM殂=入
5DNx2
X1
由韦达定理得
X1
将X1=XX2代入得
X2
15
15k2
两式相除得
（1）2
400k2
15（15k2）
80
k2
80
16
（1）2
16
DM
DN
1
0,解得丄
3
D^,M在
DN
1
&5）
又.••当k不存在时，显然入=
DM
DN
综合得:
1/3w入v1.
X2
N中间,
-（此时直线I与y轴重合）
3
例3、解：
（1）由于点（、3,
在椭圆上,
（-3）
2
a
得2a=4,…2分
b
22
椭圆c的方程为XL
43
（2）设KF1的中点为B（x,y）
则点
，焦点坐标分别为（1,0）,（1,0）
22
把k的坐标代入椭圆—L
43
K（2x1,2y）
中得3^
线段KF1的中点B的轨迹方程为
（X
1）2
（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M,
设M（x°,y°）N（X0,y°）,p（x,y）,
M,N,P在椭圆上，应满足椭圆方程,
kPMKpn=jj
xX0XX0
2
y
2
X
2
y。
2
X0
（2y）21
3
4
2牙1
4
N关于坐标原点对称
2
Xq_
~2
a
b!
a
y°2
2
X
，~2
a
10分
13分
故：
kPMKpn的值与点P的位置无关，同时与直线
L无关,
14分
2
X
例4、解：
（I）椭圆的标准方程为一
4
（5分）
（n）设A（x1,y1）,B（X2,y2）,
联立x2
7
ykxm,
得（34k2）x28mkx4（m23）
2
y_
3
22
64mk
X1X2
Xig（2
22
16（34k）（m3）
8mk
34k2,
4（m23）
34k2.
0,即34k2
0,则
2
（kx1m）（kx2m）kx1x2
mk（x1x2）
m2
3（m24k2）
2?
4k2
因为以AB为直径的圆过椭圆的右焦点
D（2,0）,
yiy2
X]X22（x1
2
9m2
解得:
1、当
2、当
所以,
例5、
1,
kADkBD1，即
2
16mk4k2
mi
mi
m2
直线
unr
则PF1
X2）
3（m24k2）
34k2
4（m2
3
3）
4k2
16mk
3~m?
4
2k,m2
2k
，且均满足3
7
2k时，丨的方程为y
k
27"时，丨的方程为『
丨过定点，定点坐标为
x2
4k2
m2
k（x2），
直线过定点
（2,0），与已知矛盾;
uum
y0）,PF:
Q点P（x0,y0）在曲线上，则
，直线过定点|,0.
42
从而（2y2）1，得y。
（14分）
-2），设P（X0,y°）（x°0,
0）
X0,2
y。
）.
2
X0
uurunu
PF1PF2x0（2y0）
、.2，则点P的坐标为（1,.2）
（2）由
（1）知PF.//X轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为k（k0）,
则PB的直线方程为:
y2k（X1）由
y
2X
2
2k（X1）
2得
y
1
4
（2k2）x22k（、.2
k）X（迈k）2
设B（Xb,Yb）,则XB
2k（k、.2）1
2I
2k2
k2
2、2k
同理可得XA
k222k2
k2
XaXb
4、.2k
k2
Ya
Yb
k（XA
1）
1）
2k2
所以:
ab
的斜率
kAB
Ya
Yb
'、2为定值
Xa
Xb
‘解:
（1）
由23
■1|OF||FP|sin
得|OF||FP|
得tan
4
3
3分
sin
t
•••夹角
[0,
]
例6、
4t
431tan,3
43,由cos
OFFP
|OF||FP|
tsin?
4,3
的取值范围是（一，一）……6
43
（2）设P（Xo，y。
）,则FP（Xoc,Yo）,OFuuu
OF
（c,0）.
SOFP
uur
FP（Xoc,y。
）（c,0）（Xo
1UULT
2
|OF||y°|2.3
y。
c）c
43
tC.3
1）c2
X0■/3c
|OLP|X2
2
Yo
c
23c43
10分
•••当且仅当.3c
□,即c2时,|OP|取最小值26,此时,OP（2...3,23）
c
3_
OM—（23,23）（0,1）（2,3）
3
或OM—（23,23）（0,1）（2,1）
3
椭圆长轴
2a■（22）2（30）2.（22）2（30）28a4,b212
或2a■（22）2
2
（10）
.（22）2（1
故所求椭圆方程为
2x
2
y
1.或x2
16
12
917
——21.172117
0）1.17a,b
22
y114分
117
2~
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