范革文论管理的数学基础.docx
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范革文论管理的数学基础
论管理的数学基础
宜昌市机电工程学校范革文
摘要：
本文试图对管理所需的数学知识作一番概括和总结，展现数学在管理活动中的重要性和基础地位，开拓读者与管理人员的视野。
关键词：
管理数学学派数学基础数学模型计算公式
管理活动自古有之，人类进行的管理实践大约已有6000年的历史。
管理科学从其萌芽、诞生到发展的整个过程都离不开数量和数学。
例如，我国《周易·系辞下》有“上古结绳而治”的语句；《三字经》把“知某数，识某文”作为人类生存与发展应当具备的基本素质；管理科学的创始人泰罗主张实行有差别的计件工资制；第二次世界大战其间，运筹学使管理的数量化技术得以迅猛发展。
美国管理学家孔茨把数学学派作为现代管理理论丛林的主流学派之一。
数学学派认为管理是制定和应用数学模型来表示计划、组织、控制、决策等合乎逻辑的程序，求出最优的解决问题的方案，以实现企业的目标。
本文试图对管理所需的数学基础知识作一番概括和总结，展现数学在管理活动中的重要性和基础地位，开拓读者与管理人员的视野。
一、会计恒等式与会计报表
1、会计静态恒等式：
资产=负债+所有者权益。
这是编制资产负债表的理论依据。
资产负责表是反映企业在某一特定日期的财务状况的会计报表。
例如，公历每年12月31日的财务状况，它反映的就是该日的情况。
资产负债表主要提供有关企业财务状况方面的信息，即某一特定日期关于企业资产、负债、所有者权益及其相关关系的情况。
2、会计动态恒等式：
收入-费用=利润。
这是编制利润表的理论依据。
利润表是反映企业在一定会计期间的经营成果的会计报表。
例如，反映某年1月1日至12月31日经营成果的利润表，它反映的就是该期间的情况。
利润表的列报必须充分反映企业经营业绩的主要来源和构成，有助于报表使用者判断净利润的质量及其风险，预测净利润的持续性，从而做出正确的决策。
3、会计综合恒等式：
资产=负债+[所有者权益+（收入-费用）]。
这和所有者权益变动表、现金流量表的编制相关。
所有者权益变动表是反映构成所有者权益的各组成部分当期的增减变动情况的报表。
所有者权益变动表应当全面反映一定时期所有者权益变动的情况，不仅包括所有者权益总量的增减变动，还包括所有者权益增减变动的重要结构性信息，特别是要反映直接计入所有者权益的利得和损失，让报表使用者准确理解所有者权益增减变动的根源。
现金流量表是反映企业一定会计期间现金和现金等价物流入和流出的报表。
编制现金流量表的主要目的是为报表使用者提供企业一定会计期间内现金和现金等价物流入和流出的信息，以便于报表使用者了解和评价企业获取现金和现金等价物的能力，并据以预测企业未来现金流量。
二、固定资产折旧方法
企业应当根据与固定资产有关的经济利益的预期实现方式合理选择折旧方法。
可选用的折旧方法包括年限平均法、工作量法、双倍余额递减法和年数总和法等。
以年数总和法为例。
年数总和法，又称年限合计法，是指将固定资产的原价减去预计净残值后的余额，乘以一个以固定资产尚可使用寿命为分子、以预计使用寿命逐年数字之和为分母的逐年递减的分数计算每年的折旧额。
年数总和法是对数学等差数列知识的运用。
计算公式如下：
年折旧率=尚可使用年限÷预计使用寿命的年数总和×100%
月折旧率=年折旧率÷12
月折旧率=（固定资产原价-预计净残值）×月折旧率
例如：
某台机床原始价值为242000元，清理费用为2000元，残余价值为4000元，折旧年限为5年。
则
折旧总额=242000+2000-4000=240000（元）
年数总和=1+2+3+4+5=15（年）
每年的递减分数和折旧额的计算如下表。
折旧年份
折旧总额
递减分数
应提折旧额
折余价值
1
2
3
4
5
240000
240000
240000
240000
240000
5/15
4/15
3/15
2/15
1/15
80000
64000
48000
32000
16000
242000
162000
98000
50000
18000
2000
合计
240000
从表中可以看出，年数总和法每年折旧递减额为一个常数。
本例中，这个常数为16000元，即240000元的1/15。
这样计算出来的折旧额每年成等差递减，最后一年的折旧额正好等于递减的差额。
三、直线回归预测法
回归分析是研究变量相关关系的一种数理统计方法。
回归分析是通过一定的相关关系方程表达式来研究变量之间的密切程度，从而可从一个变量或几个变量的取值去预测或控制另一个变量的取值。
回归分析一般分成两个基本步骤。
第一步，根据试验或观察数据，绘制散点图，大体确定变量之间的相关关系；第二步，根据散点图初步确定的相关关系方程表达式的类型，建立经验回归方程，从而对变量之间的关系程度进行比较精确的计算与分析，把经验提高到理论高度，以更好地指导实践。
直线回归预测法是运用直线回归方程，根据自变量的变动来预测因变量发展变动趋势的方法。
运用直线回归模型进行预测时，首先应根据过去一定时期的历史资料在坐标系上作散点图，能大致形成一条直线，则说明这两个变量之间基本上存在着线性联系，可建立直线回归方程式。
确认两个变量之间是否具有近似的直线关系的方法就是进行相关系数r的测定，其计算公式如下：
一般当|r|≥0.7时，回归方程所描述的变量之间的关系才有实用价值。
直线回归方程表达式是：
y=a+bx，式中：
对于a、b的估计，是采用微积分知识推导的，过程从略。
四、制造过程的质量控制。
进行制造过程的质量控制需要计算和评定工序能力与工序能力指数。
工序是产品、零部件制造过程的基本环节，是使其发生物理和化学变化的过程。
工序包括加工、检验、搬运、停留四个环节。
影响工序的因素一般包括操作者、机器设备、材料、工艺方法、测量和环境（Man,Machine,Material,Method,Measure,Environment,缩写5M1E）6大因素。
工序能力是指工序能够稳定地生产出产品的能力，也就是说在操作者、机器设备、原材料、操作方法、测量方法和环境等处于标准条件下，工序呈稳定状态时所具有的加工精度。
通常用标准偏差σ的6倍来表示工序能力的大小，即B=6σ。
根据数理统计学理论可以知道，在正态分布的情况下，质量特性值落在6σ范围内的概率为99.73%。
显然B越大，表明工序的实际精度越差，工序能力越小；B越小，则表明工序的实际精度越高，工序能力越大。
工序能力指数是表示工序能力对设计的产品规范的保证程度。
工序能力指数表示为：
T：
产品的公差范围；S：
标准偏差。
标准偏差S的计算公式为：
平均值
1、当给定双向公差，质量数据分布中心
与公差中心（M）相一致时,
式中TU为公差上限，TL为公差下限。
2、当给定双向公差，质量数据分布中心
与公差中心（M）不一致，即存在中心偏移量（ε）时，
式中：
3、当给定单向公差的上限时，
4、当给定单向公差的下限时，
工序能力等级评定表
范围
等级
判断
措施
CP>1.67
特级
工序能力过高
为提高产品质量，对关键或主要项目再次缩小公差范围；或为提高效率、降低成本而放宽波动幅度，降低设备精度等级。
1.67≥CP>1.33
1级
工序能力充分
当不是关键或主要项目时，放宽波动幅度；降低对原材料的要求；简化质量检验，采用抽样检验或减少检验频次。
1.33≥CP>1
2级
工序能力尚可
必须用控制图或其他方法对工序进行控制和监督，以便及时发现异常波动；对产品按正常规定进行检验。
1≥CP≥0.67
3级
工序能力不充分
分析分散程度大的原因，制订措施加以改进，在不影响产品质量的情况下，放宽公差范围，加强质量检验，全数检验或增加检验频次。
0.67>CP
4级
工序能力不足
一般应停止继续加工，找出原因，改进工艺，提高CP值，否则全数检验，挑出不合格品。
五、评价投资效果
在实际工作中，评价投资效果的常用方法一般有两类，一类是折现的现金流量法，另一类是非折现的现金流量法。
前者考虑货币的时间价值，而后者却不考虑货币的时间价值。
评价投资效果的折现方法主要有净现值法、现值指数法、内含报酬率法和等年值比较法等。
评价投资效果的非折现方法主要有投资回收期法和投资报酬率法等。
以净现值法为例，这是对数学的等比数列知识的运用。
净现值的计算公式是：
式中：
NPＶ—净现值；
A1，A2，…，An—未来各期现金流入量；
i—预定投资报酬率；
n—期间数；
A0—原始投资额（现金流出量）。
例如：
某企业计划将资金200000元用作某项投资，预定投资报酬率为10%，现拟有甲、乙两个方案，有关资料如下表所示：
期间
甲方案
乙方案
现金流入量
现金流入量
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
20000
23000
45000
60000
80000
80000
64000
55000
50000
40000
根据上表有关资料，甲、乙两个投资方案的净现值可计算如下：
=161630-200000=-38370（元）
=225770-200000=25770（元）
计算结果表明，甲方案的净现值为负值，故该方案未来的现金流入不足以补偿其现在的现金流出，应予舍弃；乙方案的净现值为正值，故该方案在经济上对企业有利，应予采纳。
六、资源最优利用的数学模型
资源的最优利用，是一个国家、一个地区、一个企业经济发展中的基本问题，也是企业生产管理人员需要解决的实际问题。
假设某工厂能够制造A和B两种产品，制造A产品一公斤需要用煤9吨，劳动力3个（以工作日计），电力4千瓦小时；制造B产品一公斤需要用煤4吨，劳动力10个（以工作日计），电力5千瓦小时。
并知道制造A产品一公斤能够创造利润7千元，制造B产品一公斤能够创造利润1万2千元。
该工厂由于某些条件限制，只有煤360吨、电力200千瓦小时、劳动力300个可以利用。
问题是在这些现有资源的条件下，应该制造A产品和B产品各多少公斤，才能创造总的利润最大。
假设以x1、x2表示A、B两种产品的计划产量，则有以下数学模型。
（1）煤资源约束方程：
9x1+4x2≤360
（2）电力资源约束方程：
4x1+5x2≤200
（3）劳动力资源约束方程：
3x1+10x2≤300
（4）变量的非负需求：
x1≥0、x2≥0
求总利润最大，即7x1+12x2→max
资源最优利用的一般数学模型如下：
假设某个企业有m种资源，已知每种资源的数量为bi（i=1,2,…,m）。
这个企业能够生产n种产品，已知生产每一种产品所消耗的各种资源的数量，以aij表示第j种产品对i种资源的单耗。
各种产品的单位利润也已知，用cj表示j产品的单位利润。
问题是如何在企业现有资源的条件下，创造出最大利润。
其数学模型如下：
（1）对各种资源的需要量不超过拥有量的约束方程：
ai1x1+ai2x2+…+aijxj≤bi（i=1,2,…,m;j=1,2,…,n）
（2）变量的非负要求
xj≥0（j=1,2,…,n）
其目标函数为
f=c1x1+c2x2+…+cnxn→max
七、本量利分析与盈亏平衡点
本量利分析是成本—业务量—利润关系分析的简称，也称CVP分析。
它是在成本性态分析和变动成本法的基础上进一步展开的，是以数学化的会计模型与图式来提示固定成本、变动成本、销售量、单价、销售额、利润等变量之间的内在规律性联系，为会计预测、决策和规划提供必要的财务信息的一种定量分析方法。
其基本计算公式为：
利润=销售收入-销售成本
=（销售单价×销售量）－（单位变动成本×销售量+固定成本）
=（销售单价-单位变动成本）×销售量－固定成本
=单位边际贡献×销售量－固定成本
盈亏平衡点又称保本点，是指企业在一定时期收支相抵、盈亏平衡、不盈不亏、利润为零时的业务量的总称。
盈亏平衡点有盈亏平衡销售量和销售额两种表示形式。
1、单一产品的盈亏平衡点计算公式如下：
2、多种产品的盈亏平衡点计算公式如下：
（1）计算综合边际贡献率
（2）计算综合盈亏平衡点销售额
（3）计算每种产品的盈亏平衡点销售量、销售额
八、投资风险
如果投资者以期望收益率为依据进行决策，那么他必须意识到他正冒着得不到期望收益率的风险。
可能的收益率越分散，它们与期望收益率的偏离程度就越大，投资者承担的风险也就越大。
因而，风险的大小由未来可能收益率与期望收益率的偏离程度来反映。
在数学上，这种偏离程度由收益率的方差来度量。
如果偏离程度用
来度量，则平均偏离程度被称为方差，记为
。
式中：
pi—可能收益率发生的概率；
σ（r）—标准差。
例：
假定证券A的收益率的概率分布如下：
收益率（%）
-20
-10
10
30
概率pi
0.20
0.30
0.10
0.40
那么，该证券的期望收益率E（r）为：
E（r）=（-20%）×0.20+（-10%）×0.30+10%×0.10+30%×0.40
=6%
该证券的方差为：
同样，在实际中，我们也可使用历史数据来估计方差：
假设证券的月或年实际收益率为rt（t=1,2,…,n）,那么估计方差的公式为：
当n较大时，也可使用下述公式估计方差：
九、网络计划
用网络分析的方法编制的计划称为网络计划。
它是五十年代末发展起来的一种编制大型工程进度计划的有效方法。
编制网络计划包括绘制网络图，计算时间参数，确定关键路线及网络优化等环节。
例如：
某项研究新产品工程的各个工序与所需时间以及它们之间的相互关系如表所示。
工序
工序代号
所需时间（天）
紧后工序
产品设计与工艺设计
a
60
b,c,d,e
外购配套件
b
45
l
下料、锻件
c
10
f
工装制造1
d
20
g,h
木模、铸件
e
40
h
机械加工1
f
18
l
工装制造2
g
30
k
机械加工2
h
15
l
机械加工3
k
25
l
装配调试
l
35
l
根据上表的已知条件和数据，绘制网络图如下：
计算网络时间、确定关键路线：
总时差为零的工序，开始和结束的时间没有一点机动的余地，由这些工序所组成的路线就是网络中的关键路线。
上图中，工序a、d、g、k、l的总时差为零，由这些工序组成的路线就是关键路线。
十、股票的投资价值
一般来讲，影响股票投资价值的内部因素主要包括公司净资产、盈利水平、股利政策、股份分割、增资和减资以及资产重组等。
影响股票投资价值的外部因素主要包括宏观经济因素、行业因素及市场因素等。
进行股票投资需要计算股票的内在价值，股票的内在价值计算方法有：
现金流贴现模型、零增长模型、不变增长模型、可变增长模型等。
以零增长模型为例，零增长模型假定股息增长率等于零，也就是说，未来的股息按一个固定数量支付。
计算原理如下：
因为k>0，按照数学中无穷级数的性质，可知：
因此，零增长模型公式为：
式中：
V—股票的内在价值；
D0—未来每期支付的每股股息；
k—到期收益率。
例如：
假定某公司在未来每期支付的每股股息为8元，必要收益率为10%，运用零增长模型，可知该公司股票的内在价值为：
8÷0.1=80（元），而当时股票价格为45元，这说明该公司股票被低估35元，因此可以购买该种股票。
从实用主义出发，本文对管理所需的数学基础知识作了范例式列举和初步性探讨，而实际所需远不止这些。
对于复杂高深的数学模型本文未予采用，以免理论脱离实际或增加阅读的难度。
有理由相信，随着管理科学的纵深发展和计算机知识的日益普及，数学模型、公式和符号的魅力将会得到更多的管理学家与管理实践者的肯定。
管理的定性和定量、人治和“数”治将永远并举。
参考文献：
1、范革文著《会计恒等式的几种错误写法与分析》。
〈发表于《财会月刊》1996年第6期〉
2、范革文著《“两则”对固定资产的定义不妥》。
〈发表于《财会审论坛》1995年第6期〉
3、刘兴榜主编《会计管理计算方法》。
4、财政部会计司编写组编《企业会计准则讲解》。
5、杨文士、李晓光主编《管理学原理》。
6、王庆成主编《财务管理学》。
7、杨文士主编《质量管理学》。
8、朱海芳编著《管理会计学》。
9、顾士俊编《管理数学》。
10、钱颂迪主编《运筹学》。
11、中国证券业协会编《证券投资基金》。
12、中国证券业协会编《证券投资分析》。
13、唐国兴主编《高等数学
（二）第二分册概率统计》。
14、吴敏主编《统计学原理与经济统计》。
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