勾股定理一对一专题讲义.docx
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勾股定理一对一专题讲义
１．勾股定理
知识点梳理
内容：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
表示方法：
如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2b2c2
２.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
H
E
F
G
b
a
c
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
122
方法一：
4S
S正方形EFGHS正方形ABCD，4ab（ba）2c2，化简可证．
2
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四
个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S41abc2abc大正方
2
a
b
方法三：
1112
S梯形（ab）（ab），S梯形2SADESABE2abc，化简得证
222
形面积为S（ab）2a22abb2
所以a2b2c2
３.勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐
角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。
４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，C90，则
ca2b2，bc2a2，ac2b2②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题
５.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a，b，c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要
方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一
定理时，可用两小边的平方和a2b2与较长边的平方c2作比较，若它
们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；
a2b2c2，时，以a，
②若a2b2c2，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若
b，c为三边的三角形是锐角三角形；
③定理中a，b，c及a2b2c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2c2b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边
６.勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2中，a，b，c为正
整数时，称a，b，c为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n组勾股数：
n21,2n,n21（n2,n为正整数）；2n1,2n22n,2n22n1（n为正整数）m2n2,2mn,m2n2（mn,m，n为正整数）
７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．
８.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三
角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．
９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通
常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅
10、互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆
命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
勾股定理典型题归类
类型一：
等面积法求高
例题】如图，△ABC中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D。
1）求AB的长；
2）求CD的长。
类型二：
面积问题
【例题】如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为cm2。
练1】如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形，
（1）求图中格点四边形
ABCD的面积和周长。
（2）求∠ADC的度数
练2】如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是【练3】如图字母B所代表的正方形的面积是
类型三：
距离最短问题
【例题】如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30
千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD
上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
例题】如图，一个牧童在小河的南
4km的A处牧马，而他正位于他的小屋
他的马牵到小河边去饮水，然后回家
练1】如图，一圆柱体的底面周长为
B的西8km北7km处，他想把
.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
A
牧童
小河
20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点
B小屋
A出发，
沿着圆柱的侧面爬行到点
C，试求出爬行的最短路程．
【练2】如图，边长为
顶点的最短路程是（
1的立方体中，一只蚂蚁从）
A顶点出发沿着立方体的外表面爬到
A、3
B、C、D、1
练3】如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？
类型四：
判断三角形的形状
【例题】如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
【练1】已知△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2（m,n为正整数,且m>n）,判断△ABC是否为直角三角形
【练2】.已知a，b，c为△ABC三边，
A.直角B.等腰
且满足（a2－b2）（a2+b2－c2）＝0，则它的形状为（）三角形
C.等腰直角D.等腰或直角
【练3】三角形的三边长为
（ab）2
c2ab,则这个三角形是（）
三角形
（A）等边
（B）钝角
（C）直角
（D）锐角
类型五：
直接考查勾股定理
【例题】在Rt△ABC中，
（1）已知a=6，c=10，求b
∠C=90°
；
（2）已知
a=40，b=9，求c；（3）已知c=25，
b=15，求a.
练习】:
如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少
类型六：
构造应用勾股定理
【例题】如图，已知：
在中，，，.求：
练：
△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．
练习】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
类型七：
利用勾股定理作长为n的线段【例题】在数轴上表示10的点。
作法：
如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为10。
类型八：
勾股定理及其逆定理的一般用法
【例题】若直角三角形两直角边的比是3：
4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
【练习1】等边三角形的边长为2，求它的面积。
2、已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+6，求这个三角形的面积．
3、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）
A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40
类型九：
生活问题
【例题】如下左图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需米．
【练3】如上右图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树
的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞米.
3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30o方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.
（1）该城市是否会受到这交台风的影响？
请说明理由.
3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？
类型十：
翻折问题
【例题】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，的长吗？
EF=.则AB的长为（）
练习3】如图，把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处。
1）求证：
明．
练习4】如图,矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,折痕为DG,则AG的长为
4.
如图所示,将一个长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠.点B落在E点,AE交DC于F点,已知AB=8cm,BC=4cm.则折叠后重合部分的面积为
5.
如图,把一张长方形纸片ABCD折叠起来,使其对角顶点A与C重合,若长方形的长BC为8,宽AB为4,则折叠后重合部分的面积是
6.如图所示,在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,将上面的矩形纸片折叠,使点C与点A
重合,折痕为EF,点D的对应点为点G,连接DG,则图中阴影部分的面积为
类型十一：
旋转问题
练习：
如图2-9，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=3，PB=1，?
PC=2，求∠BPC的度数．
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