第15章短面板.docx
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第15章短面板
©陈强,《高级计量经济学及Stata应用》课件，第二版，2014年，高等教育出版社。
第15章短面板
15.1面板数据的特点
面板数据（paneldata或longitudinaldata），指的是在一段时间内跟踪同一组个体（individual）的数据。
它既有横截面的维度（n个个体），又有时间维度（T个时期）。
一个T=3的面板数据结构如表15.1。
表15.1面板数据的结构
y
x1
x2
x3
Individual1:
t=1
Individual1:
t=2
Individual1:
t=3
Individualn:
t=1
Individualn:
t=2
Individualn:
t=3
如果面板数据T较小，而n较大，在使用大样本理论时让n趋于无穷大。
这种面板数据被称为“短面板”（shortpanel）。
反之，如果T较大，而n较小，则被称为“长面板”（longpanel）。
在面板模型中，如果解释变量包含被解释变量的滞后值，则称
为“动态面板”（dynamicpanel）；反之，则称为“静态面板”（static
panel）。
如果在面板数据中，每个时期在样本中的个体完全一样，则称为“平衡面板数据”（balancedpanel）；反之，则称为“非平衡面板数据”（unbalancedpanel）。
面板数据的优点：
（1）解决遗漏变量问题：
遗漏变量常由不可观测的个体差异或“异质性”（heterogeneity）造成。
如果个体差异“不随时间而改变”（timeinvariant），则面板数据可解决遗漏变量问题。
（2）提供个体动态行为的信息：
例：
考虑区分规模效应与技术进步对企业生产效率的影响。
对于截面数据，没有时间维度，无法观测到技术进步。
对于时间序列，无法区分生产效率的提高究竟有多少由于规模扩大，有多少
由于技术进步。
例：
对于失业问题，截面数据能告诉在某个时点上哪些人失业，时间序列数据能告诉某个人就业与失业的历史，但这两种数据均无法告诉是否失业的总是同一批人（低流转率），还是失业的人群总在变动（高流转率）。
（3）样本容量较大：
同时有截面维度与时间维度，面板数据的样本容量更大，可提高估计精度。
面板数据也会带来问题，比如，数据通常不满足独立同分布的假定，因为同一个体在不同期的扰动项一般存在自相关。
面板数据的收集成本通常较高，不易获得。
15.2面板数据的估计策略
一个极端策略是将其看成是截面数据而进行混合回归（pooledregression），要求样本中每位个体拥有相同的回归方程。
此策略忽略个体间不可观测或被遗漏的异质性（heterogeneity），而该异质性可能与解释变量相关，导致估计不一致。
另一极端策略则是，为每位个体估计一个单独的回归方程。
此策略忽略了个体的共性，可能没有足够大的样本容量。
实践中常采用折衷的估计策略，即假定个体的回归方程拥有相同的斜率，但可有不同的截距项，以此来捕捉异质性。
个体效应模型（individual-specificeffectsmodel）
yit
=xi'tβ
+
zi'δ
+
ui
+
εit
（i=1,,n;t
=1,,T）
zi为不随时间而变（timeinvariant）的个体特征，比如性别；
xit可随个体及时间而变（time-varying）；
扰动项由（ui
+
εit）两部分构成，称为“复合扰动项”（compositeerror
term）；不可观测的随机变量ui是代表个体异质性的截距项。
εit为随个体与时间而改变的扰动项。
假设{εit}为iid，且与ui不相关。
如果ui与某个解释变量相关，则称为“固定效应模型”（FixedEffectsModel，简记FE）。
此时，OLS不一致。
如果ui与所有解释变量（xit,zi）均不相关，则称为“随机效应模型”
（RandomEffectsModel，简记RE）。
15.3混合回归
如果所有个体拥有一样的回归方程，则方程可写为
yit
=α+
xi'tβ
+
zi'δ
+
εit
xit不包括常数项。
把所有数据放在一起，像对待横截面数据那样进行OLS回归，称为“混合回归”（pooledregression）。
应使用聚类稳健的标准误（cluster-robuststandarderrors），聚类
（cluster）由每位个体不同期的所有观测值所组成。
15.4个体固定效应模型
对于固定效应模型，给定个体i，将方程两边对时间平均：
yi=
xi'β
+
zi'δ
+
ui
+
εi
将原方程减去平均后的方程可得：
yit
-
yi
=（xit
-xi）'β
+
（εit
-εi）
定义yit
≡yit
-
yi，xit
≡xit
-
xi，εit
≡εit
-
εi，则
yit
=xi'tβ
+
εit
上式已将ui消去，只要εit与xit不相关，可用OLS一致地估计β，称为“固定效应估计量”（FixedEffectsEstimator），记为βˆFE。
βˆFE主要使用了每个位体的组内离差信息，也称“组内估计量”
（withinestimator）。
即使个体特征ui与解释变量xit相关，组内估计量也一致。
在作离差转换时，zi'δ也被消掉，无法估计δ，故FE无法估计不随时间而变的变量之影响。
为保证（εit
-
εi）与（xit
-
xi）不相关，要求第i个观测值满足严格外
生性，即E（εit
xi1,,
xiT）=0，因为xi中包含了所有（xi1,,
xiT）的信
息。
扰动项须与各期解释变量均不相关（不仅仅是当期解释变量）。
在原方程中引入（n-1）个虚拟变量（如果没有截距项，则引入n
个虚拟变量）来代表不同的个体，可得到同样结果。
FE也称为“最小二乘虚拟变量模型”（LeastSquareDummyVariableModel，简记LSDV）。
正如线性回归与离差形式的回归在某种意义上是等价的。
比如，
yi=α
+
βxi
+εi⇔
yi-y
=β（xi
-x）+（εi
-ε）
使用LSDV的好处是可以得到个体异质性ui的估计。
LSDV法的缺点是，如果n很大，须在回归方程中引入很多虚拟变量，可能超出计量软件所允许的解释变量个数。
15.5时间固定效应
引入时间固定效应，可解决不随个体而变（individualinvariant）但随时间而变（timevarying）的遗漏变量问题。
假设模型为
yit
=xi'tβ
+
zi'δ
+
γSt
+
ui
+
εit
St不可观测。
定义λt≡γSt，则
yit
=xi'tβ
+
zi'δ
+
λt
+
ui
+
εit
将λt视为第t期独有的截距项，并将其解释为“第t期”对y的效应，故λ1,,λT称为“时间固定效应”（timefixedeffects）。
使用LSDV法来，对每个时期定义一个虚拟变量，把（T-1）个时间虚拟变量包括在回归方程中：
yit
=xi'tβ
+
zi'δ
+γ2D2t
++γTDTt
+
ui
+
εit
其中，时间虚拟变量D2t
以此类推。
=1，如果t=
2；D2t
=0，如果t≠2；
此方程既考虑个体固定效应，又考虑时间固定效应，称为“双向固定效应”（Two-wayFE）。
为节省参数，可引入时间趋势项，替代（T-1）个时间虚拟变量：
yit
=xi'tβ
+
zi'δ
+
γt+ui
+
εit
上式隐含较强假定，即每个时期的时间效应相等，每期均增加γ。
15.6一阶差分法
对于固定效应模型，可对原方程两边进行一阶差分，以消去个体效应ui（同时把zi'δ消掉了），
yit
-
yi,t-1
=（xit
-xi,t-1）'β
+
（εit
-εi,t-1）
对此方程使用OLS，即得到“一阶差分估计量”（FirstDifferencingEstimator），记为βˆFD。
只要（εit
-
εi,t-1）与（xit
-
xi,t-1）不相关，则βˆFD一致。
此一致性条件比严格外生性假定更弱，这是βˆFD的主要优点。
可以证明（参见习题），如果T=2，则βˆFD=βˆFE。
对于T>2，如果{εit}为iid，则βˆFE比βˆFD更有效率，故实践中主要使用βˆFE。
对于动态面板（第16章），严格外生性假定无法满足，用差分法。
15.7随机效应模型
对于方程yit=xi'tβ+zi'δ+ui+εit，随机效应模型假设ui与解释变
量{xit,zi}均不相关，故OLS一致。
但扰动项由（ui
+
εit）组成，不是球型扰动项，故OLS不是最有效
率的，应进行FGLS估计。
假设不同个体之间的扰动项互不相关。
由于ui的存在，同一个体不同时期的扰动项之间仍存在自相关，
⎧σ2,若t≠s
Cov（ui
+
εit,ui
+εis）=⎨u
ο2+σ2,若t=s
⎩uε
ο2为u的方差，σ2为ε的方差。
uiεit
当t≠s时，其自相关系数为
ρ≡Corr（ui
+
εit,
2
σ
σ
iis
u+ε）=u
ε
u
2+σ2
自相关系数不随时间距离（t-s）而改变。
越大，则复合扰动项（ui
+
εit）中个体效应的部分（ui）越重要。
同一个体扰动项的协方差阵为
⎛σ2
+σ2σ2
...
ο2⎫
çuεuu⎪
ο2σ2
+σ2
...σ2
Σ=ç
uuεu⎪
ç⎪
çσ2σ2...σ2+σ2⎪
⎝uuu
ε⎭T⨯T
整个样本的协方差阵为块对角矩阵（blockdiagonalmatrix），
⎛∑0⎫
Ω=ç⎪
ç⎪
ç0∑⎪
⎝⎭nT⨯nT
由于OLS是一致的，且其扰动项为（ui+εit），故可用OLS的残差
来估计（σ2+σ2）。
uε
另一方面，FE也一致，且其扰动项为（εit
ε
来估计σ2。
-εi），故可用FE的残差
然后，用FGLS估计原模型，得到“随机效应估计量”（RandomEffectsEstimator），记为βˆRE。
具体来说，用OLS来估计以下“广义离差”（quasi-demeaned）模型：
yit
-θˆyi
=（xit
-θˆxi）'β
+（1-θˆ）zi'δ
+⎡（1-θˆ）ui+（εit-θˆεi）⎤
⎣⎦
误差项
其中，θˆ是θ
≡1-
u
（Tσ2
σε
ε
+σ2）12
的一致估计量。
可以证明，此扰动项不再有自相关。
对于随机效应模型，如果进一步假设扰动项服从正态分布，可进行MLE估计。
15.8组间估计量
对于随机效应模型，还可使用“组间估计量”。
如果个体数据较不准确，可对每位个体取时间平均值，然后用平均值来回归：
yi=
xi'β
+
zi'δ
+
ui
+
εi
（i=1,,n）
对上式用OLS，可得“组间估计量”（BetweenEstimator），记βˆBE。
由于{xi,
zi}中包含了{xit,
zi}的信息，如果ui与解释变量{xit,
zi}相
关，则βˆBE不一致。
故不能在固定效应模型下使用组间估计法。
15.9拟合优度的度量
在有常数项的情况下，线性模型的R2等于被解释变量y与预测
值yˆ之间相关系数的平方，即R2
=[corr（y,
yˆ）]2。
对于面板模型，如使用混合回归，可直接用混合回归的R2。
如使用固定效应、随机效应或组间回归，拟合优度略复杂。
给定估计量（βˆ,δˆ），Stata提供了以下三种R2。
首先，对应于原模型，称[Corr（y,x'βˆ+z'δˆ）]2为“整体R2”
ititi
（R2overall），衡量估计量（βˆ,δˆ）对原模型的拟合优度。
其次，对应于组内模型，称[Corr（y,x'βˆ）]2为“组内R2”
itit
（R2within），衡量估计量（βˆ,δˆ）对组内模型的拟合优度。
再次，对应于组间模型，称[Corr（y,x'βˆ+z'δˆ）]2为“组间R2”
iii
（R2between），衡量估计量（βˆ,δˆ）对组间模型的拟合优度。
对于固定效应模型，建议使用组内R2，即组内方程的R2。
对于组间回归模型，建议使用组间R2，即组间方程的R2。
对于随机效应模型，这三种R2都只是相应的相关系数平方，而非随机效应方程的R2。
15.10非平衡面板
非平衡面板数据并不影响计算离差形式的组内估计量（withinestimator），固定效应模型的估计可照样进行。
对于随机效应模型而言，非平衡面板数据也没有实质性影响，只要在做广义离差变换时让
θi≡1-
iu
（Tσ2
σε
ε
+σ2）12
其中，Ti为个体i的时间维度，就可照常进行FGLS估计。
非平衡面板的最大问题是，那些原来在样本中但后来丢掉的个
体，如果“丢掉”的原因是内生的（即与扰动项相关），则会导致样本不具有代表性（不再是随机样本），从而导致估计量不一致。
比如，低收入的人群更易从面板数据中丢掉。
15.11究竟该用固定效应还是随机效应模型
检验原假设“H0:
ui与xit,zi不相关”（即随机效应模型为正确模型）。
无论原假设成立与否，FE都是一致的。
如果原假设不成立，则RE不一致。
如果H0成立，则FE与RE估计量将共同收敛于真实的参数值，故
（βˆFE
-
βˆ）−p−→0。
如果二者的差距过大，则倾向于拒绝原假设。
RE
豪斯曼检验（Hausman,1978）的统计量为
ˆˆ'⎡ˆ
ˆ⎤-1ˆˆd2
（βFE
-
βRE）
⎢⎣Var（βFE）-Var（βRE）⎦⎥
（βFE
-βRE）−−→χ
（K）
其中，K为βˆFE的维度。
上述检验假设在H0成立的情况下，βˆRE最有效率。
如果存在异方差，则βˆRE并非最有效率的估计量，故不适用异方差的情形。
解决方法之一，通过自助法计算Var（βˆFE-βˆRE），参见第19章。
解决方法之二，进行以下辅助回归（Wooldridge,2010），
yit
-θˆyi
=（xit
-θˆxi）'β
+（1-θˆ）zi'δ
+
（xit
-xi）'γ
+⎡（1-θˆ）ui
+
（εit
-θˆεi）⎤
使用聚类稳健标准误检验原假设“H0:
γ
的情况下也适用。
⎣⎦
=0”，此检验在异方差
由于总可以把原模型变换为随机效应的方程：
yit
-θˆyi
=（xit
-θˆxi）'β
+（1-θˆ）zi'δ
+⎡（1-θˆ）ui+（εit-θˆεi）⎤
⎣⎦
误差项
故在上面的辅助回归中，γ=0。
如果随机效应模型成立，则OLS一致，故plimγˆ=γ
n→∞
=0。
如果固定效应模型成立，扰动项⎡（1-θˆ）ui+（εit-θˆεi）⎤与（xit
-
xi）
⎣⎦
相关（因为u与x相关），OLS不一致，即plimγˆ
=γ*≠γ
=0。
iit
n→∞
拒绝“H0:
γ
=0”，则意味着拒绝随机效应，接受固定效应。
i
对于非平衡面板，则以θˆ替代方程中的θˆ即可。
15.12个体时间趋势
个体异质性还可能表现为个体的不同时间趋势。
比如，在跨国面板中，各国的经济增长率可能不同。
考虑以下模型：
yit
=xi'tβ
+
zi'δ
+
γit+ui
+
εit
γit为个体时间趋势。
一般将γi视为来自某分布的随机变量（从该分布随机抽出一个观测值后，就不再随时间而变）。
此模型称为“随机趋势模型”（randomtrendmodel）。
如果yit取对数形式（比如lnGDPit），则γi可解释为在给定（xit,
zi）条件
下的平均增长率（即∂E（lnGDPit）/∂t），故也称“随机增长模型”（randomgrowthmodel）。
首先对方程两边做差分，去掉ui：
∆yit
=∆xi'tβ
+
γi
+
∆εit
在形式上，此方程与标准的个体效应模型一样。
如果γi与解释变量∆xit不相关，可用RE估计此方程。
如果γi与解释变量∆xit相关，可用FE或FD估计此方程。
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