全国名校高考数学优质试题汇编附详解专题空间点直线平面之间的位置关系.docx
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全国名校高考数学优质试题汇编附详解专题空间点直线平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系
A组 基础题组
1.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定（ ）
A.与a,b都相交B.只能与a,b中的一条相交
C.至少与a,b中的一条相交D.与a,b都平行
2.已知空间中有三条线段AB,BC和CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是（ ）
A.AB∥CD
B.AB与CD异面
C.AB与CD相交
D.AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
3.（优质试题河北唐山3月模拟）已知P是△ABC所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,若MN=BC=4,PA=4
则异面直线PA与MN所成角的大小是（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是（ ）
A.直线AC B.直线ABC.直线CD D.直线BC
5.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
6.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面又与CC1共面的棱有 条.
7.如图为正方体表面展开图的一种,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的有 对.
8.已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,且异面直线AB与CD所成的角为60°,点M,N分别是BC,AD的中点,则异面直线AB和MN所成的角为 .
9.已知空间四边形ABCD中,E、H分别是边AB、AD的中点,F、G分别是边BC、CD的中点.
（1）求证:
BC与AD是异面直线;
（2）求证:
EG与FH相交.
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中:
（1）求AC与A1D所成角的大小;
（2）若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小.
B组 提升题组
1.（优质试题河南百校联盟质检）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是DD1、AB的中点,平面B1EF交棱AD于点P,则PE=（ ）
A.
B.
C.
D.
2.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;
②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;
③直线AB与a所成角的最小值为45°;
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是 .（填写所有正确结论的编号）
3.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知∠BAC=
AB=2,AC=2
PA=2.
（1）求三棱锥P-ABC的体积;
（2）求异面直线BC与AD所成角的余弦值.
4.如图所示,平面四边形ADEF所在的平面与梯形ABCD所在的平面垂直,AD⊥CD,AD⊥ED,AF∥DE,AB∥CD,CD=2AB=2AD=2ED=xAF.
（1）若四点F、B、C、E共面,AB=a,求x的值;
（2）求证:
平面CBE⊥平面EDB.
答案精解精析
A组 基础题组
1.C 若c与a,b都不相交,则c与a,b都平行,此时a∥b,与a,b异面矛盾.
2.D 若三条线段共面,则直线AB与CD相交或平行;若三条线段不共面,则直线AB与CD是异面直线.
3.A 取AC的中点O,连接OM,ON,则ON∥AP,ON=
AP,OM∥BC,OM=
BC,所以异面直线PA与MN所成的角为∠ONM（或其补角）,在△ONM中,OM=2,ON=2
MN=4,由勾股定理的逆定理得OM⊥ON,则∠ONM=30°.故选A.
4.C 由题意知,D∈l,l⊂β,所以D∈β,
又D∈AB,所以D∈平面ABC,
所以点D在平面ABC与平面β的交线上.
又C∈平面ABC,C∈β,
所以点C在平面ABC与平面β的交线上,
所以平面ABC∩平面β=CD.
5.C 取BC的中点Q,连接QN,AQ,易知BM∥QN,则∠ANQ（或其补角）即为所求,
设BC=CA=CC1=2,
则AQ=
AN=
QN=
∴cos∠ANQ=
=
=
=
故选C.
6.
答案 5
解析 与AB和CC1都相交的棱有BC;与AB相交且与CC1平行的棱有AA1,BB1;与AB平行且与CC1相交的棱有CD,C1D1.故符合条件的有5条.
7.
答案 3
解析 将展开图还原为正方体,如图所示,
显然,AB与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线,而AB与EF相交,CD与GH相交,CD与EF平行,故互为异面直线的有3对.
8.
答案 60°或30°
解析 如图,取AC的中点P,连接PM,PN,
则PM∥AB,且PM=
AB,PN∥CD,且PN=
CD,所以∠MPN（或其补角）为异面直线AB与CD所成的角,则∠MPN=60°或∠MPN=120°.
因为PM∥AB,所以∠PMN（或其补角）是异面直线AB与MN所成的角.
①若∠MPN=60°,
因为AB=CD,所以PM=PN,
则△PMN是等边三角形,所以∠PMN=60°,
即AB与MN所成的角为60°.
②若∠MPN=120°,则易知△PMN是等腰三角形,所以∠PMN=30°,即AB与MN所成的角为30°.
综上,异面直线AB和MN所成的角为60°或30°.
9.
证明
（1）假设BC与AD共面,不妨设它们所共平面为α,则B,C,A,D∈α,
所以四边形ABCD为平面图形,这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾,所以BC与AD是异面直线.
（2）如图,连接AC,BD,EF,FG,GH,EH,则EF∥AC,HG∥AC,因此EF∥HG,同理,EH∥FG,则四边形EFGH为平行四边形.又EG、FH是平行四边形EFGH的对角线,则EG与FH相交.
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