人教版部编初中九年级数学上册第二章第3节用公式法求解一元二次方程教学设计WORD.docx

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第二章一元二次方程

3.用公式法求解一元二次方程

(一)

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础:

学生通过前几节课的学习,认识了一元二次方程的一般形式:

ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式;在上一节课的基础上,大部分学生能够利用配方法解一元二次方程,但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.

学生活动经验基础:

学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验;学生通过《规律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函数的图像》中一次函数增减性的总结等章节的学习,已经逐渐形成对于一些规律性的问题,用公式加以归纳总结的数学建模意识,并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力.

二、教学任务分析

公式法实际上是配方法的一般化和程式化,然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。

所以首先要夯实上节课的配方法,在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式,最后,用公式法解一元二次方程。

其中,引导学生自主的探索,正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一;正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程,提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。

为此,本节课的教学目标是:

①在教师的指导下,学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式,并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。

②能够根据方程的系数,判断出方程的根的情况,在此过程中,培养学生观察和总结的能力.

③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程,提高学生的综合运算能力。

④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流,进一步发展学生合作交流的意识和能力

三、教学过程分析

本课时分为以下五个教学环节:

第一环节:

回忆巩固;第二环节:

探究新知;第三环节:

巩固新知;第四环节:

收获与感悟;第五环节:

布置作业。

第一环节;回忆巩固

活动内容:

①用配方法解下列方程:

(1)2x2+3=7x

(2)3x2+2x+1=0

全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算

②由学生总结用配方法解方程的一般方法:

第一题:

2x2+3=7x

解:

将方程化成一般形式:

2x2-7x+3=0

两边都除以一次项系数:

2

配方:

加上再减去一次项系数一半的平方

即:

两边开平方取“±”得:

写出方程的根∴x1=3,x2=

 

第二题:

3x2+2x+1=0

解:

两边都除以一次项系数:

3

配方:

加上再减去一次项系数一半的平方

即:

∴原方程无解

活动目的:

(1)进一步夯实用配方法解方程的一般步骤.在这里相对于书上的解题方法作了小小的改动:

没有把常数项移到方程右边,而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平方,这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致。

(2)选择了一个没有解的方程,让学生切实感受并不是所有的一元二次方程在实数范围内都有解。

(3)教师还可以根据上节课作业情况,选学生出错多的题目纠错、练习.

活动的实际效果:

通过对旧知识的回顾,学生再次经历了配方法解方程的全过程,由于是旧知识,学生容易做出正确答案,并获得成功的喜悦,调动了学生的学习热情,唤醒学生的思维,为后面的探索奠定了良好的基础。

第二环节探究新知

(1)活动1:

自主推导求根公式。

提出问题:

解一元二次方程:

ax2+bx+c=0(a≠0)

学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。

最后由师生共同归纳、总结,得出求根公式.

解:

两边都除以一次项系数:

a

问:

为什么可以两边都除以一次项系数:

a

答:

因为a≠0

配方:

加上再减去一次项系数一半的平方

即:

问:

现在可以两边开平方吗?

答:

不可以,因为不能保证

问:

什么情况下

学生讨论后回答:

答:

∵a≠0

∴4a2>0

要使

只要b2-4ac≥0即可

∴当b2-4ac≥0时,两边开平方取“±”得:

问:

如果b2-4ac<0时,会出现什么问题?

答:

方程无解

如果b2-4ac=0呢?

答;方程有两个相等的实数根。

活动目的:

学生能否自主推导出来并不重要,重要的是由学生亲身经历公式的推导过程,只有经历了这一过程,他们才能发现问题、汲取教训、总结经验,形成自己的认识.在集体交流的时候,才能有感而发。

活动的实际效果:

学生的主要问题通常出现在这样的几个地方:

(1)

运算的符号出现错误和通分出现错误

(2)不能主动意识到只有当b2-4ac≥0时,两边才能开平方

(3)两边开平方,忽略取“±”。

大部分学生需要在教师的帮助下,才能完善公式的推导。

(2)活动2:

归纳总结公式法定义和根的判别式。

第三环节:

巩固新知

活动内容:

1、判断下列方程是否有解:

(学生口答)

(1)2x2+3=7x

(2)x2-7x=18(3)3x2+2x+1=0(4)9x2+6x+1=0(5)16x2+8x=3(6)2x2-9x+8=0

学生迅速演算或口算出b2-4ac,从而判断出根的情况。

问第(3)题的判断,与第一环节中的第

(2)题对比,哪种方法更简捷?

2、上述方程如果有解,求出方程的解

学生口述,教师板书第

(1)题,第(4)题

例:

解方程2x2+3=7x

先将方程化成一般形式解:

2x2-7x+3=0

确定a,b,c的值a=2,b=-7,c=3

判断方程是否有根∵b2-4ac=(-7)2-4×2×3=25>0

写出方程的根即x1=3,x2=-

问:

与第一环节中的第

(1)题对比,哪种解法更简捷?

例:

解方程9x2+6x+1=0

确定a,b,c的值解:

a=9,b=6,c=1

判断方程是否有根∵b2-4ac=62-4×9×1=0

(剩下的题目教师根据时间情况选择使用,个别学生上黑板做题,其他同学在座位上练习)

3、课本随堂练习1、2.

活动目的:

通过让学生或口述交流或上黑板解方程,公示学生的思维过程,查缺补漏,了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。

活动实际效果:

教师引导学生分析,学生口答、板书,笔答,对比,评价,总结.大部分学生能够正确、熟练的用公式法解方程。

第四环节:

收获与感悟

活动内容:

提出问题:

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么?

2、如何判断一元二次方程根的情况?

3、用公式法解方程应注意的问题是什么?

4、你在解方程的过程中有哪些小技巧?

让学生在四人小组中进行回顾与反思后,进行组间交流发言。

活动目的:

鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获,解题技能方面有哪些提高,通过回顾进一步巩固知识,将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。

活动实际效果:

学生通过回顾本节课的学习,感受到公式推导的全过程,发展了逻辑思维能力,提高了推理技能,在使用公式解方程的过程中,感受到有的一元二次方程的有根,而有的没有根,通过解方程,进一步提高了学生的运算能力。

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