等腰三角形有答案版.docx
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等腰三角形有答案版
等腰三角形
一、选择题
1.（2014•广东，第9题3分）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A．
17
B．
15
C．
13
D．
13或17
考点：
等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析：
由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：
（1）当等腰三角形的腰为3；
（2）当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．
解答：
解：
①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；
②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．
故这个等腰三角形的周长是17．故选A．
2.（2014•广西玉林市、防城港市，第10题3分）在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（ ）
A．
1cm＜AB＜4cm
B．
5cm＜AB＜10cm
C．
4cm＜AB＜8cm
D．
4cm＜AB＜10cm
考点：
等腰三角形的性质；解一元一次不等式组；三角形三边关系．
分析：
设AB=AC=x，则BC=20﹣2x，根据三角形的三边关系即可得出结论．
解答：
解：
∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，
∴设AB=AC=xcm，则BC=（20﹣2x）cm，∴
，解得5cm＜x＜10cm．故选B．
3．（2014·浙江金华，第8题4分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是【】
A．70° B．65° C．60° D．55°
【答案】B．【解析】
二.填空题
1.（2014•广东，第16题4分）如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=
，则图中阴影部分的面积等于
﹣1 ．
考点：
旋转的性质．
分析：
根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出AD=
BC=1，AF=FC′=
AC′=1，进而求出阴影部分的面积．
解答：
解：
∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=
，
∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，
∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，
∴AD=
BC=1，AF=FC′=
AC′=1，
∴图中阴影部分的面积等于：
S△AFC′﹣S△DEC′=
×1×1﹣
×（
﹣1）2=
﹣1．
故答案为：
﹣1．
2.（2014•珠海，第10题4分）如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA4的长度为 8 ．
考点：
等腰直角三角形
专题：
规律型．
分析：
利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答案．
解答：
解：
∵△OAA1为等腰直角三角形，OA=1，
∴AA1=OA=1，OA1=
OA=
；
∵△OA1A2为等腰直角三角形，
∴A1A2=OA1=
，OA2=
OA1=2；
∵△OA2A3为等腰直角三角形，
∴A2A3=OA2=2，OA3=
OA2=2
；
∵△OA3A4为等腰直角三角形，
∴A3A4=OA3=2
，OA4=
OA3=8．
故答案为：
8．
3.（2014•广西贺州，第17题3分）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是 50° ．
考点：
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
分析：
根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．
解答：
解：
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠A+15°，
∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=∠A+15°，∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，
解得∠A=50°．故答案为：
50°．
点评：
本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记性质并用∠A表示出△ABC的另两个角，然后列出方程是解题的关键．
4．（2014年天津市，第17题3分）如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为 45 （度）．
考点：
等腰三角形的性质．
分析：
设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x﹣y，根据等边对等角得出∠ACE=∠AEC=x+y，∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣y．然后在△DCE中，利用三角形内角和定理列出方程x+（90°﹣y）+（x+y）=180°，解方程即可求出∠DCE的大小．
解答：
解：
设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x﹣y．
∵AE=AC，∴∠ACE=∠AEC=x+y，∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣x﹣y+x=90°﹣y．
在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，∴x+（90°﹣y）+（x+y）=180°，
解得x=45°，∴∠DCE=45°．故答案为45．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设出适当的未知数列出方程是解题的关键．
5．（2014年云南省，第13题3分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD= 18° ．
考点：
等腰三角形的性质．
分析：
根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC的度数．
解答：
解：
∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°．
∵BD⊥AC于点D，∴∠CBD=90°﹣72°=18°．故答案为：
18°．
点评：
本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．
6.（2014•益阳，第13题，4分）如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是 60° ．
（第1题图）
考点：
旋转的性质；等边三角形的性质．
分析：
根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出旋转角，进而得出∠EAF的度数．
解答：
解：
∵将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，∴旋转角为60°，E，F是对应点，
则∠EAF的度数为：
60°．故答案为：
60°．
点评：
此题主要考查了等边三角形的性质以及旋转的性质，得出旋转角的度数是解题关键．
7.（2014•扬州，第10题，3分）若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为 35 cm．
考点：
等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析：
题目给出等腰三角形有两条边长为7cm和14cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解答：
解：
①14cm为腰，7cm为底，此时周长为14+14+7=35cm；
②14cm为底，7cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．
故其周长是35cm．故答案为35．
8.（2014•呼和浩特，第13题3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36，则该等腰三角形的底角的度数为 63°或27° ．
考点：
等腰三角形的性质．
专题：
分类讨论．
分析：
分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数．
解答：
解：
在三角形ABC中，设AB=AC，BD⊥AC于D．
①若是锐角三角形，∠A=90°﹣36°=54°，底角=（180°﹣54°）÷2=63°；
②若三角形是钝角三角形，∠BAC=36°+90°=126°，此时底角=（180°﹣126°）÷2=27°．
所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．
三.解答题
1.（2014•泰州，第23题，10分）如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．
（1）求证：
BE=AF；
（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．
（第4题图）
考点：
平行四边形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形
分析：
（1）由DE∥AB，EF∥AC，可证得四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，又由BD是△ABC的角平分线，易得△BDE是等腰三角形，即可证得结论；
（2）首先过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，易求得DG与DE的长，继而求得答案．
解答：
（1）证明：
∵DE∥AB，EF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，∴AF=DE，
∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBE，∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE，∴BE=AF；
（2）解：
过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，
∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠EBD=30°，
∴DG=
BD=
×6=3，∵BE=DE，∴BH=DH=
BD=3，∴BE=
=2
，
∴DE=BE=2
，∴四边形ADEF的面积为：
DE•DG=6
．
点评：
此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
2．（2014•温州，第20题10分）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长．
考点：
等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
分析：
（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
解答：
解：
（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，
∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4．
点评：
本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
3.（2014年广东汕尾，第19题7分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以点A、C为圆心，大于
AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE．
（1）求∠ADE；（直接写出结果）
（2）当AB=3，AC=5时，求△ABE的周长．
分析：
（1）根据题意可知MN是线段AC的垂直平分线，由此可得出结论；
（2）先根据勾股定理求出BC的长，再根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．
解：
（1）∵由题意可知MN是线段AC的垂直平分线，∴∠ADE=90°；
（2）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC=
=4，
∵MN是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，
∴△ABE的周长=AB+（AE+BE）=AB+BC=3+4=7．
4.（2014•襄阳，第21题6分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：
①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC．
（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？
（用序号写出所有成立的情形）
（2）请选择
（1）中的一种情形，写出证明过程．
考点：
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
专题：
开放型．
分析：
（1）由①②；①③．两个条件可以判定△ABC是等腰三角形，
（2）先求出∠ABC=∠ACB，即可证明△ABC是等腰三角形．
解答：
解：
（1）①②；①③．
（2）选①③证明如下，
∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，
∵∠EBO=∠DCO，又∵∠ABC=∠EBO+∠OBC，∠ACB=∠DCO+∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．
点评：
本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是找出相等的角求∠ABC=∠ACB．
5.（2014•滨州，第24题10分）如图，已知正方形ABCD，把边DC绕D点顺时针旋转30°到DC′处，连接AC′，BC′，CC′，写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程．
考点：
正方形的性质；等腰三角形的判定；旋转的性质
分析：
利用旋转的性质以及正方形的性质进而得出等腰三角形，再利用全等三角形的判定与性质判断得出．
解答：
解；图中的等腰三角形有：
△DCC′，△DC′A，△C′AB，△C′BC，
理由：
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=DC，∠BAD=∠ADC=90°，
∴DC=DC′=DA，∴△DCC′，△DC′A为等腰三角形，
∵∠C′DC=30°，∠ADC=90°，∴∠ADC′=60°，∴△AC′D为等边三角形，
∵∠C′AB=90°﹣60°=30°，∴∠CDC′=∠C′AB，
在△DCC′和△AC′B中
，∴△DCC′≌△AC′B（SAS），
∴CC′=C′B，∴△BCC′为等腰三角形．
6.（2014•菏泽，第16题6分）
（1）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．
考点：
等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
分析：
（1）求出∠CAD=∠BAD=∠EDA，推出AE=DE，求出∠ABD=∠EDB，推出BE=DE，求出AE=BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
解答：
解：
（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠BAD=∠ADE，∴AE=DE，
∵AD⊥DB，∴∠ADB=90°，
∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°，
∴∠ABD=∠BDE，∴DE=BE，
∵AB=5，∴DE=BE=AE=
=2.5．
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