高斯消元法.docx
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高斯消元法
高斯消元法（完整）
高斯消元法解线性方程组
在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。
那么这样的线性方程组是否有解呢？
如果有解，解是否唯一？
若解不唯一，解的结构如何呢？
这就是下面要讨论的问题。
、线性方程组
设含有n个未知量、有m个方程式组成的方程组
a〔1a〔2X2
a1nXnb1
a21X1a22X2
a2nXnb2
（3.1）
am1X1am2x2
amnXnbm
其中系数aj，常数bj都是已知数，Xi是未知量（也称为未知数）
。
当右端常数项b
b2,…,bm不全为0时，称方程组（3.1）为非齐次线性方程组；当b1=b2=…=bm0时，即
a〔1x〔a〔2X2
a1nXn
0
a21X1a22X2
a2nXn
0
（3.2）
am1X1am2X2
amnXn
0
称为齐次线性方程组。
由n个数k1,k2,…
kn组成的一个有序数组（
k1,k2,…,kn），如果将它
们依次代入方程组（3.1）
中的X1,X2,…
Xn后，
（3.1）中的每个方程都变成恒
等式，则称这个有序数组
（k1,k2,…,kn
）为方程组（3.1）的一个解。
显然由x1=0
X2=0,…,xn=0组成的有序数组（0,0,…,0）是齐次线性方程组（3.2）的一个解称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。
（利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。
因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。
）
非齐次线性方程组（3.1）的矩阵表示形式为：
AX=B
其中
a11
a12
a1n
X1
bi
A=
a21
a22
a2n，X=
X2，B=
am1
am2
amn
xn
bn
称A为方程组（3.1）的系数矩阵，X为未知矩阵，B为常数矩阵。
将系数矩阵A和常数矩阵B放在一起构成的矩阵
a11
a12
a1n
b1
a21
a22
a2n
b2
[AB]=
am1
am2
amn
bm
称为方程组（3.1）的增广矩阵。
、，//r>t--rj—t/.t—t/——x//r、~~-
齐次线性方程组（3.2）的矩阵表示形式为：
AX:
=O
二、高斯消元法
（下面介绍利用矩阵求解方程组的方法，那么矩阵初等行变换会不会改变方程组的解呢？
我们先看一个定理。
）
定理3.1若用初等行变换将增广矩阵［AB］化为［CD］，则AX=B与CX=D是同解方程组。
证由定理3.1可知，存在初等矩阵R,P2,…,Pk，使
Pk…P2Pi（AB）=（CD）
记Pk…卩2P=P,则P可逆，即P1存在。
设Xi为方程组AX=B的解，即
AX1=B
在上式两边左乘P，得
PAX1=PB
即
CX1=D
说明X1也是方程组CX=D的解。
反之，设X2为方程组CX=D的解，即
CX2=D
在上式两边左乘P1，得
P1CX2=P1D
即
AX2=B
说明X2也是方程组AX=B的解。
因此，方程组AX=B与CX=D的解相同，即它们是同解方程组。
（证毕）
（由定理3.1可知，求方程组（3.1）的解，可以利用初等行变换将其增广矩阵［AB］化简。
又有第二章定理2.10可知，通过初等行变换可以将［AB］化成阶梯形矩阵。
因此，我们得到了求解线性方程组（3.1）的一般方法：
）
用初等行变换将方程组（3.1）的增广矩阵［AB］化成阶梯形矩阵，再写出该阶梯形矩阵所对应的方程组，逐步回代，求出方程组的解。
因为它们为同解方程组，所以也就得到了原方程组（3.1）的解。
这种方法被称为高斯消元法，
（下面举例说明用消元法求一般线性方程组解的方法和步骤。
）
将其代入第二个方程，解得
再将X2,x3代入第一个方程组，解得
X2
其中X4可以任意取值
由于未知量X4的取值是任意实数，故方程组（3.3）的解有无穷多个。
由此可知，表示式（3.4）表示了方程组（3.3）的所有解。
表示式（3.4）中等号右端的未知量X4称为自由未知量，用自由未知量表示其它未知量的表示式（3.4）称为方程组（3.3）的一般解，当表示式（3.4）中的未知量X4取定一个值（如X4=1），得
1
到方程组（3.3）的一个解（如x1，x2
组（3.3）的特解。
如果将表示式（3.4）中的自由未知量X4取一任意常数k，即令x4=k，那么方
程组（3.3）的一般解为
x1k1/2
，其中k为任意常数
X212
X3k1
x4k
用矩阵形式表示为
X1
k
121
12
X2
12
0
12
=k
（3.5）
X3
k
11
1
X4
k
1
0
其中k为任意常数。
称表示式（
3.5）
为方程组（3.3）
的全部解。
（用消元法解线性方程组的过程中，当增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵后，要写出相应的方程组，然后再用回代的方法求出解。
如果用矩阵将回代的过程表示出来，我们可以发现，这个过程实际上就是对阶梯形矩阵进一步简化,使其最终化成一个特殊的矩阵，从这个特殊矩阵中，就可以直接解出或“读出”
方程组的解。
例如，）
对例
1中的阶梯形矩阵进-
.rH步
化简，
1
1
2
1
1
③-
1
1
0
11
①6
③2
0
4
1
1
1
②
③
0
4
0
02
0
0
6
6
6
0
0
1
11
0
0
0
0
0
0
0
0
00
1
1
0
01
12
②_
4
①②（
1）
0
1
00
12
0
0
11
1
0
0
00
0
上述矩阵对应的方程组为
X1
X4
1.2
X21
2
X3
X4
1
将此方程组中含x4的项移到等号的右端,
就得到原方程组（
3.3）的一般解,
禺x41/2
X21/2（3.4）
X3X41
其中X4可以任意取值。
0111
0537
25
8
8
0
1
2
0
1
2
34
1
2
3
4
0
1
11
0
1
1
1
0
0
22
0
0
1
1
0
0
11
0
0
0
0
1
20
7
1
0
0
3
0
10
2
0
1
0
2
0
01
1
0
0
1
1
0
00
0
0
0
0
0
一般解为
x13
X22
X31
X1
X2
X3
1
例3解线性方程组
X1
2X2
4X3
2
2X15x2X3
3
解利用初等行变换,
将方程组的增广矩阵
A
B
化成阶梯阵，
再求解。
即
1
1
11
1
1
1
1
AB
=1
2
42
0
3
3
3
2
5
13
0
3
3
1
11
1
1
03
3
3
00
0
2
阶梯形矩阵的第三行“0,
0,0,-2
”所表示的方程为：
0x1
0x2
°X3
2，由该方
程可知，无论x1，x2，x
3取何值，都不能满足这个方程。
因此，
原方程组无解。
三、线性方程组的解的判定
前面介绍了用高斯消元法解线性方程组的方法，通过例题可知，线性方程组的解的情况有三种：
无穷多解、唯一解和无解。
从求解过程可以看出，方程组（3.1）是否有解，关键在于增广矩阵［AB］化成阶梯非零行的行数与系数矩阵A化成阶梯形矩阵后非零行的行数是否相等。
因此，线性方程组是否有解，就可以用其系数矩阵和增广矩阵的秩来描述了。
证设系数矩阵A的秩为r，即r（A）=r。
利用初等行变换将增广矩阵[AB]化成阶梯阵：
Q**
^11
*
*
Gs
C2s
Gn
C2n
d1
d2
0
0
c2k
初等行变换
[AB]
0
0
0
0
Crs
crn
dr
=[C
0
0
0
0
0
0
dr1
0
0
0
0
0
0
0
D]故AX=B与CX=D是同解方程组，因此
AX=B有解dr!
=0r（CD）=r（C）=r即r（AB）=r（A）=r。
（证毕）
推论1线性方程组有唯一解的充分必要条件是r（A）=r（AB）=n。
推论2线性方程组有无穷多解的充分必要条件是r（A）=r（AB）n。
（将上述结论应用到齐次线性方程组（3.2）上,则总有r（A）=r（AB）。
因此齐次线性方程组一定有解。
并且有）
例4判别下列方程组是否有解？
若有解，是有唯一解还是有无穷多解?
X1
2X2
3X3
11
X1
2X2
3X3
11
X1
X2
X3
7
X1
X2
2X3
7
（1）c
（2）c
2x1
3x2
X3
6
2X1
3x2
X3
6
3x1
X2
2X3
4
3x1
X2
2X3
5
X1
2X2
3X3
11
X1
X2
X3
7
（3）c
2x1
3x2
X3
6
3x1
X2
2X3
5
解
（1）用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，
即
1
2
3
11
1
2
3
11
[AB]=
1
1
1
7
0
1
2
4
2
3
1
6
0
7
7
28
3
1
2
4
0
7
7
29
1
2
3
11
0
1
2
4
0
0
7
0
0
0
0
1
因为r（AB）=4,r（A）=3,两者不等，所以方程组无解。
（2）用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即
1
23
11
1
23
11
1
12
7
0
11
4
[AB]=
…
2
31
6
0
00
0
3
12
5
0
00
0
因为r（AB）=r（A）=2n（=3）,所以方程组有无穷多解
⑶
用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，
即
1
2311
1
2
3
11
1
117
0
1
2
4
[AB]=
…
2
316
0
0
7
0
3
125
0
0
0
0
因为
r（AB）=r（A）=
3-n,所以方程组有唯
解。
例5判别下列齐次方程组是否有非零解？
（机动）
3x2
7x3
8X4
0
2x1
5x2
4x3
4x4
0
3x1
7x2
2x3
3x4
0
X1
4x2
12x3
16x4
0
解用初等行变换将系数矩阵化成阶梯形矩阵，即
1
3
7
8
1
3
7
8
2
5
4
4
0
1
18
20
A=
3
7
2
3
0
2
23
27
1
4
12
16
0
1
5
8
1
3
7
8
1
3
7
8
0
1
18
20
0
1
18
20
0
0
13
13
0
0
13
13
0
0
13
12
0
0
0
1
因为r（A）=4=n,所以齐次方程组只有零解
向量组的相关性
在实际问题有许多研究的对象要用n元有序数组来表示。
如总结某五年计划各年某产品产量的数据资料，某工程一年12个月份的用料情况等，就分别要用到5元和12元有序数组。
n维向量的定义
定义3.2把有顺序的n个数a1,a2,,an称为一个n维向量，记作
ai
a2
121
3
例如，矩阵A=1
3
4
4中每
-列都可以看作二维向量:
2
5
3
7
1
2
1
3
1，
3，
4，
4
2
5
3
7
n）称为n维向量
A的列向量
o
A中的每一行都可以看作四维向量:
A的行向量
规定：
n维向量相等、相加、数乘与列矩阵对应相等。
二、n维向量组的线性相关性如果把方程组
x1,x2,x3了。
=k11k22kmm
刘飞2,,km为组合系数
例1二维向量组ei1,e20，称为二维单位向量组。
任意一个二维
01
k「k2，
如果用列向量分别把方程组（
3.6）
的系数矩阵第j列和常数列表示为
1
2
1
3
11，2
3
，34，
4
2
5
3
7
i=°1
0i11i0i1
m
那么方程组（3.6）可以用向量形式表示为
x11x22x33
若方程组（3.6）有解xiki（i1,2,3），则有
k11k22k33
即向量可以由向量组1,2,3线性表出。
反之，若存在数k1,k2,k3使得上式成立，则Xjki（i1,2,3）就是方程组（3.6）的一组解。
命题1向量可以由向量组1,2,,m线性表出的充分必要条件是：
以
1,2,,m为系数列向量，以为常数列向量的线性方程组有解，并且此线性方
程组的一组解就是线性组合的一组系数。
1
12
2
例4设11，2
2，33，
3
2
36
1
判断向量能否由向量组1,2,
3线性表出，若能够，
与出匕的一种表达式
解设X11X22X33
，由此可得
x1x22x32
X12x23x33
2x13x26x31
因为
1
[AB]=1
2
1
0
001
方程组的解为X17,X25,X30<
0
0
00010
所以
定义3.3对于向量组使得
m，若存在m个不全为零的数k1,k2,,km
则称向量组
k11
1，2，，m线性相关;
k22km
否则称向量组
（3.7）
m线性无关。
例5式证单位向量组
1
0e1
0
0
e2
0
1
0
0
e3
0
0
1
0
0
0
0
1
是线性无关的。
证设k1e1
k2e2k3e3
1
0k1
10
0
k4e4
0
1
0
0
由上式得唯一解k1
>即
0
0
1
0
0。
+k3
0,k20,k30,k4
0
0
0
1
所以，
+k4
0
_0
=0
0
e1,e2,e3,e4线性无关。
可以证明，n维单位向量组e1,e2,
en是线性无关的。
n维单位向量组
ei
e2
0
0en
如果把定义3.3中的（3.7）式看作以为未知量的齐次线性方程组，那么
1，2，，m为系数列向量，以k1，k2，,km
定理3.2对于向量组
1，
k〔e[
有非零解，则向量组
2,,m，若齐次线性方程组
k2e2kmem0（3.8）
m线性相关；若齐次线性方程组（3.8）只有零解,
则向量组
1,2,
m线性无关。
定理3.3关于向量组1，2，，m，设矩阵
A1，2，，m
若r（A）m,则向量组1,2,,m线性无关；若r（A）m，则向量组1,2
线性相关。
推论任意n+1个n维向量一定线性相关。
例6
判断下列向量组的相关性
:
（1）
1112，
2
0
21，
3
1
1
1；
⑵
11012
2
11
2
4
3
2
3510；
（3）
1132，
2
1
21，
3
6
54
4876
解
（1）因为
1
0
1
10
1
1
0
1
A=1
2
1
02
2
0
2
2
2
1
1
01
1
0
0
2
r（A）3
m，所以向量组
1,
2,
3线性无关。
⑵
因为
1
1
2
1
1
2
1
1
2
0
1
3
0
1
3
0
1
3
B=
1
2
5
0
1
3
0
0
0
2
4
10
0
2
6
0
0
0
r（B）2
m，所以向量组
1,
2,
3线性相关。
（3）由推论知道，四个三维向量一定是线性相关的。
上面介绍了利用定理3.3来判断向量组的相关性，下面再介绍一个揭示同组向量之间具有某种相关性的特点。
定理3.4向量组1,2,,m，（m2）线性相关的充分必要条件是：
其中至
少有一个向量可以由其余向量线性表出。
（证明请参阅教材）
推论向量组1，2，，m，（m2）线性无关的充分必要条件是：
其中每
个向量都不能由其余向量线性表出。
例7试证：
若向量组的一个部分向量组线性相关，则整个向量组也线性相关。
证不妨设向量组1,2,,m中的部分向量组1,2,,s（Sm）线性相关，则存在不全为零的数k1,k2,,ks，使得
k11k22kss0
从而有
k11k22kss0s10m0
其中ki，k2，,ks，O,,0不全为零，所以向量组i，2，，m线性相关。
可以证明：
若一个向量组线性无关，它的任意一个部分向量组也线性无关
三、向量组的秩
（下面简单地介绍向量组的秩的概念及计算方法，首先向量组的极大无关组的定义）
定义3.4若向量组S中的部分向量组S0满足：
（1）So线性无关；
（2）S中的每一个向量都是S0中向量的线性组合，则称部分向量组S0为向量组S的极大无关组。
。
因此
可以证明：
对于一个向量组，其所有极大无关组所含向量个数都相同向量组的秩定义如下：
定义3.5对于向量组S,其极大无关组所含向量个数称为向量组S的秩。
利用定义求向量组的秩是比较困难的。
但是，我们可以利用矩阵与列向量组之间的关系，把求向量组的秩的问题转化为求矩阵的秩序。
这是因为
定理3.7矩阵A的秩二矩阵A列向量组的秩=矩阵A行向量组的秩。
例9设向量组
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
2
1
1
4
0
1
1
2
0
1
1
2
A=
0
1
1
2
0
1
1
2
0
0
0
3
0
1
1
1
0
0
0
3
0
0
0
0
所以r（1,2，3,4
）=3,
且
1，2,
4为其中的一个
极大无关组。
线性方程组解的结构
前两讲介绍了方程组的有关概念，方程组的解的几种情况及判定，向量组的关性。
这一讲主要介绍方程组解的结构。
一、齐次线性方程组解的结构
齐次线性方程组的矩阵形式为：
AX=O
解的情况可以归纳为:
1•齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是r（A）=n
2.齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是r（A）n注意：
当A为n阶方阵时也可利用矩阵行列式|A判断。
3.当r（A）=rn时，方程组AX=O有n-r个自由未知量
齐次线性方程组AX=O解的性质：
性质1若X1和X2为齐次线性方程组AX=O的解，则X1+X2亦为AX的解。
证因为X1和X2为方程组AX=O的两个解，故有
AX1=0，AX2=O
A（X1+X2）=AX1+AX2=O
所以，X1+X2亦为AX=O的解
性质2若X1为齐次线性方程组AX=0的解，则kX1亦为AX=0的解，其中k为任意常数。
证因为X1为方程组AX=
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