高斯消元法.docx

1、高斯消元法高斯消元法（完整）高斯消元法解线性方程组在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学 模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也 不一定相同。那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解 不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。、线性方程组设含有n个未知量、有m个方程式组成的方程组a1 a2 X2a1nXn b1a 21X1 a 22 X2a2nXn b2(3.1)a m1 X1 a m2 x2amnXn bm其中系数aj，常数bj都是已知数，Xi是未知量（也称为未知数）。当右端常数项bb2,bm不全为0时，称方

2、程组（3.1）为非齐次线性方程组；当b1 = b2 =bm 0时，即a1 x a2 X2a1 nXn0a 21X1 a 22 X2a2 nXn0(3.2)am1 X1 am2 X2a mnXn0称为齐次线性方程组。由n个数k1, k2,kn组成的一个有序数组（k1 , k2 ,kn )，如果将它们依次代入方程组（3.1）中的X1, X2,Xn 后，（3.1 ）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组(k1 , k2 ,kn）为方程组（3.1）的一个解。显然由x1=0X2=0,xn=0组成的有序数组（0, 0,0）是齐次线性方程组（3.2）的一个解 称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐

3、次线性方程组的未知量取值不全为 零时，称之为非零解。（利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。 因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。）非齐次线性方程组（3.1）的矩阵表示形式为：AX = B其中a11a12a1nX1biA =a21a22a2n，X =X2，B =am1am2amnxnbn称A为方程组（3.1）的系数矩阵，X为未知矩阵，B为常数矩阵。将系数矩阵 A 和常数矩阵B放在一起构成的矩阵a11a12a1nb1a21a22a2nb2A B=am1am2amnbm称为方程组（3.1）的增广矩阵。、，/ / r t - -rjt /.tt / x / / r、-

4、齐次线性方程组（3.2） 的矩阵表示形式为：AX :=O二、高斯消元法（下面介绍利用矩阵求解方程组的方法，那么矩阵初等行变换会不会改变方 程组的解呢？我们先看一个定理。）定理3.1 若用初等行变换将增广矩阵A B化为C D，则AX = B与CX =D是同解方程组。证 由定理3.1可知，存在初等矩阵R, P2,Pk，使Pk P2 Pi （A B） = （C D）记Pk卩2 P = P,则P可逆，即P 1存在。设Xi为方程组A X = B的解，即A X1 = B在上式两边左乘P，得P AX1 = PB即C X1= D说明X1也是方程组C X = D的解。反之，设X2为方程组C X = D的解，即C

5、 X2 = D在上式两边左乘P 1，得P 1CX2= P 1D即A X2 = B说明X2也是方程组AX = B的解。因此，方程组A X = B与C X = D的解相同，即它们是同解方程组。（证毕）（由定理3.1可知，求方程组（3.1）的解，可以利用初等行变换将其增广矩阵 A B化简。又有第二章定理2.10可知，通过初等行变换可以将A B化成阶梯 形矩阵。因此，我们得到了求解线性方程组（3.1）的一般方法：）用初等行变换将方程组（3.1）的增广矩阵A B化成阶梯形矩阵，再写出该 阶梯形矩阵所对应的方程组，逐步回代，求出方程组的解。因为它们为同解方程 组，所以也就得到了原方程组（3.1）的解。这种

6、方法被称为 高斯消元法，（下面举例说明用消元法求一般线性方程组解的方法和步骤。）将其代入第二个方程，解得再将X2 , x3代入第一个方程组，解得X2其中X4可以任意取值由于未知量X4的取值是任意实数，故方程组（3.3）的解有无穷多个。由此可 知，表示式（3.4）表示了方程组（3.3）的所有解。表示式（3.4）中等号右端的未 知量X4称为自由未知量，用自由未知量表示其它未知量的表示式（3.4）称为方程 组（3.3）的一般解，当表示式（3.4）中的未知量X4取定一个值（如X4=1），得1到方程组（3.3）的一个解（如x1 ，x2组（3.3）的特解。如果将表示式（3.4）中的自由未知量X4取一任意常

7、数k，即令x4= k，那么方程组（3.3）的一般解为x1 k 1/2，其中k为任意常数X2 1 2X3 k 1 x4 k用矩阵形式表示为X1k1 2 11 2X21 201 2=k（3.5）X3k1 11X4k10其中k为任意常数。称表示式（3.5）为方程组（3.3）的全部解。（用消元法解线性方程组的过程中，当增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形 矩阵后，要写出相应的方程组，然后再用回代的方法求出解。如果用矩阵将回代 的过程表示出来，我们可以发现，这个过程实际上就是对阶梯形矩阵进一步简化, 使其最终化成一个特殊的矩阵，从这个特殊矩阵中，就可以直接解出或“读出”方程组的解。例如，）对例1中的阶梯形矩

8、阵进-.rH 步化简，11211-1101 162041110400 2006660011 1000000000 01100 11 2_4（1）010 01 2001 11000 00上述矩阵对应的方程组为X1X41. 2X2 12X3X41将此方程组中含x4的项移到等号的右端,就得到原方程组（3.3）的一般解,禺 x4 1/2X2 1/2 （ 3.4）X3 X4 1其中X4可以任意取值。0 11 10 5 3 72 5880120123 41234011 10111002 20011001 1000012 07100301 02010200 11001100 000000一般解为x1 3X2

9、 2X3 1X1X2X31例3解线性方程组X12X24X322 X1 5x2 X33解利用初等行变换,将方程组的增广矩阵AB化成阶梯阵，再求解。即111 11111A B=124 20333251 303311 1110 3330 002阶梯形矩阵的第三行“ 0,0, 0, -2”所表示的方程为：0x10x2X32，由该方程可知，无论 x1， x2， x3取何值，都不能满足这个方程。因此，原方程组无解。三、线性方程组的解的判定前面介绍了用高斯消元法解线性方程组的方法，通过例题可知，线性方程组 的解的情况有三种：无穷多解、唯一解和无解。从求解过程可以看出，方程组（3.1） 是否有解，关键在于增广

10、矩阵A B化成阶梯非零行的行数与系数矩阵 A化成阶 梯形矩阵后非零行的行数是否相等。因此，线性方程组是否有解，就可以用其系 数矩阵和增广矩阵的秩来描述了。证 设系数矩阵A的秩为r，即r(A)= r。利用初等行变换将增广矩阵A B 化成阶梯阵：Q * *11*G sC2sGnC2nd1d200c2k初等行变换A B0000Crscrndr=C000000dr 10000000D 故AX = B与CX = D是同解方程组，因此AX = B 有解 dr ! = 0 r(C D) = r(C)= r 即 r(A B) = r (A) = r。 (证毕)推论1线性方程组有唯一解的充分必要条件是 r(A)

11、 = r(A B)= n。推论2线性方程组有无穷多解的充分必要条件是 r(A) = r(A B) n。(将上述结论应用到齐次线性方程组(3.2) 上,则总有r(A) = r(A B)。因 此齐次线性方程组一定有解。并且有)例4判别下列方程组是否有解？若有解，是有唯一解还是有无穷多解?X12X23X311X12X23X311X1X2X37X1X22X37(1) c(2) c2x13x2X362X13x2X363x1X22X343x1X22X35X12X23X311X1X2X37(3) c2x13x2X363x1X22X35解(1)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即1231112311A B =

12、1117012423160772831240772912311012400700001因为r(A B) = 4, r(A)=3,两者不等，所以方程组无解。(2)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即12 31112 31111 2701 14A B =23 1600 0031 2500 00因为r(A B) = r(A)=2 n (= 3),所以方程组有无穷多解用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即12 3 111231111 1 70124A B =23 1 6007031 2 50000因为r(A B) = r(A) =3 - n,所以方程组有唯解。例5判别下列齐次方程组是否有非零解？ (

13、机动)3x27x38X402x15x24x34x403x17x22x33x40X14x212x316x40解用初等行变换将系数矩阵化成阶梯形矩阵，即137813782544011820A =37230223271412160158137813780118200118200013130013130013120001因为r(A) = 4 = n,所以齐次方程组只有零解向量组的相关性在实际问题有许多研究的对象要用 n元有序数组来表示。如总结某五年计划 各年某产品产量的数据资料，某工程一年 12个月份的用料情况等，就分别要用到 5元和12元有序数组。n维向量的定义定义3.2 把有顺序的n个数a1, a

14、2, , an称为一个n维向量，记作aia21 2 13例如，矩阵 A = 1344中每-列都可以看作二维向量:253712131，3，4，42537,n）称为n维向量A的列向量oA中的每一行都可以看作四维向量:A的行向量规定：n维向量相等、相加、数乘与列矩阵对应相等。二、n维向量组的线性相关性 如果把方程组x1,x2,x3 了。=k1 1 k2 2 km m刘飞2, ,km为组合系数例1二维向量组ei 1 , e2 0，称为二维单位向量组。任意一个二维0 1kk2，如果用列向量分别把方程组（3.6)的系数矩阵第j列和常数列表示为12131 1 ， 23，3 4 ，42537i = 10 i

15、1 1 i 0 i 1m那么方程组（3.6）可以用向量形式表示为x1 1 x2 2 x3 3若方程组（3.6）有解xi ki （i 1,2,3），则有k1 1 k2 2 k3 3即向量 可以由向量组1, 2, 3线性表出。反之，若存在数 k1,k2, k3使得上式成 立，则Xj ki （i 1,2,3）就是方程组（3.6）的一组解。命题1向量 可以由向量组1, 2, , m线性表出的充分必要条件是：以1,2, , m为系数列向量，以 为常数列向量的线性方程组有解，并且此线性方程组的一组解就是线性组合的一组系数。11 22例4设1 1 ， 22 ， 3 3，323 61判断向量能否由向量组1,

16、2,3线性表出，若能够，与出匕的一种表达式解设 X1 1 X2 2 X3 3，由此可得x1 x2 2x3 2X1 2x2 3x3 32x1 3x2 6x3 1因为1A B= 12100 0 1方程组的解为X1 7,X2 5, X3 0即00100。+ k30, k2 0, k3 0,k40001所以，+ k40_ 0=00e1,e2,e3,e4线性无关。可以证明，n维单位向量组e1,e2,en是线性无关的。n维单位向量组ei,e200 en如果把定义3.3中的（3.7）式看作以 为未知量的齐次线性方程组，那么1， 2， ，m为系数列向量，以k1，k2， ,km定理3.2 对于向量组1，ke有非

17、零解，则向量组2, , m，若齐次线性方程组k2e2 kmem 0 （ 3.8）m线性相关；若齐次线性方程组（3.8）只有零解,则向量组1 , 2,m线性无关。定理3.3 关于向量组1，2，m，设矩阵A 1， 2， ， m若r(A) m,则向量组1, 2, , m线性无关；若r(A) m，则向量组1, 2线性相关。推论 任意n+1个n维向量一定线性相关。例6判断下列向量组的相关性:(1)1112，202 1，3111 ；1 1 0 1 221 124323 5 10 ；(3)1 1 3 2，212 1，365 44 8 7 6解(1)因为1011 01101A = 1210 220222110

18、 11002r(A) 3m，所以向量组1,2,3线性无关。因为112112112013013013B =1250130002410026000r(B) 2m，所以向量组1,2,3线性相关。(3)由推论知道，四个三维向量一定是线性相关的。上面介绍了利用定理3.3来判断向量组的相关性，下面再介绍一个揭示同组向 量之间具有某种相关性的特点。定理3.4 向量组1, 2, , m，(m 2)线性相关的充分必要条件是：其中至少有一个向量可以由其余向量线性表出。(证明请参阅教材)推论 向量组1，2， ，m，(m 2)线性无关的充分必要条件是：其中每个向量都不能由其余向量线性表出。例7试证：若向量组的一个部分

19、向量组线性相关，则整个向量组也线性相关。 证 不妨设向量组 1, 2, , m中的部分向量组 1 , 2, , s (S m)线性相 关，则存在不全为零的数k1,k2, ,ks，使得k1 1 k 2 2 ks s 0从而有k1 1 k2 2 ks s 0 s 1 0 m 0其中ki，k2， ,ks，O, ,0不全为零，所以向量组 i，2，m线性相关。可以证明：若一个向量组线性无关，它的任意一个部分向量组也线性无关三、向量组的秩(下面简单地介绍向量组的秩的概念及计算方法，首先向量组的极大无关组 的定义)定义3.4 若向量组S中的部分向量组S0满足：(1)So线性无关；(2)S中的每一个向量都是S

20、0中向量的线性组合，则称部分向量组S0为向量 组S的极大无关组。因此可以证明：对于一个向量组，其所有极大无关组所含向量个数都相同 向量组的秩定义如下：定义3.5 对于向量组S,其极大无关组所含向量个数称为 向量组S的秩。利用定义求向量组的秩是比较困难的。但是，我们可以利用矩阵与列向量组 之间的关系，把求向量组的秩的问题转化为求矩阵的秩序。这是因为定理3.7 矩阵A的秩二矩阵A列向量组的秩=矩阵A行向量组的秩。例9设向量组110111011101211401120112A=011201120003011100030000所以 r( 1, 2， 3, 4)=3,且1， 2,4为其中的一个极大无关组

21、。线性方程组解的结构前两讲介绍了方程组的有关概念，方程组的解的几种情况及判定，向量组的 关性。这一讲主要介绍方程组解的结构。一、齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组的矩阵形式为：AX = O解的情况可以归纳为:1 齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是 r(A)= n2. 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 r(A) n 注意：当A为n阶方阵时也可利用矩阵行列式|A判断。3.当r(A) = r n时，方程组 AX = O有n-r个自由未知量齐次线性方程组AX = O解的性质：性质1若X1和X2为齐次线性方程组AX = O的解，则X1 + X2亦为AX 的解。证 因为X1和X2为方程组AX = O的两个解，故有A X1 = 0， AX2= OA ( X1 + X2) = AX1 + AX2 = O所以，X1 + X2亦为AX = O的解性质2若X1为齐次线性方程组AX = 0的解，则kX1亦为AX = 0的解，其 中k为任意常数。证因为X1为方程组AX =