人教版部编初中九年级数学上册第二章第3节用公式法求解一元二次方程教学设计WORD.docx

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第二章一元二次方程

３．用公式法求解一元二次方程

（一）

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：

学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：

ax2+bx+c=0（a≠0）,并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.

学生活动经验基础：

学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验；学生通过《规律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函数的图像》中一次函数增减性的总结等章节的学习，已经逐渐形成对于一些规律性的问题，用公式加以归纳总结的数学建模意识，并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力.

二、教学任务分析

公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。

所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。

其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。

为此，本节课的教学目标是：

①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。

②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.

③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。

④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力

三、教学过程分析

本课时分为以下五个教学环节：

第一环节：

回忆巩固；第二环节：

探究新知；第三环节：

巩固新知；第四环节：

收获与感悟；第五环节：

布置作业。

第一环节；回忆巩固

活动内容：

①用配方法解下列方程：

（1）2x2+3=7x

（2）3x2+2x+1=0

全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算

②由学生总结用配方法解方程的一般方法:

第一题：

2x2+3=7x

解：

将方程化成一般形式:

2x2-7x+3=0

两边都除以一次项系数:

2

配方:

加上再减去一次项系数一半的平方

即:

两边开平方取“±”得：

写出方程的根∴x1=3,x2=

第二题：

3x2+2x+1=0

解：

两边都除以一次项系数:

3

配方:

加上再减去一次项系数一半的平方

即:

∵

∴原方程无解

活动目的：

（1）进一步夯实用配方法解方程的一般步骤.在这里相对于书上的解题方法作了小小的改动：

没有把常数项移到方程右边，而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平方，这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致。

（2）选择了一个没有解的方程，让学生切实感受并不是所有的一元二次方程在实数范围内都有解。

（3）教师还可以根据上节课作业情况，选学生出错多的题目纠错、练习.

活动的实际效果：

通过对旧知识的回顾，学生再次经历了配方法解方程的全过程，由于是旧知识，学生容易做出正确答案，并获得成功的喜悦，调动了学生的学习热情，唤醒学生的思维，为后面的探索奠定了良好的基础。

第二环节探究新知

（1）活动1：

自主推导求根公式。

提出问题：

解一元二次方程：

ax2+bx+c=0（a≠0）

学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。

最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式.

解：

两边都除以一次项系数:

a

问：

为什么可以两边都除以一次项系数:

a

答：

因为a≠0

配方:

加上再减去一次项系数一半的平方

即:

问：

现在可以两边开平方吗？

答：

不可以，因为不能保证

问：

什么情况下

学生讨论后回答：

答：

∵a≠0

∴4a2>0

要使

只要b2-4ac≥0即可

∴当b2-4ac≥0时，两边开平方取“±”得：

问：

如果b2-4ac<0时，会出现什么问题？

答：

方程无解

如果b2-4ac=0呢？

答;方程有两个相等的实数根。

活动目的：

学生能否自主推导出来并不重要，重要的是由学生亲身经历公式的推导过程，只有经历了这一过程，他们才能发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识.在集体交流的时候，才能有感而发。

活动的实际效果：

学生的主要问题通常出现在这样的几个地方：

（1）

中

运算的符号出现错误和通分出现错误

（2）不能主动意识到只有当b2-4ac≥0时，两边才能开平方

（3）两边开平方，忽略取“±”。

大部分学生需要在教师的帮助下，才能完善公式的推导。

（2）活动2：

归纳总结公式法定义和根的判别式。

第三环节：

巩固新知

活动内容：

１、判断下列方程是否有解：

（学生口答）

（1）2x2+3=7x

（2）x2-7x=18（3）3x2+2x+1=0（4）9x2+6x+1=0（5）16x2+8x=3（6）2x2-9x+8=0

学生迅速演算或口算出b2-4ac,从而判断出根的情况。

问第（3）题的判断，与第一环节中的第

（2）题对比，哪种方法更简捷？

２、上述方程如果有解，求出方程的解

学生口述，教师板书第

（1）题，第（4）题

例：

解方程2x2+3=7x

先将方程化成一般形式解：

2x2-7x+3=0

确定a,b,c的值a=2,b=-7,c=3

判断方程是否有根∵b2-4ac=（-7）2-4×2×3=25>0

∴

写出方程的根即x1=3,x2=-

问：

与第一环节中的第

（1）题对比，哪种解法更简捷？

例：

解方程9x2+6x+1=0

确定a,b,c的值解：

a=9,b=6,c=1

判断方程是否有根∵b2-4ac=62-4×9×1=0

∴

（剩下的题目教师根据时间情况选择使用，个别学生上黑板做题，其他同学在座位上练习）

３、课本随堂练习1、2.

活动目的：

通过让学生或口述交流或上黑板解方程，公示学生的思维过程，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。

活动实际效果：

教师引导学生分析，学生口答、板书，笔答，对比，评价，总结．大部分学生能够正确、熟练的用公式法解方程。

第四环节：

收获与感悟

活动内容：

提出问题：

1、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是什么？

2、如何判断一元二次方程根的情况？

3、用公式法解方程应注意的问题是什么？

4、你在解方程的过程中有哪些小技巧？

让学生在四人小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言。

活动目的：

鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。

活动实际效果：

学生通过回顾本节课的学习，感受到公式推导的全过程，发展了逻辑思维能力，提高了推理技能，在使用公式解方程的过程中，感受到有的一元二次方程的有根，而有的没有根，通过解方程，进一步提高了学生的运算能力。