三角形全等之倍长中线和截长补短讲义.docx

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三角形全等之倍长中线和截长补短讲义

三角形全等之倍长中线（讲义）

一、知识点睛

1．辅助线的定义：

为了解决几何问题，在原图基础之上另外添加的直线或线段称为辅助线．辅助线通常画成虚线．

2．辅助线的原则：

添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立已知和未知之间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况．

3．辅助线的作用：

①把分散的条件转为集中；②把复杂的图形转为基本图形．

4．添加辅助线的注意事项：

明确目的，多次尝试．

5．“三角形全等”辅助线：

见中线要___________，_________之后________________．

6．倍长中线的作法：

延长FE交BC的延长线于点G

延长AD到E，使DE=AD,延长MD到E，使DE=MD，

连接BE连接CE

二、精讲精练

1.

如图，AD为△ABC的中线．

求证：

AB+AC>2AD．

2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．

求证：

AB=AC．

3.如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AC=AB．

求证：

①CE=2CD；②CB平分∠DCE．

4.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F．

求证：

∠AEF=∠EAF．

5.如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF．

求证：

AD为△ABC的角平分线．

6.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，GE⊥EF．

求证：

GF=AG+BF．

7.如图，在正方形ABCD的边CB的延长线上取一点E，△FEB为等腰直角三角形，∠FEB=90°，连接FD，取FD的中点G，连接EG，CG．

求证：

EG=CG且EG⊥CG．

三、回顾与思考

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

【参考答案】

【知识点睛】

见中线要倍长，倍长之后证全等．

【精讲精练】

1．证明略（提示：

延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，证明△BED≌△CAD）

2．证明略（提示：

延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，证明△BED≌△CAD）

3．证明略（提示：

延长CD到点F，使DF=CD，连接BF，证明△BDF≌△ADC，△CBE≌△CBF）

4．证明略（提示：

延长AD到点M，使DM=AD，连接BM，证明△ADC≌△MDB）

5．证明略（提示：

延长EF到点M，使EM=EF，连接BM，证明△CFE≌△BME）

6．证明略（提示：

延长GE交CB延长线于点M，证明

△AEG≌△BEM）

7．证明略（提示：

延长EG交CD延长线于点M，证明

△FGE≌△DGM，再证明三角形EGC是等腰直角三角形）

三角形全等之倍长中线每日一题

1.已知：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中点．

求证：

AE⊥BE．

2.已知：

如图，在△ABC中，D为BC边中点，∠BDA=∠BAD，E为BD中点，连接AE．

求证：

∠C=∠BAE．

3.已知：

如图，△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，BA⊥AC，ED⊥BD，垂足分别为点A，点D，连接EC，F为EC中点，连接AF，DF，猜测AF，DF的数量关系和位置关系，并说明理由．

4.已知：

如图，D为线段AB的中点，在AB上任取一点C（不与点A，B，D重合），分别以AC，BC为斜边在AB同侧作等腰Rt△ACE与等腰Rt△BCF，∠AEC=∠CFB=90°，连接DE，DF，EF．

求证：

△DEF为等腰直角三角形．

5.已知：

如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并说明理由．

【参考答案】

1.证明：

延长AE交BC的延长线于点F.

∵AD∥BC

∴∠D=∠DCF，∠DAE=∠F

∵E是CD的中点

∴DE=CE

在△ADE和△FCE中

∴△ADE≌△FCE（AAS）

∴AD=FC，AE=FE

∵AB=AD+BC

∴AB=CF+BC=BF

在△ABE和△FBE中

∴△ABE≌△FBE（SSS）

∴∠ABE=∠FBE=90°

即AE⊥BE

2.证明：

延长AE到F，使得EF=AE，连接DF.

∵E为BD中点

∴BE=ED

在△ABE和△FDE中

∴△ABE≌△FDE（SAS）

∴AB=FD，∠BAF=∠F，∠B=∠FDE

∵∠BDA=∠BAD

∴BD=AB

∵D为BC边中点

∴CD=BD=AB=FD

∵∠BDA=∠BAD

∴∠ADF=∠BDA+∠FDE，∠ADC=∠B+∠BAD

即∠ADF=∠ADC

在△FAD和△CAD中

∴△FAD≌△CAD（SAS）

∴∠F=∠C

∴∠C=∠BAE

3.解：

AF⊥DF，AF=DF，理由如下：

延长DF交AC于点P.

∵BA⊥AC，ED⊥BD

∴∠BAC=∠EDA=90°

∴DE∥AC

∴∠DEC=∠ECA

∵F为EC中点

∴EF=FC

在△EDF和△CPF中

∴△EDF≌△CPF（AAS）

∴DE=CP，DF=PF

∵△ABC与△BDE均为等腰直角三角形

∴AB=AC，DE=BD

∴AB-BD=AB-DE=AC-CP

即AD=AP

在△DAF和△PAF中

∴△DAF≌△PAF（SSS）

∴∠DFA=∠PFA=90°，∠DAF=∠PAF=45°

∴AF⊥DF，AF=DF

4.证明：

延长ED到点G，使得DG=DE，连接BG，FG

∵D为线段AB的中点

∴AD=BD

在△EDA和△GDB中

∴△EDA≌△GDB（SAS）

∴EA=GB，∠A=∠GBD

∵△ACE与△BCF是等腰直角三角形

∴AE=CE=BG，CF=FB，∠A=∠ECA=∠FCB=∠FBC=45°

∴∠ECF=90°，∠FBG=∠FBD+∠GBD=90°

在△ECF和△GBF中

∴△ECF≌△GBF（SAS）

∴EF=GF，∠EFC=∠GFB

∵∠CFB=∠CFG+∠GFB=90°

∴∠EFG=∠EFC+∠CFG=90°

在△EFD和△GFD中，

∴△EFD≌△GFD（SSS）

∴∠EDF=∠GDF=90°，∠EFD=∠GFD=45°

∴ED=DF

∴△DEF为等腰直角三角形

5.解：

AB=AF+CF，理由如下：

延长AE交DF的延长线于点G.

∵E为BC边的中点

∴BE=CE

∵AB∥DC

∴∠B=∠BCG，∠BAG=∠G

在△ABE和△GCE中

∴△ABE≌△GCE（AAS）

∴AB=GC

∵∠BAE=∠EAF

∴∠G=∠EAF

∴AF=GF

∵GC=GF+FC

∴AB=AF+CF

三角形全等之倍长中线（随堂测试）

1.在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是____________________．

2.已知：

如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC．

求证：

AE平分∠BAC．

【参考答案】

1．3

2．证明略（提示：

延长AE到点M，使EM=AE，连接DM，

证明△DME≌△CAE）

三角形全等之倍长中线（作业）

3.已知：

如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是________________．

4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，BE=AE=5，求CE的长．

5.已知：

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形．求证：

EF=2AD．

6.如图，在△ABC中，AB>AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：

BF=CG．

7.如图，在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG，CG．

求证：

EG=CG且EG⊥CG．

8.已知：

如图，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB上一点，连接CD，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F．

求证：

△BCF≌△CAE．

9.多项式9x2+1加上一个单项式后，能使它成为一个整式的完全平方式，则可以加上的单项式共有________个，分别是______________________________．

【参考答案】

1．1＜AD＜4

2．2.3（提示：

延长AF交BC于点G，导角证明AE=EG）

3．证明略（提示：

延长AD到点P，使得AD=PD，连接CP，证明△ABD≌△PCD，△EAF≌△PCA）

4．证明略（提示：

延长FE到点H，使得FE=EH，连接CH，证明△BFE≌△CHE，导角）

5．证明略（提示：

延长EG交AD于点P，连接CE，CP）

6．证明略

7．5；-1，-9x2，-6x，6x，

x4

三角形全等之截长补短（讲义）

一、知识点睛

截长补短：

题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是__________________________________

__________________________________________________．

二、精讲精练

1.已知：

如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C．

求证：

AC=AB+BD．

2.已知：

如图，在正方形ABCD中，AD=AB，

∠D=∠ABC=∠BAD=90°，E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=45°，连接EF．求证：

EF=BF+DE．

3.已知：

如图，在△ABC中，∠ABC=60º，△ABC的角平分线AD，CE交于点O．求证：

AC=AE+CD．

4.已知：

如图，在△ABC中，∠A=90º，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E．求证：

CE=

BD．

5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB于E，△BDC为等腰直角三角形，∠BDC=90°，BD=CD，CE与BD交于F，连接AF．求证：

CF=AB+AF．

三、回顾与思考

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

【参考答案】

【知识点睛】

线段间的和差倍分；

把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系．

【精讲精练】

1．证明略

提示：

方法一：

在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，然后再证明CE=BD；

方法二：

延长AB到E，使BE=BD，证明△ADE≌△ADC

2．证明略

提示：

延长FB到G，使BG=DE，连接AG，证明

△ABG≌△ADE，再证明△AFG≌△AFE）

3．证明略

提示：

在AC上截取AF=AE，连接OF，证明△AEO≌△AFO，∠AOC=120°，再证明△COF≌△COD）

4．证明略

提示：

延长CE交BA的延长线于点F，证明△BEF≌△BEC，得EC=EF，再证明△ACF≌△ABD，得CF=BD）

5．证明略

提示：

方法一：

延长BA交CD的延长线交于点H，证明

△BDH≌△CDF，得DH=DF，BH=CF，再证明

△ADH≌△ADF，得AH=AF；

方法二：

在CF上截取CH=AB，连接DH，证明

△DHC≌△DAB，得DH=DA，CH=BA，∠HDF=∠ADF=45°，再证明△ADF≌△HDF，得AF=HF）

三角形全等之截长补短（每日一题）姓名_________

1.在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C．求证：

CD=AB+BD．

2.如图，在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任意一点．求证：

AB-AC>PB-PC．

3.已知：

如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠A+∠C=180°．

求证：

BD=AB+CD．

4.在正方形ABCD中，点E在CB延长线上，点F在DC延长线上，

EAF=45°．

求证：

DF=EF+BE．

5.如图，在正方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分∠DAE．求证：

AE=BE+DF．

【参考答案】

1.证明：

如图，在线段DC上截取DE，使DE=BD，连接AE．

∵AD⊥BC

∴∠ADB=∠ADE=90°

在△ABD和△AED中

∴△ABD≌△AED（SAS）

∴∠B=∠1，AB=AE

∵∠B=2∠C

∴∠1=2∠C

∵∠1是△AEC的一个外角

∴∠1=∠C+∠2

∴∠C=∠2

∴AE=CE

∵CD=CE+ED

∴CD=AE+BD

∴CD=AB+BD

（如果延长DB到点F，使BF=AB，连接AF也可进行证明）

2.

证明：

如图，在线段AB上截取AE=AC，连接PE．

则AB-AC=AB-AE=EB

在△AEP和△ACP中

∴△AEP≌△ACP（SAS）

∴PE=PC

在△PEB中，PB-PE

∴PB-PC

即AB-AC>PB-PC

（延长AC到点F，使AF=AB，连接PF，也可证明结论）

3.证明：

如图，在BC上截取BE=BA，连接PE．

在△ABP和△EBP中

∴△ABP≌△EBP（SAS）

∴∠A=∠3

∵∠A+∠C=180°，∠3+∠4=180°

∴∠4=∠C

∵PD⊥BC

∴∠PDE=∠PDC=90°

在△PDE和△PDC中

∴△PDE≌△PDC（AAS）

∴DE=DC

∴BD=BE+ED

∴BD=AB+CD（过点P作PF⊥BA于F，也可进行证明）

4.证明：

如图，在DF上截取DG=BE，连接AG．

∵四边形ABCD为正方形

∴∠D=∠BAD=∠ABC=90°，AB=AD

∴∠ABE=∠D=90°

在△ABE和△ADG中

∴△ABE≌△ADG（SAS）

∴AG=AE，∠1=∠2

∵

EAF=45°，

∴∠2+∠3=45°

∴∠1+∠3=45°

∴∠GAF=45°=∠EAF

在△EAF和△GAF中

∴△EAF≌△GAF（SAS）

∴EF=GF

∵DF=GF+DG

∴DF=EF+BE

5.证明：

如图，延长EB到点G，使BG=DF，连接AG．

∵四边形ABCD为正方形

∴AB=AD，∠D=∠ABC=∠BAD=90°

∴∠ABG=∠D=90°

在△ABG和△ADF中

∴△ABG≌△ADF（SAS）

∴∠1=∠2，∠5=∠G

∵AF平分∠DAE

∴∠1=∠3

∵∠1+∠5=90°

∴∠3+∠G=90°

∵∠1+∠3+∠4=90°

∴∠2+∠3+∠4=90°

∴∠2+∠4=∠G

∴AE=EG=BE+BG

∴AE=BE+DF

三角形全等之截长补短随堂测试题姓名________

6.

已知：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE平分∠ABC．

求证：

AB=AD+BC．

【参考答案】

证明略

提示

方法一：

在AB上截取AF=AD，连接EF，证明△ADE≌△AFE，再证明△BFE≌△BCE；

方法二：

延长AE交BC的延长线于点F，证明△ABE≌△FBE，再证明△ADE≌△FCE）

三角形全等之截长补短（作业）

1.

如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=80°，AD是∠BAC的平分线．求证：

AC=AB+BD．

2.如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°．

求证：

AE=AD+BE．

3.如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD．求证：

BC=AB+CE．

4.如图，在等边三角形ABC中，点E，F分别在AB，AC上，

EDF=60°，DB=DC，

BDC=120°．求证：

EF=BE+CF．

5.

多项式16x2+4加上一个单项式后，能使它成为一个整式的完全平方式，则可以加上的单项式共有________个，分别是______________________________．

6.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE=ED=DC，∠1=∠2，则：

①AD是△ABC的边_________上的高，也是________的边BD上的高，还是△ABE的边___________上的高；

②AD既是_________的边_______上的中线，又是_______边上的高，还是_________的角平分线．

7.已知：

如图，AD∥EF，BF∥DG，∠A=∠B=∠G=35°．

求∠EFG的度数．

8.计算下列各式：

（1）-（3a3b-2ab3）÷（-ab）-（-a-2b）（-a+2b）-（-2a）2；

（2）

．

【参考答案】

1．证明略

提示：

方法一：

在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，再证明CE=BD；

方法二：

延长AB到E，使BE=BD，证明△ADE≌△ADC

2．证明略

提示：

在AE上截取AF=AD，证明△CDA≌△CFA，再证明BE=FE

3．证明略

提示：

在BC上截取BF=BA，连接DF，证明△ABD≌△FBD，再证明△DFC≌△DEC

4．证明略

提示：

延长FC到G，使CG=BE，证明△BED≌△CGD，得ED=GD，∠BDE=∠CDG，再证明△EFD≌△GFD，得EF=GF

5．5；16x4，±16x，-4，-16x2；

6．①BC，△ABD，BE；②△AEC，EC，EC，∠EAC

7．略；

8．

（1）-2a2+2b2；

（2）